圓錐曲線21、(本小題滿分13分) 設(shè)橢圓E中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為4,點(diǎn)M（2，）在橢圓上，。（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且，求OAB的面積的取值范圍。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a>b>0）過M（2，） ，2b=4故可求得b=2,a=2 橢圓E的方程為 2分（2）設(shè)P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2），當(dāng)直線L斜率存在時(shí)設(shè)方程為，解方程組得,即,則=,即（*） 要使,需使,即,所以, 即 7分將它代入（*）式可得，P到L的距離為，又將及韋達(dá)定理代入可得10分當(dāng)時(shí)由 故12分當(dāng)時(shí), 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), ,綜上S13分2（本小題滿分12分）已知定圓圓心為A，動(dòng)圓M過點(diǎn)，且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C（）求曲線C的方程；（）（理）若點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，探究直線與曲線C是否存在交點(diǎn)? 若存在則求出交點(diǎn)坐標(biāo), 若不存在請(qǐng)說明理由解：（） 圓A的圓心為， 1 分設(shè)動(dòng)圓M的圓心為 2分由|AB|=，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，故|MA|=r1-r2，即|MA|+|MB|=4， 4分所以，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為，由故曲線C的方程為 6分（）當(dāng)， 8分消去 10分由點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，于是方程可以化簡(jiǎn)為 解得， 12分13分綜上，直線l與曲線C存在唯一的一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)為 14分3、設(shè)F1、F2分別為橢圓C:1(a0,b0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).(1) 若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程；(2)設(shè)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時(shí)，那么KPM·KPN是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值. 試對(duì)雙曲線1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.解：(1)由題意得:2a4,a2則橢圓的方程為1 點(diǎn)A(1,)在橢圓C上, 1 b23所求橢圓方程為1(2)由(1)知橢圓C的左焦點(diǎn)為F1(1,0)設(shè)F1K的重點(diǎn)為M(x,y)，則K點(diǎn)的坐標(biāo)為K(2x1,2y) K點(diǎn)在橢圓C上， 1即線段F1K的中點(diǎn)軌跡方程為(x1(3)若M、N是雙曲線1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，則當(dāng)直線PM、PN的斜率KPM、KPN都存在時(shí)，KPM·KPN是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值，其證明如下：設(shè)M(x1,y1),則N(x1,y1),設(shè)P(x,y)則KPM·KPN (*)由M、P都在雙曲線1上得y2 x2b2,y12 x12b2,將它們代入(*),可得KPM·KPN 為定值故原結(jié)論成立4、已知橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)（1）求曲線的方程；（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，證明:；（3）設(shè)與（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為與，且，求的取值范圍（1）解：依題意可得，設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即所以雙曲線的方程為 3分（2）證法1：設(shè)點(diǎn)、（，），直線的斜率為（），則直線的方程為，聯(lián)立方程組5分整理，得，解得或所以 6分同理可得，所以 8分證法2：設(shè)點(diǎn)、（，），則， 4分因?yàn)?，所以，?5分因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別在雙曲線和橢圓上，所以，即，所以，即 7分所以 8分證法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立方程組5分整理，得，解得或 6分將代入，得，即所以 8分（3）解：設(shè)點(diǎn)、（，），則，因?yàn)?，所以，?9分因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，所以，即因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以 10分因?yàn)椋?所以 11分由（2）知，即設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)， 12分當(dāng)，即時(shí)， 13分所以的取值范圍為 14分5、設(shè)拋物線C的方程為x2 =4y，M為直線l：y=m(m>0)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩 條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A,B（）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，l）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系； ()當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使MA MB?若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由，解：（）當(dāng)M的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)過M點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，.因?yàn)镸到AB的中點(diǎn)(0，1)的距離為2，從而過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為易知此圓與直線l：y=-1相切. （6分）（）設(shè)切點(diǎn)分別為、，直線l上的點(diǎn)為M，過拋物線上點(diǎn)的切線方程為，因?yàn)椋?，從而過拋物線上點(diǎn)的切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以得，即.同理可得過點(diǎn)的切線方程為，（8分）因?yàn)椋沂欠匠痰膬蓪?shí)根，從而，所以，當(dāng)，即時(shí)，直線上任意一點(diǎn)M均有MAMB，（10分）當(dāng)，即m1時(shí)，MA與MB不垂直.綜上所述，當(dāng)m =1時(shí)，直線上存在無窮多個(gè)點(diǎn)M，使MAMB，當(dāng)m1時(shí)，直線l上不存在滿足條件的點(diǎn)M.（12分）6、已知橢圓的左焦點(diǎn)是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線軸時(shí)，求的值；（2）求的值。（）解：由題意橢圓的離心率，所以， 所以8分 故 由，及，10分得，將代入上式得，13分注意到，得，14分所以為所求 15分7、 已知離心率為的橢圓過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)。（1）求橢圓的方程。（2）證明：若直線的斜率分別為、，求證：+=0。解：（）設(shè)橢圓的方程為:由題意得: 橢圓方程為（）由直線,可設(shè)，將式子代入橢圓得: 設(shè),則設(shè)直線、的斜率分別為、，則 下面只需證明：，事實(shí)上，。8、 設(shè)雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)。（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)； （2）求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；（3）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若（T為（1）中的點(diǎn)）的取值范圍。解：（1）由題，得，設(shè)則由又在雙曲線上，則 聯(lián)立、，解得 由題意， 點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0） （2）設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）由A1、P、M三點(diǎn)共線，得 由A2、Q、M三點(diǎn)共線，得 聯(lián)立、，解得 在雙曲線上，軌跡E的方程為 （3）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。故可設(shè)直線l的方程為中，得 設(shè) 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 有將式平方除以式，得 由 又故令 ，即 而 ， 8、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，是橢圓上任意一點(diǎn)，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線是圓：上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與橢圓交與不同的兩點(diǎn)，證明：的大小為定值解（）因?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以，可得，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，可得，所以，可得，所求橢圓的方程為 5分（）直線的方程為 ，且，記，聯(lián)立方程，消去得， 8分，從而 是定值 13分9、已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且直線與軸交于點(diǎn)（1）求證:，成等比數(shù)列；（2）設(shè)，試問是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由解：（1）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程可得得: 設(shè)，則， ，而，即，、成等比數(shù)列7分（2）由，得， ，即得：，則由（1）中代入得，故為定值且定值為13分10.已知橢圓上的任意一點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為，且其焦距為（）求橢圓的方程；（）已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，問是否存在以，為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)若存在，求出的值；不存在，說明理由解：（）依題意可知 又，解得 （2分）則橢圓方程為（4分）（）聯(lián)立方程 消去整理得：（6分）則，解得 （7分）設(shè)，則，又，若存在，則，即： 又代入有，解得或（11分）檢驗(yàn)都滿足，（12分）10、已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（）求橢圓的方程；（）已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn)若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；已知點(diǎn)，求證：為定值解：（1）因?yàn)闈M足， 2分，解得，則橢圓方程為4分（2）將代入中得6分， 7分因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得 9分由（1）知，所以 11分12分14分11、已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為（1）求點(diǎn)M軌跡的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與（1）中的軌跡交于不同的兩點(diǎn)、（在、之間），試求與面積之比的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ， 整理，得（），這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 4分（2）方法一 由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為（） 將代入，得，由，解得設(shè)，則 令，則，即，即，且 由得，即且且解得且，且ODE與ODF面積之比的取值范圍是12分方法二 由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為 將代入，整理，得， 由，解得 設(shè)，則 令，且 將代入，得即 且，且即且解得且 ，且故ODE與ODF面積之比的取值范圍是12分11、已知橢圓的離心率，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程（2）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。 (1)由題意得解得.所以橢圓C的方程為.(2)由得.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為，則，.所以|MN|=.由因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線的距離，所以AMN的面積為. 由，解得.