第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理（一）教學要求：結(jié)合已學過的數(shù)學實例，了解歸納推理的含義，能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.教學重點：能利用歸納進行簡單的推理.教學難點：用歸納進行推理，作出猜想.教學過程：一、新課引入：1. 哥德巴赫猜想：觀察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97，猜測：任一偶數(shù)（除去2，它本身是一素數(shù)）可以表示成兩個素數(shù)之和. 1742年寫信提出，歐拉及以后的數(shù)學家無人能解，成為數(shù)學史上舉世聞名的猜想. 1973年，我國數(shù)學家陳景潤，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個素數(shù)與至多兩個素數(shù)乘積之和，數(shù)學上把它稱為“1+2”. 2. 費馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學家之王費馬（1601-1665）在1640年通過對，的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素數(shù)，于是提出猜想：對所有的自然數(shù)，任何形如的數(shù)都是素數(shù). 后來瑞士數(shù)學家歐拉，發(fā)現(xiàn)不是素數(shù)，推翻費馬猜想.3. 四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題.1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用1200個小時，作了100億邏輯判斷，完成證明.二、講授新課：1. 教學概念： 概念：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理. 簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理. 歸納練習：(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導電，能歸納出什么結(jié)論？(ii)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度，能歸納出什么結(jié)論？(iii)觀察等式：，能得出怎樣的結(jié)論？ 討論：(i)統(tǒng)計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理？(ii)歸納推理有何作用？ （發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論，是做出科學發(fā)現(xiàn)的重要手段）(iii)歸納推理的結(jié)果是否正確？（不一定）2. 教學例題： 出示例題：已知數(shù)列的第1項，且，試歸納出通項公式.（分析思路：試值n=1，2，3，4 猜想 如何證明：將遞推公式變形，再構(gòu)造新數(shù)列） 思考：證得某命題在nn時成立；又假設在nk時命題成立，再證明nk1時命題也成立. 由這兩步，可以歸納出什么結(jié)論？ （目的：滲透數(shù)學歸納法原理，即基礎、遞推關系） 練習：已知 ，推測的表達式.3. 小結(jié)：歸納推理的藥店：由部分到整體、由個別到一般；典型例子：哥德巴赫猜想的提出；數(shù)列通項公式的歸納.三、鞏固練習：1. 練習：教材P38 1、2題. 2. 作業(yè)：教材P44 習題A組 1、2、3題.