空間中的垂直關(guān)系專題訓練1如圖1所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分別為A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中點，求證：EFGF。ABCDEA1B1C1OF2如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分別為BB1、AC1的中點，證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線。3（1）如圖，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，求證：BD平面ACC1A1。（2）如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱。（I）證明平面；（II）設證明平面。4如圖，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90°，AA1 ，D 是A1B1 中點（1）求證C1D 平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時，會使得AB1 平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。5如圖，ABC 為正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中點，求證：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。6如圖所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4.E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，EFBD=G。（）求證：平面B1EF平面BDD1B1；（）求點D1到平面B1EF的距離d；（）求三棱錐B1EFD1的體積V。7（1）如圖，正方形所在平面，過作與垂直的平面分別交、于、K、，求證：、分別是點在直線和上的射影（2）如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，。（）試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。8如圖1所示，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中點。（1）證明AB1DBC1；（2）假設AB1BC1，BC=2。求線段AB1在側(cè)面B1BCC1上的射影長。9已知是邊長為的正三角形所在平面外一點，求異面直線與的距離。ABCDEFGH10如圖，在空間四邊形中，、分別是邊、 、的中點，對角線且它們所成的角為。求證：，求四邊形的面積。11如圖（1）所示，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖（2）的 （要求：把可能的圖的序號都填上）圖（1）圖（2）（2）命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。命題A的等價命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。12、是兩個不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線.給出四個論斷：mn n m以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題： 。答案：m，n，mn或mn，m，n空間中的垂直關(guān)系答案1 證明：如圖2，作GQB1C1于Q，連接FQ，則GQ平面A1B1C1D1，且Q為B1C1的中點。在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分別為A1D1、A1B1、B1C1的中點可證明EFFQ，由三垂線定理得EFGF。2證明：設O為AC中點，連接EO，BO，則EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，ABCDEA1B1C1OFEOBD為平行四邊形，EDOB。ABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線。點評：該題考點多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理增強。3 證明：（1）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，CC1平面ADCD, BDCC1ABCD是正方形BDAC又AC，CC1平面ACC1A1,且ACCC1=C, BD平面ACC1A1。（2）證明：（I）取CD中點M，連結(jié)OM。在矩形ABCD中，又則連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形。又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。（II）連結(jié)FM。由（I）和已知條件，在等邊中，且因此平行四邊形EFOM為菱形，從而。平面EOM，從而而所以平面4 分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。（2）由（1）得C1D AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點即為所求的F 點位置。（1）證明：如圖， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90°。又 D 是A1B1 的中點， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 平面C1DF ，點F 即為所求。事實上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 。5 證明：（1）如圖，取EC 中點F ，連結(jié)DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中點N ，連結(jié)MN 、NB ， M 是EA 的中點， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中點， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。6 （）證法一：連接AC。正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形。ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，故EFAC，EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1。證法二：BE=BF，EBD=FBD=45°，EFBD.平面B1EF平面BDD1B1。（）解：在對角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足為H平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足為H，點D1到平面B1EF的距離d=D1H。解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H，D1B1=A1B1=4，sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4·解法二：D1HBB1BG，d=D1H=。圖解法三：如圖所示，連接D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半.即B1G·D1H=BB12。d=。（）·d·.7證明： 面， ， 為正方形， ， 與相交， 面，面， 由已知面，且面， ， ，面，面， ，即 為點在直線上的射影，同理可證得為點在直線上的射影。（2）解法1：（）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，連結(jié)OG，因為PC平面，平面平面APCOG，故OGPC，所以OGPC。又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP與平面所成的角。在RtAOG中，tanAGO，即m。所以，當m時，直線AP與平面所成的角的正切值為。（）可以推測，點Q應當是AICI的中點O1，因為D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP。那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。8 證明：（1）如圖2所示，A1B1C1ABC是正三棱柱，四邊形B1BCC1是矩形。連結(jié)B1C，交BC1于E，則BE=EC。連結(jié)DE，在AB1C中，AD=DC，DEAB1，又因為AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1。（2）作AFBC，垂足為F。因為面ABC面B1BCC1，AF平面B1BCC1。連結(jié)B1F，則B1F是AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影。BC1AB1，BC1B1F。四邊形B1BCC1是矩形，B1BF=BCC1=90°，又FB1B=C1BC，B1BFBCC1，則=。又F為正三角形ABC的BC邊中點，因而B1B2=BF·BC=1×2=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3，B1F=，即線段AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影長為。9 FCABDEFCABDEFCABDE圖圖圖解析：分別取、中點、，連結(jié)（圖）。連結(jié)、（圖），為公共邊， 點為中點 同理：（圖）又，即為異面直線與的公垂線段如圖，在中， 異面直線與的距離。點評：求異面直線的距離，必須先找到兩條異面直線的公垂線段。10 ABCDEFGH解析：在中，、分別是邊、的中點，在中，、分別是邊、的中點， 且，同理：且，四邊形為菱形，。， （或的補角）即為異面直線與所成的角，由已知得：（或），四邊形的面積為：。11 圖（1）圖（2）答案：解析：面BFD1E面ADD1A1，所以四邊形BFD1E在面ADD1A1上的射影是，同理，在面BCC1B1上的射影也是。過E、F分別作DD1和CC1的垂線，可得四邊形BFD1E在面DCC1D1上的射影是，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是。（2）解析：要使命題B與命題A等價，則只需保證頂點在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，據(jù)射影定理，得側(cè)棱長相等。12 答案：m，n，mn或mn，m，n