高二數(shù)學(xué)第二章 推理與證明人教實驗版（B）選修22【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：選修22 第二章 推理與證明二. 教學(xué)目的：1、了解合情推理的含義，掌握演繹推理的基本模式，能利用歸納推理、類比推理和演繹推理等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識它們在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用和重要性2、掌握直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程與特點3、掌握間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點4、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題三. 教學(xué)重點、難點：重點：合情推理、演繹推理以及證明方法直接證明和間接證明；難點：對數(shù)學(xué)歸納法的理解四. 知識分析：【本章知識結(jié)構(gòu)】【重點知識回顧】1、合情推理前提為真時，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理說明：歸納推理和類比推理是數(shù)學(xué)中常用的合情推理。（l）歸納推理根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）歸納是從特殊到一般的過程說明：歸納推理的前提與結(jié)論只具有偶然性聯(lián)系，其結(jié)論不一定正確結(jié)論的正確性還需要理論證明或?qū)嵺`檢驗其一般步驟為：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）。（2）類比推理根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。說明：在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠類比推理的一般步驟為：找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）。2、演繹推理根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然為真例如，由真命題a,b，遵循演繹推理規(guī)則得出命題q，則q必然為真3、合情推理與演繹推理的區(qū)別歸納和類比是常用的合情推理從推理形式上看，歸納是由部分到整體，個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理，而演繹推理是由一般到特殊的推理從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確4、證明（l）直接證明直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實性常用的直接證明方法有綜合法與分析法綜合法是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達(dá)到待證結(jié)論分析法則是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”,其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件，綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件分析法與綜合法各有其特點，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法都可以證明出來，人們往往選擇比較簡單的一種（2）反證法（間接證明）一般地，由證明轉(zhuǎn)向證明：,t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定為假，推出q為真的方法，叫做反證法5、數(shù)學(xué)歸納法（l）數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果證明起始命題（或）成立；在假設(shè)成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定，對一切正整數(shù)（或自然數(shù)）成立（2）數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示（3）數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎(chǔ)必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟稱數(shù)學(xué)歸納法這兩步各司其職但缺一不可特別指出的是，第二步不是判斷命題的真假，而是證明命題是否具備遞推性如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題【專題分析】一、推理推理是由一個或幾個已知判斷作出一個新的判斷的思維形式由于數(shù)學(xué)中通常把判斷稱為命題，因而數(shù)學(xué)推理是由已知命題推出新的命題的思維形式推理一般分為合情推理和演繹推理，合情推理包括歸納推理和類比推理，演繹推理包括：假言推理、三段論推理、關(guān)系推理以及完全歸納推理21、歸納推理例1. 在數(shù)列中，猜想這個數(shù)列的通項公式。解：中，所以猜想的通項公式證明如下：因為，所以即所以數(shù)列公差為的等差數(shù)列所以所以通項公式例2. 在平面上有n條直線，任何兩條都不平行，并且任何三條都不交于同一點，問這些直線把平面分成多少部分？解：設(shè)n條直線分平面為部分，先實驗觀察特例有如下結(jié)果：n與之間的關(guān)系不太明顯，但有如下關(guān)系：觀察上表發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：n（n2，3，）這是因為在n1條直線后添加第n條直線被原n1條直線截得的n段中的任何一段都將它所在的原平面一分為二，相應(yīng)地增加n部分，所以n，即=n，從而=2，3，4，n，將上面各式相加有23n，所以23n223n1（123n）【點評】通過歸納推理得出的結(jié)論可能正確，也可能不正確，它的正確性需要通過嚴(yán)格的證明，猜想所得結(jié)論即可用演繹推理給出證明，雖然由歸納推理所得出的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識過程，對于數(shù)學(xué)的發(fā)展、科學(xué)的發(fā)明是十分有用的。通過觀察實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一。歸納推理的一般步驟是：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）。2、類比推理例3. 著名的歐姆定律就是德國物理學(xué)家歐姆在1826年把電傳導(dǎo)系統(tǒng)與熱傳導(dǎo)系統(tǒng)作類比而導(dǎo)出的電流I與熱量Q相當(dāng)，電壓V同溫差T相當(dāng)，電阻R與比熱c的倒數(shù)相當(dāng)在熱傳導(dǎo)系統(tǒng)中有關(guān)系式：Q=mcT（m是質(zhì)量）于是，就可猜想在電傳導(dǎo)系統(tǒng)中有關(guān)系式：，這就是歐姆定理例4. （1）定義集合A與B的運算：，則（2）定義集合A與集合B的運算：寫出含有集合運算符號“*”對集合A和B都有的成立的一個等式分析：本題是學(xué)習(xí)類比應(yīng)用新知識的一個題，這就要求同學(xué)們能類比課本上學(xué)習(xí)和研究集合運算的方法，來研究題目中的條件，一般抽象集合問題往往借助于韋恩圖求解。解：（1）由圖中可知AB如圖的陰影部分所示，若ABC，我們運用類比的方法，可得CAB（2）由圖可知，A*B如圖陰影部分所示運用數(shù)形結(jié)合，類比的思想方法，結(jié)合“*”符號進(jìn)行探索，可求得：或或等 3、演繹推理例5. 在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D、E是垂足求證：AB的中點M到D、E的距離相等分析：解答本題需要利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)作為大前提 解：（l）因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形 大前提在ABD中，ADBC。即ADB90° 小前提所以ABD是直角三角形 結(jié)論（2）因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 大前提而M是RtABD斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線 小前提 所以 結(jié)論同理，所以【點評】演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出三段論式推理。三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P。三段論的公式中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況；這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷結(jié)論。演繹推理是一種必然性推理，它的前提和結(jié)論之間有蘊涵關(guān)系。因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實的，但錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。二、證明1、綜合法證明綜合法是我們在已經(jīng)儲存了大量的知識，積累了豐富的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上所用的一種方法，其優(yōu)點是敘述起來簡潔、直觀、條理、清楚，綜合法可使我們從已知的知識中進(jìn)一步獲得新知識 例6. 由實數(shù)構(gòu)成的集合A滿足條件：若，證明：（1）若，則集合A必有另外兩個元素，并求出這兩個元素；（2）非空集合A中至少有三個不同元素。解：（1）由于11，有由如此循環(huán)可知集合A中的另外兩個數(shù)（2）集合A非空，故存在即a0時，有即如此循環(huán)出現(xiàn)三個數(shù)a，若，方程無實根若方程也無實根若方程無實根a，互不相等，故集合A中至少有三個不同的元素2、分析法證明分析法是一種從未知到已知的邏輯推理方法在探求問題的證明時，它可以幫助我們構(gòu)思，因而在一般分析問題時，較多地采用分析法，只是找到思路后，往往用綜合法加以敘述，正如恩格斯所說“沒有分析就沒有綜合”，在數(shù)學(xué)證明中不能把分析法和綜合法絕對分開 例7. 若。解：要證由3、反證法證明反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價性，從邏輯角度看，命題：“若p則q”的否定是“若p則”，由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么就說明“若p則”為假，從而可以導(dǎo)出“若p則q”為真，從而達(dá)到證明的目的反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要。（1）證明否定性、唯一性命題例8. 求證：兩條相交直線有且只有一個交點分析：結(jié)論中以“有且只有”形式出現(xiàn)，是唯一性命題，常用反證法。證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即有兩種可能：無交點，不只有一個交點若直線a、b無交點，那么a/b，與已知矛盾；若直線a、b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B，這樣同時經(jīng)過點A、B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點（2）用反證法證明“至多”、“至少”類型問題 例9. 已知a、b、c（0，1），求證：。證明：假設(shè)三式都大于即××得又同理××得矛盾，假設(shè)錯誤，原命題成立。（3）用反證法證幾何問題例10. 如圖所示，AB、CD為圓的兩條相交弦，且不全為直徑，求證：AB、CD不能互相平分。證明：假設(shè)AB、CD互相平分，則ACBD為平行四邊形所以ACB=ADB，CAD=CBD因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形所以ACBADB=180°，CADCBD=180°因此ACB=90°，CAD=90°所以對角線AB、CD均為直徑，與已知矛盾因此，AB、CD不能互相平分【點評】（1）反證法的步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立。（2）反證法導(dǎo)出結(jié)果的幾種情況：導(dǎo)出非p為真，即與原命題的條件矛盾；導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)“非q為真”矛盾；導(dǎo)出一個恒假命題，即與定義、公理、定理矛盾；導(dǎo)出自相矛盾的命題。4、數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法它是一種完全歸納法，它的證明共分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)”（或稱特殊性）第二步解決的是延續(xù)性問題（又稱傳遞性）運用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題要注意以下幾點： （1）兩個步驟缺一不可； （2）第二步中，證明“當(dāng) nk + 1 時結(jié)論正確”的過程里，必須利用“歸納假設(shè)”即必須用上“當(dāng) nk 時結(jié)論正確”這一結(jié)論 （3）在第二步的證明中，“當(dāng) nk 時結(jié)論正確”這一歸納假設(shè)起著已知的作用；“當(dāng) nk +1 時結(jié)論正確”則是求證的目標(biāo)在這一步中，一般首先要湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便利用歸納假設(shè)，然后再去湊出當(dāng) nk + 1 時的結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、不等式、整除性問題及幾何問題 （4）不完全歸納法是從特殊出發(fā)，通過實驗、觀察、分析、綜合、抽象概括出一般性結(jié)論的一種重要方法，運用不完全歸納法可通過對數(shù)列前 n 項的計算、觀察、分析，推測出它的通項公式或推測出這個數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，應(yīng)明確用不完全歸納去探索數(shù)學(xué)問題時，必須用數(shù)學(xué)歸納法對結(jié)論的正確性予以證明 例11. 求證：。證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊，右邊，等式成立（2）假設(shè)n=k時，那么當(dāng)時， 所以時，等式成立由（1）（2）知對于任何，等式成立三、歸納、猜想、證明近年來，高考試題中已出現(xiàn)過這類題型，這類題型是高考的熱點之一，它對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有很好的訓(xùn)練作用這類題型是：第一步給出命題（與正整數(shù)有關(guān)）的結(jié)構(gòu)；第二步要求計算出最初的三個至四個初始值；第三步要求通過已計算出的初始值，應(yīng)用不完全歸納法，發(fā)現(xiàn)其命題的一般性規(guī)律，作出科學(xué)的猜想和判斷（要敢于猜想、善于猜想），最后由數(shù)學(xué)歸納法對所作的猜想一般性結(jié)論，作出完整科學(xué)的證明 例12. 在各項為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項和滿足（1）求；（2）由（1）猜想到數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。解：（1）得（2）猜想證明如下：n=1時，命題成立；假設(shè)n=k時，成立則時即即時，命題成立據(jù)可知對任意的成立【模擬試題】一、選擇題（本大題共有12小題，每小題5分，共60分，其中只有一個正確答案。） 1. 我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。下面幾何體中，一定屬于相似體的是（ ）兩個球體；兩個長方體；兩個正四面體；兩個正三棱柱；兩個正四棱柱A. B. C. D. 2. （1）已知，求證，用反證法證明時，可假設(shè)（2）已知，求證方程的兩根的絕對值都小于1。用反證法證明時可假設(shè)方程有一根的絕對值大于或等于1，即假設(shè)，以下結(jié)論正確的是（ ）A. （1）與（2）的假設(shè)都錯誤B. （1）與（2）的假設(shè)都正確C. （1）的假設(shè)正確；（2）的假設(shè)錯誤D. （1）的假設(shè)錯誤；（2）的假設(shè)正確 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊（ ）A. 增加了一項B. 增加了兩項C. 增加了（B）中兩項但減少了一項D. 以上各種情況均不對 4. 分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的（ ）A. 充分條件B. 必要條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件 5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，第一步即證下述哪個不等式（ ）A. 1<2B. C. D. 6. F(n)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F(k)真，則真，現(xiàn)已知F（7）不真，則有F(8)不真；F(8)為真；F(6)不真；F(6)為真；F(5)不真；F(5)真。其中真命題是（ ）A. B. C. D. 7. 設(shè)x、y、z，則a、b、c三數(shù)（ ）A. 至少有一個不大于2B. 都小于2C. 至少有一個不小于2D. 都大于2 8. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n1=2n1（）”的過程中，第二步假設(shè)n=k時等式成立，則當(dāng)n=k+1時應(yīng)得到（ ）A. B. C. D. 9. 如圖1所示，是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)為（ ）A. 25B. 66C. 91D. 120 10. 類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，其中a>0，且a1，下面正確的運算公式是（ ）；A. B. C. D. 11. 在等差數(shù)列中，若，公差d>0，則有，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若的一個不等關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 12. 已知實數(shù)a、b、c滿足，abc>0，則的值（ ）A. 一定是正數(shù)B. 一定是負(fù)數(shù)C. 可能是0D. 正、負(fù)不能確定二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在橫線上。） 13. （2020·保定）如圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n（）行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是_。 14. 觀察下式：，則得出結(jié)論：_。 15. 已知數(shù)列的前n項和為，且，試歸納猜想出的表達(dá)式為_。 16. 若記號“”表示求兩個實數(shù)a和b的算術(shù)平均數(shù)的運算，即ab=，則兩邊均含有運算符號“”和“”，且對于任意3個實數(shù)a、b、c都能成立的一個等式可以是_。三、解答題（本大題共6小題，1721每題12分，第22題14分，每題必須寫出必要的解答過程，文字說明。） 17. 已知f(x)對任意實數(shù)a,b都有，且當(dāng)x>0時，。（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）f(4)=5，解不等式。 18. 設(shè)二次函數(shù)中的a、b、c均為整數(shù)，且f(0)、f(1)均為奇數(shù)，求證：方程f(x)=0無整數(shù)根。 19. 在RtABC中，若C=90°，則，則在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想。 20. 求證：。（） 21. 若不等式對一切大于1的自然數(shù)n都成立，求自然數(shù)m的最大值。 22. 已知數(shù)列中，（a為常數(shù)），是的前n項和，且的等差中項。（1）求；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。【試題答案】 1. C（只有是相似體。） 2. D（對（2）的結(jié)論：“兩根絕對值都小于1”的否定是“兩根絕對值不都小于1”。） 3. B 4. A 5. C且n>1，n的初始值為，此時原不等式即為。 6. A“”等價于“F(k+1)假F(k)假”，故應(yīng)選A。 7. C（，因此a、b、c至少有一個不小于2，故選C。） 8. D（當(dāng)n=k時，等式為。那么當(dāng)n=k+1時，左邊=12，因此只需在歸納假設(shè)兩端同時添加，即1222。） 9. C（。） 10. D（將S(x)，C(x)逐個檢驗。） 11. B 12. B（且（由abc>0知a,b,c均不為0）0，因此。） 13. （所有數(shù)字之和除掉1的和。） 14. （各等式的左邊是第n個自然數(shù)到第個連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是奇數(shù)的平方，故得出結(jié)論：=。） 15. （由，） 16. abc=bac（ab=，ba=，abc=bac。） 17. 解：（1）設(shè)，由得，f(x)為增函數(shù)（2），解得 18. 證明：假設(shè)方程f(x)=0有一個整數(shù)根k，則（1）f(0)=c，f(1)=a+b+c均為奇數(shù)，則a+b必為偶數(shù)當(dāng)k為偶數(shù)時，令，則必為偶數(shù)，與（1）式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時，令，則為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積，必為偶數(shù)，也與（1）式矛盾。綜上可知方程f(x)=0無整數(shù)根 19. 解：如圖，在RtABC中于是把結(jié)論類比到四面體中，我們猜想，三棱錐中，若三個側(cè)面兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為、，則。 20. 證明：（1）當(dāng)n=2時，右邊，不等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k（）時命題成立，即則當(dāng)時， 所以當(dāng)時不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立。 21. 解：設(shè)，則n=2時，f(n)有最小值由，得m<14m的最大值為13 22. 解：（1）（2）猜想證明：當(dāng)n=1時，左邊，右邊當(dāng)n=1時等式成立；當(dāng)n=2時，左邊，右邊當(dāng)n=2時等式成立假設(shè)當(dāng)n=k（）時，等式成立，即，則當(dāng)時，將代入，得當(dāng)n=k+1時，等式也成立由可知，對于任意的正整數(shù)n，等式恒成立