空間中的垂直關(guān)系一. 學(xué)習(xí)內(nèi)容：空間中的垂直關(guān)系二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，并能運用它們進行論證和解決有關(guān)的問題；2、掌握平面與平面垂直的概念和判定定理、性質(zhì)定理，并能運用它們進行推理論證和解決有關(guān)問題；3、在研究垂直問題時，要善于應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”和“降維”的思想，通過線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問題獲得解決。三、知識要點1、直線與平面垂直的定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么就稱這條直線和這個平面垂直。2、直線與平面垂直的判定：常用方法有：判定定理： . b, aba；（線面垂直性質(zhì)定理）,aa（面面平行性質(zhì)定理），=l，al，aa（面面垂直性質(zhì)定理）3、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。（ a，bab）直線和平面垂直時，那么該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線（）4、點到平面的距離的定義： 從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足間的線段的長度叫做這個點到平面的距離。特別注意：點到面的距離可直接向面作垂線，但要考慮垂足的位置，如果垂足的位置不能確定，往往采取由點向面上某一條線作垂線，再證明此垂足即為面的垂足。5、平面與平面垂直的定義及判定定理：（1）定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就說這兩個平面互相垂直。記作：平面平面（2）判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（簡稱：線面垂直，面面垂直）6、兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。（簡稱：面面垂直，線面垂直。）思維方式：判定兩相交平面垂直的常用方法是：線面垂直，面面垂直；有時用定義也是一種辦法?！镜湫屠}】例1、（1）對于直線m、n和平面、，的一個充分條件是（ ）A、mn，m，n B、mn，=m，nC、mn，n，m D、mn，n，m（2）設(shè)a、b是異面直線，給出下列命題：經(jīng)過直線a有且僅有一個平面平行于直線b；經(jīng)過直線a有且僅有一個平面垂直于直線b；存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個平行平面；存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個平面互相垂直。其中錯誤的命題為（ ）A、與 B、與 C、與 D、僅（3）已知平面平面，m是內(nèi)一條直線，n是內(nèi)一條直線，且mn，那么，甲：m；乙：n丙：m或n；?。簃且n。這四個結(jié)論中，不正確的三個是（ ）解：（1）對于A，平面與可以平行，也可以相交，但不垂直。對B，平面內(nèi)直線n垂直于兩個平面的交線m，直線n與平面不一定垂直，平面、也不一定垂直。對D，m，mn則n，又n，所以。只有C正確，mn，n則m又m，由平面與平面垂直的判定定理得。故選C。（2）正確，過a上任一點作b的平行線b，則ab確定唯一平面。錯誤，假設(shè)成立則b該平面，而a該平面，ab，但a、b異面卻不一定垂直。正確，分別過a、b上的任一點作b、a的平行線，由各自相交直線所確定的平面即為所求。正確，換角度思考兩個垂直的平面內(nèi)各取一直線會出現(xiàn)各種異面形式，綜上所述：僅錯誤 選D（3）丙正確。舉反例：在任一平面中作平行于交線的直線m（或n），在另一平面作交線的垂線n（或m）即可推翻甲、乙、丁三項。思維點撥：解決這類問題關(guān)鍵是注意這是在空間而非平面內(nèi)。例2、如圖，ABCD 為直角梯形，DAB=ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA平面ABCD。PA=a。（1）求證：PCCD。（2）求點B到直線PC的距離。（1）證明：取AD的中點E，連AC、CE，則ABCE為正方形，CED為等腰直角三角形， AC CD，PA平面ABCD，AC為PC在平面ABCD上的射影， PCCD （2）解：連BE，交AC于O，則BEAC，又BEPA，ACPA= A， BE平面PAC過O作OHPC于H，則BHPC，PA=a，AC=a,PC=a， OH=，BO=a，BH=即為所求。例3、在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C底面ABC （1）若D是BC的中點，求證 ADCC1；（2）過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證 截面MBC1側(cè)面BB1C1C；（3）AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由。命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)。 知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)。錯解分析：（3）的結(jié)論在證必要性時，輔助線要重新作出。技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙地作輔助線。（1）證明：AB=AC，D是BC的中點，ADBC底面ABC側(cè)面BB1C1C，AD側(cè)面BB1C1CADCC1 （2）證明：延長B1A1與BM交于N，連結(jié)C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1側(cè)面BB1C1C，C1N側(cè)面BB1C1C截面C1NB側(cè)面BB1C1C截面MBC1側(cè)面BB1C1C （3）解：結(jié)論是肯定的，充分性已由（2）證明，下面證必要性。過M作MEBC1于E，截面MBC1側(cè)面BB1C1CME側(cè)面BB1C1C，又AD側(cè)面BB1C1C MEAD，M、E、D、A共面AM側(cè)面BB1C1C，AMDECC1AD，DECC1D是BC的中點，E是BC1的中點AM=DE=AA1，AM=MA1即是截面的充要條件例4、如圖，在正三棱錐ABCD中，BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H （1）判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由 （2）設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC平面EFGH，請給出證明 （1）證明：AD/面EFGH,面ACD面EFGHHG，AD面ACD AD/HG.同理EFHG，EFGH是平行四邊形ABCD是正三棱錐，A在底面上的射影O是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四邊形EFGH是矩形 （2）作CPAD于P點，連結(jié)BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH 面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30°，AC=AB=a,AP=a 例5、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面ABC1與截面A1B1C交于DE。求證：（1）A1B1平面BB1C1C；（2）A1CBC1；（3）DE平面BB1C1C。證明：（1）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，側(cè)面與底面垂直，即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1C1從而A1B1平面BB1C1C。（2）由題設(shè)可知四邊形BB1C1C為正方形，BC1B1C，而A1B1平面BB1C1C， A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂線定理得A1CBC1（3）直三棱柱的側(cè)面均為矩形，而D、E分別為所在側(cè)面對角線的交點，D為A1C的中點，E為B1C的中點，DEA1B1，而由（1）知A1B1平面BB1C1C，DE平面BB1C1C。思維點撥：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明線面垂直。本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法1、直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，應(yīng)熟練掌握直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理，并能依據(jù)條件靈活運用。2、注意線面垂直與線線垂直的關(guān)系和轉(zhuǎn)化。3、距離離不開垂直，因此求距離問題的過程實質(zhì)上是論證線面關(guān)系（平行與垂直）與解三角形的過程，值得注意的是“作、證、算、答”是立體幾何計算題不可缺少的步驟。4、在證明兩平面垂直時，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并要有利于證明，不能隨意添加。在有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直。解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”，“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化應(yīng)用。