空間中的垂直關系一【課標要求】以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的有關性質(zhì)與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題。二【命題走向】近年來，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于棱柱、棱錐和正方體，復習是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重。預測2020年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關系：（1）考題將會出現(xiàn)一個選擇題、一個填空題和一個解答題；（2）在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線面和面面關系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主。（3）解答題多采用一題多問的方式，這樣既降低了起點又分散了難點三【要點精講】1線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 。注意：三垂線指PA，PO，AO都垂直內(nèi)的直線a 其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。2線面垂直定義：如果一條直線l和一個平面相交，并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面,直線與平面的交點叫做垂足。直線l與平面垂直記作：l。直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。3面面垂直兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。四【典例解析】題型1：線線垂直問題例1如圖1所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分別為A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中點，求證：EFGF。證明：如圖2，作GQB1C1于Q，連接FQ，則GQ平面A1B1C1D1，且Q為B1C1的中點。ABCDEA1B1C1OF在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分別為A1D1、A1B1、B1C1的中點可證明EFFQ，由三垂線定理得EFGF。點評：以垂直為背景，加強空間想象能力的考查，體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證思想。例2（2020全國，19）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分別為BB1、AC1的中點，證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線。證明：設O為AC中點，連接EO，BO，則EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，EDOB。ABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線點評：該題考點多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理增強。題型2：線面垂直問題例3（1）（2020北京文，17）如圖，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，求證：BD平面ACC1A1。（2）（2020天津文，19）如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱。（I）證明平面；（II）設證明平面。證明：（1）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，CC1平面ADCD, BDCC1ABCD是正方形BDAC又AC，CC1平面ACC1A1,且ACCC1=C, BD平面ACC1A1。（2）證明：（I）取CD中點M，連結(jié)OM。在矩形ABCD中，又則連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形。又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。（II）連結(jié)FM。由（I）和已知條件，在等邊中，且因此平行四邊形EFOM為菱形，從而。平面EOM，從而而所以平面點評：本題考查直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力例4如圖，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90°，AA1 ，D 是A1B1 中點（1）求證C1D 平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時，會使得AB1 平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。（2）由（1）得C1D AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點即為所求的F 點位置。（1）證明：如圖， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90°。又 D 是A1B1 的中點， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 平面C1DF ，點F 即為所求。事實上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 。點評：本題（1）的證明中，證得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。題型3：面面垂直問題例5如圖，ABC 為正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中點，求證：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。分析：（1）證明DE DA ，可以通過圖形分割，證明DEF DBA。（2）證明面面垂直的關鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知DM EA ，取AC 中點N ，連結(jié)MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM 平面ECA。證明：（1）如圖，取EC 中點F ，連結(jié)DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中點N ，連結(jié)MN 、NB ， M 是EA 的中點， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中點， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。點評：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。例6（2020江西卷理）（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點.（1）求證：平面平面； （2）求直線與平面所成的角的大?。唬?）求點到平面的距離.解：方法一：（1）依題設知，AC是所作球面的直徑，則AMMC。又因為P A平面ABCD，則PACD，又CDAD，所以CD平面，則CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。（2）由（1）知，又，則是的中點可得，則設D到平面ACM的距離為，由即，可求得，設所求角為，則，。（1） 可求得PC=6。因為ANNC，由，得PN。所以。故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的。又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，由（2）可知所求距離為。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則， ，；設平面的一個法向量，由可得：，令，則。設所求角為，則， 所以所求角的大小為。（3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等于點到平面距離的，設點到平面距離為則，所以所求距離為。題型4：射影問題例7（1）如圖，正方形所在平面，過作與垂直的平面分別交、于、K、，求證：、分別是點在直線和上的射影證明： 面， ， 為正方形， ， 與相交， 面，面， 由已知面，且面， ，面，面， ，即 為點在直線上的射影，同理可證得為點在直線上的射影。點評：直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解決兩條直線的主要途徑之一，另外，三垂線定理及逆定理、兩條直線所成的角等也是證明兩條直線垂直的常用的方法（2）（2020湖北理，18）如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，。（）試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。解法1：（）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，連結(jié)OG，因為PC平面，平面平面APCOG，故OGPC，所以OGPC。又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP與平面所成的角。在RtAOG中，tanAGO，即m。所以，當m時，直線AP與平面所成的角的正切值為。（）可以推測，點Q應當是AICI的中點O1，因為D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP。那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。點評：本小題主要考查線面關系、直線于平面所成的角的有關知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解決數(shù)學問題的能力。例8如圖1所示，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中點。（1）證明AB1DBC1；（2）假設AB1BC1，BC=2。求線段AB1在側(cè)面B1BCC1上的射影長證明：（1）如圖2所示，A1B1C1ABC是正三棱柱，四邊形B1BCC1是矩形。連結(jié)B1C，交BC1于E，則BE=EC。連結(jié)DE，在AB1C中，AD=DC，DEAB1，又因為AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1。（2）作AFBC，垂足為F。因為面ABC面B1BCC1，AF平面B1BCC1。連結(jié)B1F，則B1F是AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影。BC1AB1，BC1B1F。四邊形B1BCC1是矩形，B1BF=BCC1=90°，又FB1B=C1BC，B1BFBCC1，則=。又F為正三角形ABC的BC邊中點，因而B1B2=BF·BC=1×2=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3，B1F=，即線段AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影長為。點評：建立直線和平面的位置關系與點、線在平面上的射影間的關系。題型5：垂直的應用例9已知是邊長為的正三角形所在平面外一點，求異面直線與的距離FCABDEFCABDEFCABDE圖圖圖解析：分別取、中點、，連結(jié)（圖）。連結(jié)、（圖），為公共邊， 點為中點 同理：（圖）又，即為異面直線與的公垂線段如圖，在中，ABCDEFGH 異面直線與的距離。點評：求異面直線的距離，必須先找到兩條異面直線的公垂線段。例10如圖，在空間四邊形中，、分別是邊、的中點，對角線且它們所成的角為。求證：，求四邊形的面積。解析：在中，、分別是邊、的中點，在中，、分別是邊、的中點， 且，同理：且，四邊形為菱形，。， （或的補角）即為異面直線與所成的角，由已知得：（或），四邊形的面積為：。題型6：課標創(chuàng)新題例11（1）（2000全國，16）如圖（1）所示，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖（2）的 （要求：把可能的圖的序號都填上）圖（1）圖（2）答案：解析：面BFD1E面ADD1A1，所以四邊形BFD1E在面ADD1A1上的射影是，同理，在面BCC1B1上的射影也是。過E、F分別作DD1和CC1的垂線，可得四邊形BFD1E在面DCC1D1上的射影是，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是。（2）（2000上海，7）命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐命題A的等價命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等）解析：要使命題B與命題A等價，則只需保證頂點在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，據(jù)射影定理，得側(cè)棱長相等。例12（2020寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是地面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點。 （）求證：ACSD（）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大?。ǎ┰冢ǎ┑臈l件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。解法一： （）連BD，設AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，所以,得. ()設正方形邊長，則。又，所以, 連，由（）知,所以且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小為。 （）在棱SC上存在一點E，使由（）可得，故可在上取一點,使,過作的平行線與的交點即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二： （）；連,設交于于，由題意知.以O為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系如圖 設底面邊長為，則高。 于是 故 從而 ()由題設知，平面的一個法向量，平面的一個法向量，設所求二面角為，則,所求二面角的大小為 （）在棱上存在一點使. 由（）知是平面的一個法向量， 且 設 則 而 即當時， 而不在平面內(nèi)，故五【思維總結(jié)】1通過典型問題掌握基本解題方法，高考中立體幾何解答題基本題型是：（）證明空間線面平行或垂直；（）求空間中線面的夾角或距離；（）求幾何體的側(cè)面積及體積。證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。明確何時應用判定定理，何時應用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論。三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應優(yōu)先考慮.應用時常需先認清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置，再根據(jù)定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計算證明線線垂直也是常用的方法之一。垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關系： 平行轉(zhuǎn)化：線線平行線面平行面面平行； 垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直線面垂直面面垂直；每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的。例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。2“升降維”思想直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。運用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學會學習”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程。2反證法反證法是立體幾何中常用的間接證明方法。其步驟是：否定結(jié)論；進行推理；導出矛盾；肯定結(jié)論用反證法證題要注意：宜用此法否；命題結(jié)論的反面情況有幾種。