第十五章 極限第一部分 五年高考薈萃2020年高考題一、選擇題1.（重慶理. 3）已知，則 （A） (B) 2 (C) 3 (D) 6答案 D二、填空題2.（上海文. 2）計算= 答案 3. 在等差數(shù)列中，則_ 答案 74三、簡答題4.（本小題滿分12分，（）小問5分，（）小問7分）設(shè)實數(shù)數(shù)列的前項和，滿足（）若成等比數(shù)列，求和；（）求證：對有解：（）由題意，因為所以；由；（）易見，所以；從而時有：因為，且，所以；要證，只要證，即證此式顯然成立，所以時有。最后證，若不然，又，故即，矛盾，所以（）。 2020年高考題一、選擇題:1.(2020年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科7）如圖，在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓， 又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去.設(shè)為前個圓的面積之和，則 A B. C. D. 【答案】C2（2020年高考四川卷理科2）下列四個圖像所表示的函數(shù)，在點處連續(xù)的是（A） （B） （C） （D）解析：由圖象及函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)知，D正確.答案：D3（2020年高考四川卷理科8）已知數(shù)列的首項，其前項的和為，且，則（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且 作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 Þ a22a1故an是公比為2的等比數(shù)列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1則答案：B4（2020年高考江西卷理科4） ABCD不存在【答案】B5.(2010年高考重慶市理科3)（A） 1（B） （C） （D） 1【答案】B解析：=.二、填空題：1（2020年高考上海市理科11）將直線、（，）x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 ?！敬鸢浮?2（2020年上海市春季高考14)答案：。解析：不妨取，故故，故答案為1.三、解答題：1(2020年高考全國2卷理數(shù)18）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和（）求；（）證明：【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運(yùn)用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力. 【參考答案】【點評】2020年高考數(shù)學(xué)全國I、這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).2020年高考題一、選擇題1、（09重慶理8）已知，其中，則的值為（ ）A.6B.C. D.【解析】答案 D2、（09湖北理6）設(shè)，則（ ）A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令時令時兩式相加得：兩式相減得：代入極限式可得，故選B答案 B二、填空題3、（09陜西理13）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則 . 答案 1第二部分 兩年模擬題2020屆高三模擬題題組一一、選擇題1（福建省廈門雙十中學(xué)2020屆高三12月月考題理）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）（A）（0，1） （B）（1，10） （C）（10，100） （D）（100，+）答案 B.2. （廣西北海二中2020屆高三12月月考試題理）已知等比數(shù)列中，公比，且為數(shù)列的前項和，則等于 （ ）A6B C D答案 B.3（黑龍江大慶實驗中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期中考試?yán)恚┰O(shè)，若函數(shù)有大于零的極值點，則（ ）答案 B.4（浙江省杭州市高級中學(xué)2020屆高三上學(xué)期第三次月考理）已知實數(shù)成等比數(shù)列，且對函數(shù)，當(dāng)時取到極大值，則等于 ( )A B0 C1 D2答案 A.二、填空題5（浙江省杭州二中2020屆高三11月月考試題文）若函數(shù)在處取極值，則_答案：3.6（重慶市重慶八中2020屆高三第四次月考理）已知函數(shù)，在點處連續(xù)，則答案 .7（重慶市南開中學(xué)高2020級高三1月月考理）若= 。答案 1.三、簡答題8（浙江省溫州市嘯秋中學(xué)2020學(xué)年第一學(xué)期高三會考模擬試卷）已知函數(shù)在處取得極值(1)求常數(shù)k的值； (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；答案 解：(1)，由于在處取得極值，可求得 2分(2)由(1)可知，隨的變化情況如下表：0+0-0+極大值極小值當(dāng)為增函數(shù)，為減函數(shù)； 2分極大值為極小值為 2分9（福建省廈門雙十中學(xué)2020屆高三12月月考題理）（本小題滿分14分）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在區(qū)間其中a >0，上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；（3）求證.答案 9.解：（）因為， x >0，則，1分 當(dāng)時，；當(dāng)時，. 所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 所以函數(shù)在處取得極大值. 3分 因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值， 所以 解得.5分（）不等式即為 記 所以7分 令，則， ， 在上單調(diào)遞增， ，從而， 故在上也單調(diào)遞增， 所以，所以 . 9分（3）由（2）知：恒成立，即， 令，則 所以 , ， ， ， 12分 疊加得： .則，所以 14分10（福建省廈門雙十中學(xué)2020屆高三12月月考題理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足 （）求數(shù)列的通項公式； （）求； （）求證：答案10 11.（黑龍江大慶實驗中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期中考試?yán)恚ū绢}12分）設(shè)函數(shù) （）若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求的范圍；（）若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求的范圍；（）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍答案 11. 解：（1）當(dāng)時，因為有三個互不相同的零點，所以，即有三個互不相同的實數(shù)根。令，則。因為在和均為減函數(shù)，在為增函數(shù)，的取值范圍 -4分 （2）由題可知，方程在上沒有實數(shù)根，因為，所以-4分（3），且，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和；當(dāng)時，又，而，又在上恒成立，即，即在恒成立。的最小值為-4分12.（黑龍江省哈爾濱市第162中學(xué)2020屆高三第三次模擬理）（12分）設(shè)是函數(shù)的一個極值點。（）、求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）、設(shè)，。若存在使得 成立，求的取值范圍。答案 12.設(shè)是函數(shù)的一個極值點。（）、求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）、設(shè)，。若存在使得成立，求的取值范圍。 點評：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點，所以x+a+10，那么a4.當(dāng)a<4時，x2>3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（3，a1）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù)。當(dāng)a>4時，x2<3x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（a1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù)。（）由（）知，當(dāng)a>0時，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e3<0，f (4)（2a13）e1>0，f (3)a6，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范圍是（0，）。題組二xyABCD-1 0 1 31一、選擇題 1、（江西省2020屆文）函數(shù)上的值域為-1,3，則點的軌跡是圖中的（ ）A線段AB和ADB線段AB和CDC線段AD和BCD線段AC和BD答案 A.2（江西省2020屆理） 若的最小值為（ ）A2 B C D3 答案 C.3. （江西省2020屆理）函數(shù)的定義域是 （ ）A B D答案 D.4.（江蘇省2020屆數(shù)學(xué)理）右圖是函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是 （ ）A B D答案 B.5. （廣西桂林中學(xué)2020屆高三理）已知函數(shù)連續(xù)，則 ( ) . . . . 答案 B.7(廣東省河源市龍川一中2020屆高三文）直線與圓相交于M,N兩點，若，則k的取值范圍是A. B. C. D. 答案 A.8(河南信陽市2020屆高三理）設(shè)函數(shù)是定義在R上的以5為周期的奇函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）ABCD 答案 A.二 填空題1（江蘇泰興市重點中學(xué)2020屆理）若的最大值為m，且f（x）為偶函數(shù)，則m+u=_答案 1.2、（江西省2020屆高三文）函數(shù)的定義域，值域都是區(qū)間a,b，則的值為 答案 4.3、（江西省2020屆高三文）下列結(jié)論：；成立的充分不必要條件；。其中正確結(jié)論的序號為 答案 4（江西省2020屆高三理）函數(shù)yx22x在區(qū)間a，b上的值域是1，3，則點(a，b)的軌跡是圖中的A線段AB和線段AD B線段AB和線段CDC線段AD和線段BC D線段AC和線段BD答案 A.5.（江西省2020屆高三理）若是偶函數(shù)，則的遞增區(qū)間為_答案 （0，1 。6.（江蘇省2020屆高三理）定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則當(dāng)時， 答案 。7.（江蘇省2020屆高三理）若定義運(yùn)算 ，則函數(shù)的值域是 答案 3.8.（江蘇省2020屆高三理）已知，若函數(shù)在R上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 答案 9(廣西桂林中學(xué)2020屆高三理)若() =9， 則實數(shù)= . 答案 10、（江西省上高二中2020屆高三文）下列結(jié)論：；成立的充分不必要條件；。其中正確結(jié)論的序號為 答案 、 三 解答題 1（江蘇泰興市重點中學(xué)2020屆理）（本小題滿分16分）如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點。已知AB=3米，AD=2米。 （I）設(shè)（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求的取值范圍； （II）若（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。答案 1由于則AM 故SAMPNANAM 4分（1）由SAMPN > 32 得 > 32 ，因為x >2，所以，即（3x8）（x8）> 0從而即AN長的取值范圍是8分（2）令y，則y 10分因為當(dāng)時，y< 0，所以函數(shù)y在上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而當(dāng)x3時y取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，此時AN3米，AM=9米 152（江蘇泰興市重點中學(xué)2020屆理）（本題滿分16分）已知函數(shù)， （1）當(dāng)時，若上單調(diào)遞減，求a的取值范圍； （2）求滿足下列條件的所有整數(shù)對：存在，使得的最大值， 的最小值； （3）對滿足（II）中的條件的整數(shù)對，試構(gòu)造一個定義在且 上的函數(shù)：使，且當(dāng)時，答案21）當(dāng)時，1分若，則在上單調(diào)遞減，符合題意；3分若，要使在上單調(diào)遞減，必須滿足 5分綜上所述，a的取值范圍是 6分（2）若，則無最大值，7分故，為二次函數(shù)，要使有最大值，必須滿足即且，8分此時，時，有最大值分又取最小值時，分依題意，有，則，分且，得，分此時或滿足條件的整數(shù)對是12分（3）當(dāng)整數(shù)對是時，是以2為周期的周期函數(shù)，分又當(dāng)時，,構(gòu)造如下：當(dāng)，則，故3（江蘇省2020屆數(shù)學(xué)理）函數(shù)的定義域為(0，1（為實數(shù)）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，求的取值范圍；求函數(shù)在x(0，1上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時的值答案 3、解：（1）顯然函數(shù)的值域為；（2）若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則任取且都有 成立， 即只要即可，由，故，所以，故的取值范圍是； （3）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)增，無最小值，當(dāng)時取得最大值；由（2）得當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)減，無最大值 當(dāng)x1時取得最小值2a； 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，無最大值， 當(dāng) 時取得最小值4.（江蘇省2020屆高三理）已知函數(shù) （1） 當(dāng)，時，求函數(shù)的值域； （2） 若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的值答案 4.（本題滿分14分）解（1） 由得，函數(shù)的定義域是（3分），是奇函數(shù)0（3分）（若直接代入計算也給分 （2） 對恒成立在上是減函數(shù)（5分）（3分）5（江蘇泰興2020屆高三理）（本小題滿分16分）如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點。已知AB=3米，AD=2米。 （I）設(shè)（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求的取值范圍； （II）若（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。答案 5由于則AM 故SAMPNANAM 4分（1）由SAMPN > 32 得 > 32 ，因為x >2，所以，即（3x8）（x8）> 0從而即AN長的取值范圍是8分（2）令y，則y 10分因為當(dāng)時，y< 0，所以函數(shù)y在上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而當(dāng)x3時y取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，此時AN3米，AM=9米 156（福建省福州八中2020屆高三理）（本小題15分）已知函數(shù)f (x)=ax3+bx23x在x=±1處取得極值. （）求函數(shù)f (x)的解析式； （）求證：對于區(qū)間3，2上任意兩個自變量的值x1，x2，對于任意一個正實數(shù)a都有|f (x1)f (x2)|； （）若過點A（1，m）（m2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.答案 6. （本小題15分）解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依題意，f(1)=f(1)=0， 即1分 解得a=1，b=0. f (x)=x33x.3分 （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，利用導(dǎo)數(shù)求得f(x)在區(qū)間3，2上的最大值和最小值分別為：fmax(x)=f(1)=f(2)=2，fmin(x)=f(-3)=184分對于區(qū)間3，2上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(18)=206分由條件可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即恒成立，對于任意一個正實數(shù)a都有|f (x1)f (x2)|.8分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲線方程為y=x33x，點A（1，m）不在曲線上.設(shè)切點為M（x0，y0），則點M的坐標(biāo)滿足因，故切線的斜率為，整理得.過點A（1，m）可作曲線的三條切線，關(guān)于x0方程=0有三個實根.10分設(shè)g(x0)= ，則g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.函數(shù)g(x0)= 的極值點為x0=0，x0=112分關(guān)于x0方程=0有三個實根的充要條件是，解得3<m<2.故所求的實數(shù)a的取值范圍是3<m<2.15分7. (福建省四地六校聯(lián)考2020屆高三理)（本小題滿分13分）已知函數(shù)（I）若函數(shù)在時取到極值，求實數(shù)的值；（II）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（III）當(dāng)時，在曲線上是否存在這樣的兩點A，B，使得在點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，若存在，試求的取值范圍；若不存在，請說明理由.答案 7、 （ ） 1分（I）函數(shù)在時取到極值 解得經(jīng)檢驗函數(shù)在時取到極小值（不檢驗扣1分）高/考/資*源*網(wǎng)實數(shù)的值2 3分（II）由得或 4分當(dāng)時， 由得由得函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間為 ，單調(diào)減區(qū)間為 6分當(dāng)時，同理可得函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 8分（II）假設(shè)存在滿足要求的兩點A，B，即在點A、B處的切線都與y軸垂直，則即解得或 A,B又線段AB與x軸有公共點， 10分即 又，解得所以當(dāng)時，存在滿足要求的點A、B. 13分題組三一、選擇題：1.（四川省成都市2020屆高三第三次診斷理科）計算的結(jié)果是( )(A)(B)3(C) (D)2【答案】B【解析】因為所以32. (四川省綿陽市2020年4月高三三診理科試題)=（ C ） （A）-（B）-5（C）（D）03. （四川省雅安市2020屆高三第三次診斷性考試?yán)砜疲┮阎瘮?shù)在上連續(xù)，則( A ) A2B1C0D14（四川省自貢市2020屆高三三診理科試題）設(shè)要使在內(nèi)連續(xù)，則的值為（ C ）A6BCD(x1)(x1)5（四川省南充高中2020屆高三4月月考理科試題）已知函數(shù) 在點x1處連續(xù)，則f1(3)（ C ）A13 B1 C D6.（四川省眉山市2020年4月高三第二次診斷性考試?yán)砜疲┖瘮?shù)在處不連續(xù)，且存在，則的值等于（ D ） A B C D7（四川省瀘州市2020屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試?yán)砜疲┑闹档扔冢?C ）A B C D二、填空題：M(x,y)0xy8. （四川省成都市2020屆高三第三次診斷文科）在平面直角坐標(biāo)系中定義另一種坐標(biāo)(“坐標(biāo)”)如下：在平面直角坐標(biāo)系中任意一點M(原點除外)，用表示線段OM的長度，用表示以原點O為頂點，以射線Ox為始邊，射線OM為終邊的角，我們把有序?qū)崝?shù)對(,)稱為點M的“坐標(biāo)”.有下列命題：“坐標(biāo)”為(5，)，(5，)的點在平面直角坐標(biāo)系中不重合；若點M的“坐標(biāo)”為(2，)，則點M的平面直角坐標(biāo)為(1，)；一直圓M在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則該圓上的點P的“坐標(biāo)”滿足24cos30；點M的“坐標(biāo)”滿足2sin2cos(0,)，則點M到x軸的最短距離為2。其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號是_.【答案】【解析】根據(jù)“坐標(biāo)”的定義，我們可以得到“坐標(biāo)”(,)與直角坐標(biāo)系中普通坐標(biāo)(x,y)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：或利用這兩個轉(zhuǎn)換公式逐一檢驗即可知，正確，錯誤。注：本題中的“坐標(biāo)”實質(zhì)上就是新教材中的“極坐標(biāo)”。9（四川省資陽市2020學(xué)年度高三第三次高考模擬理）已知，點表示原點，點（），是向量與向量的夾角，設(shè)，則_10（四川省瀘州市2020屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試?yán)砜疲┰谄矫嫔先《ㄒ稽c，從出發(fā)引一條射線，再取定一個長度單位及計算角的正方向，合稱為一個極坐標(biāo)系。這樣，平面上任一點的位置就可以用線段的長度以及從到的角度來確定，有序數(shù)對稱為點的極坐標(biāo)，稱為點的極徑，稱為點的極角。在一個極坐標(biāo)系下，給出下列命題：點的極徑為4，極角為；有序數(shù)對與表示兩個不同點；點關(guān)于極點的對稱點為圓心在，半徑的圓的極坐標(biāo)方程為；過點垂直極軸的直線方程為。其中真命題序號是 . 11(四川省成都市石室中學(xué)2020屆高三三診模擬理科)若，則a+b= 3 。