難點(diǎn)7 實(shí)戰(zhàn)平拋與圓周兩大曲線運(yùn)動 平拋運(yùn)動與圓周運(yùn)動是高中兩大曲線運(yùn)動，應(yīng)用范圍很廣，在高考中屬于必考題型。平拋運(yùn)動具有數(shù)學(xué)函數(shù)的拋物線的數(shù)學(xué)理論支撐，有物理中運(yùn)動的合成與分解的典型物理思想和物理思維。勻速圓周運(yùn)動有獨(dú)立的向心力公式及曲線運(yùn)動的相關(guān)物理量關(guān)聯(lián)，豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動具有最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的臨界問題，且有繩子、桿或軌道銜接的三種不同情景。兩大曲線運(yùn)動在實(shí)際問題的處理中相當(dāng)靈活多變，需要在實(shí)戰(zhàn)中掌握更多的規(guī)律，從而獲得能力的提升。拋體運(yùn)動規(guī)律及推論的靈活應(yīng)用調(diào)研1】圖(a)OB如圖a所示，在傾角為的斜面上，將一小球以初速度v0沿水平方向從斜面頂端拋出，則從拋出開始計(jì)時，經(jīng)過多長時間小球離斜面距離最大？最大值為多少？（設(shè)斜面足夠長）解法一（常規(guī)分解法）：（1）根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性將小球的運(yùn)動分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的自由落體運(yùn)動，當(dāng)軌跡的切線與斜面平行時，小球離斜面的距離最大。將合速度分解，則有水平方向的速度，豎直方向的速度和，解以上三式得：圖(b)EOFKPBx（2）如圖圖b所示，設(shè)小球離斜面最遠(yuǎn)點(diǎn)為P點(diǎn)，同理將位移分解。水平位移，豎直位移。由幾何關(guān)系得小球離斜面的最大距離為：將代入上式解得：圖(c)g解法二（非常規(guī)分解法）：采用運(yùn)動的合成與分解，如圖c所示，將小球的初速度和重力加速度沿平行于斜面的方向進(jìn)行正交分解，則小球在垂直斜面的方向上是勻變速運(yùn)動；在沿斜面的方向上也是勻變速運(yùn)動，當(dāng)小球在垂直斜面的方向上的速度為零時，小球與斜面間的距離最大，設(shè)經(jīng)歷的時間為t，則，解得：此時由運(yùn)動學(xué)公式得物體距斜面的最遠(yuǎn)距離為：解法三（中點(diǎn)位移法）：平拋運(yùn)動末速度的反向延長線交于平拋運(yùn)動水平位移的中點(diǎn)。圖(d)NMVOV0KP當(dāng)小球距斜面最遠(yuǎn)時，此時末速度方向與初速方向夾角為角。如圖d所示，圖中M為末速度的反向延長線與水平位移的交點(diǎn)，最遠(yuǎn)距離PK與MN相等，故MN即為所求的最遠(yuǎn)距離。根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律有：，和由平拋運(yùn)動的重要結(jié)論（中點(diǎn)位移）可知：根據(jù)圖4中的幾何關(guān)系得：由以上各式聯(lián)立解得：和即小球距離斜面的最遠(yuǎn)距離為：EO圖(e)V0KP解法四（二次函數(shù)法）：設(shè)經(jīng)過時間t小球到達(dá)離斜面距離最遠(yuǎn)處P點(diǎn)，如圖e所示，此時有水平方向，豎直方向P點(diǎn)到斜面的距離為：此式是關(guān)于t的一元二次方程，當(dāng)時，即時，小球離斜面最遠(yuǎn)。將t的值代入上式解得最遠(yuǎn)距離為：圖(f)V0OKPBx解法五（軌跡方程法）：如圖f所示，建立平面坐標(biāo)系，則小球的平拋運(yùn)動軌跡方程為：設(shè)某時刻小球的位置坐標(biāo)P（，）為該運(yùn)動曲線上的一點(diǎn)，因?yàn)橹本€OB的斜率：，所以直線OB的方程為：，即：點(diǎn)P（，）到直線OB的距離為：從上式可以看出：有最大值的條件是其分子有最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)時，有最大值，即小球此時離斜面最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為：【規(guī)律總結(jié)】從以上的幾種解法可以看出：有關(guān)平拋運(yùn)動的答題技巧可運(yùn)用的解答方法較多。但這些解答方法常常涉及數(shù)學(xué)建模能力（即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力）和知識遷移能力（即運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解和討論物理問題的能力），尤其是這道很常見的經(jīng)典習(xí)題的多種解法可以培養(yǎng)一題多解的能力，開闊了視野。當(dāng)然記住一些規(guī)律和推論，解題時將快人一步。實(shí)戰(zhàn)勻速圓周運(yùn)動F r O 【調(diào)研2】如圖所示，一個被繩子牽引的小球在光滑水平板上以速度=1.0m/s做勻速圓周運(yùn)動。運(yùn)動半徑r=30cm?，F(xiàn)迅速松手使繩子放長20cm后立即拽緊繩子，使小球在更大半徑的新軌道上做勻速圓周運(yùn)動。求：(1)實(shí)現(xiàn)這一過渡所需要的時間。(2)小球在新軌道上做勻速圓周運(yùn)動時，繩子對小球的牽引力F2是原來繩子對小球的牽引力F1的多少倍?【解析】松手后小球沿速度方向做勻速直線運(yùn)動，如圖所示B v2v1vr O A 繩子被拉緊瞬間，繩子的拉力對小球產(chǎn)生沖量，使小球沿繩子方向的速度立即減小到零，速度變?yōu)?，且，解得【方法點(diǎn)拔】本題從一個軌道到另一個軌道的時間，思路上要明確了曲線運(yùn)動的速度方向是切線方向，問題的突破口即可找到。而進(jìn)入到第二個軌道的瞬間，拉力作用下導(dǎo)致速度發(fā)生突變，故要明確速度必須分解才能作為第二個軌道的速度。RmO【調(diào)研3】如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，問：（1）要使盒子在最高點(diǎn)時盒子與小球之間恰好無作用力，則該盒子做勻速圓周運(yùn)動的周期為多少？（2）若盒子以第（1）問中周期的一半，做勻速圓周運(yùn)動，則當(dāng)盒子運(yùn)動到圖示球心與O點(diǎn)位于同一水平面位置時，小球?qū)凶拥哪男┟嬗凶饔昧?，作用力為多大？【解析】設(shè)此時盒子的運(yùn)動周期為T0，因?yàn)樵谧罡唿c(diǎn)時盒子與小球之間剛好無作用力，因此小球僅受重力作用根據(jù)牛頓運(yùn)動定律得：，且，解得：（2）設(shè)此時盒子的運(yùn)動周期為T，則此時小球的向心加速度為：由第一問知：，且，解得：設(shè)小球受盒子右側(cè)面的作用力為F，受上側(cè)面的作用力為N，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律知：在水平方向上： ，即：在豎直方向上：，即：因?yàn)镕為正值、N為負(fù)值，所以小球?qū)凶拥挠覀?cè)面和下側(cè)面有作用力，分別為4 mg和mg【學(xué)法指導(dǎo)】本題看似豎直面上的非勻速圓周運(yùn)動的模式，實(shí)際上是勻速圓周運(yùn)動模型。由于盒子對小球的作用力的方向不確定，導(dǎo)致受力分析難度加大。在運(yùn)用向心力公式時必須用徑向方向的牛頓第二定律求解。兩大曲線運(yùn)動的綜合應(yīng)用v0O1OR【調(diào)研4】一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，系于長為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點(diǎn)，假定繩是柔軟不可伸長的今把質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)的正上方離O點(diǎn)的距離為R的O1點(diǎn)以水平的速度v0 拋出，如圖所示。試求；（1）輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為多少？（2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的正下方時，繩對質(zhì)點(diǎn)的拉力為多大？v0O1ORR【解析】（1）第一過程：質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動。設(shè)繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為，如圖所示。則水平方向v0tRsin，豎直方向gt2RRcos，其中v0聯(lián)立解得：t，（2）第二過程：繩繃直過程。繩棚直時，繩剛好水平，如圖所示。由于繩不可伸長，故繩繃直時，v0損失，質(zhì)點(diǎn)僅有速度v，且vgtvvvv 0O第三過程：小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動。設(shè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)正下方時，速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒守律有：mv2mv2mgR設(shè)此時繩對質(zhì)點(diǎn)的拉力為T，則Tmgm聯(lián)立解得：Tmg【學(xué)法指導(dǎo)】本題若不認(rèn)真思考容易錯認(rèn)為小球做圓周運(yùn)動，實(shí)際上分為平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動?？疾槠綊佭\(yùn)動、機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的向心力等知識點(diǎn)，側(cè)重對物理過程分析的考查，由于繩子不可伸長，當(dāng)繩繃直時，沿繩子方向的速度由于受到繩子拉力立即減小為零是分析的難點(diǎn)。特別注意此類問題往往在轉(zhuǎn)折點(diǎn)有機(jī)械能損失，如繩子繃直瞬間、非彈性碰撞瞬間等?！菊{(diào)研5】如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動到C處后又正好落回A點(diǎn)，求：（1）推力對小球做了多少功? (用題中所給的量表示)（2）x取何值時，完成上述運(yùn)動所做的功最少?最小功為多少?（3）x取何值時，完成上述運(yùn)動所用的力最小?最小力為多少?【解析】（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動后又回到A點(diǎn)，設(shè)在C點(diǎn)的速度為VC，質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)所用的時間為t，在水平方向：x = VCt，在豎直方向：2R = gt2/2解得：VC = 對質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到C點(diǎn)由動能定理有：WF g·2R VC2/2解得：WFmg（16R2x2）/ 8R（2）要使力F做功最少，確定x的取值，由WF = g·2R + VC2/2可知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度最小，則WF就最小，若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過C點(diǎn)，其在C點(diǎn)的最小速度為v，由牛頓第二定律有：mg = mv2/R 即v=， 而=解得：x2R時，WF最小，其最小值為WF5mgR/2（3）由于WFmg（16R2x2）/ 8R ， 而WFFx所以由此可知：當(dāng) 即x 4R時，力F最小，其最小值為mg?！緦W(xué)法指導(dǎo)】本題將平拋運(yùn)動與豎直面的圓周運(yùn)動結(jié)合起來，通過推力做功影響拋體運(yùn)動的落點(diǎn)。需要尋找做功的量與拋體運(yùn)動水平位移的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)函數(shù)尋找極值，表達(dá)式要靈活選用。【拓展訓(xùn)練】1、如圖所示，從傾角為的斜面上的M點(diǎn)水平拋出一個小球，小球的初速度為，最后小球落在斜面上的N點(diǎn),已知重力加速度為g，下列判斷中正確的是A可求出M、N之間的距離v0NMB可求出小球運(yùn)動的時間C不可以求出小球什么時刻與斜面間的距離最大D可求出小球落到N點(diǎn)時的速度大小和方向O R v01、ABD【解析】可建立平行于斜面向下的x軸和垂直斜面向上的y軸，將加速度g和初速度分解到這兩個方向上，則小球沿x方向的分運(yùn)動是初速度為cos，加速度為gsin的勻變速直線運(yùn)動，沿y方向的分運(yùn)動是初速度為sin，加速度為-gcos的勻變速直線運(yùn)動，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律即可求出M、N之間的距離、小球運(yùn)動的時間、小球什么時刻與斜面間的距離最大、小球落到N點(diǎn)時的速度大小和方向，所以ABD正確。2、如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓軌道半徑為R，軌道內(nèi)側(cè)底部靜止著一個光滑小球，現(xiàn)給小球一個沖量使其在瞬間得到一個水平初速，若大小不同，則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）也不同下列說法中正確的是A如果，則小球能夠上升的最大高度等于R/2B如果，則小球能夠上升的最大高度小于3R/2C如果，則小球能夠上升的最大高度等于2RO R v0A B C D如果，則小球能夠上升的最大高度等于2R2、ABD【解析】在豎直平面內(nèi)圓環(huán)軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動的小球，只可能在與圓心等高的B點(diǎn)上方離開軌道，在B點(diǎn)下方運(yùn)動，無論速度多大，都不會離開軌道，因此B點(diǎn)下方速度可以為零，恰能上升到B點(diǎn)，則，A項(xiàng)小球不通上升到B點(diǎn)，因此滿足，得，A正確；當(dāng)小球能通過軌道最高點(diǎn)時，速度應(yīng)滿足，而，得，C錯D對；當(dāng)時，小球在BC之間離開軌道做斜上拋運(yùn)動，在軌跡最高點(diǎn)時速度大于零，不滿足，即上升的最大高度比小，B正確。3、做平拋運(yùn)動的物體在它著地前的最后1s內(nèi)，其速度方向由跟水平方向成45°角變?yōu)楦椒较虺?0°角，求物體的初速度。3、【解析】設(shè)物體的初速度為v0，下落高度為h，下落時間為1s，則(t1) s末物體的水平分速度和豎直分速度都是v0, ts末物體的水平分速度和豎直分速度分別為v0、v0g。利用推論3作出物體的速度矢量直角三角形如圖所示，由圖可知tan 60°解得v0=13. 4 m/s。Av0BCR2R4、在水平地面A處以初速度v0拋出一小球，恰好水平經(jīng)過光滑的半圓軌道的最低點(diǎn)B，已知半圓軌道半徑R0.2m，B點(diǎn)離地面的高度也為R，A點(diǎn)到B點(diǎn)的水平距離為2R，重力加速度g10m/s2 ，求（1）小球從A運(yùn)動到B的時間；（2）小球能否到達(dá)半圓軌道的最高點(diǎn)C.4、【解析】（1）小球從A到B運(yùn)動過程中，豎直方向作豎直上拋運(yùn)動，則：Rgt2，解得t0.2s（2）水平方向勻速運(yùn)動，2Rvxt豎直方向：vygt由：v0從A到C運(yùn)動過程中，設(shè)到達(dá)C點(diǎn)速度為v，由機(jī)械能守恒定律：3mgRmv02mv2聯(lián)立以上式子解得v0，故無法通過最高點(diǎn)C。