數(shù)學(xué)精練（6） 1．已知平面向量，滿足，，與的夾角為，若，則實數(shù)的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為，所以,解得 . 2．（理科）正弦曲線和直線及軸所圍成的平面圖形的面積是（ ） A .1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】所求面積為3-3()=3,故選C. 3（本小題滿分12分）設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為， 令平面向量,． (Ⅰ)求使得事件“”發(fā)生的概率； (Ⅱ)求使得事件“”發(fā)生的概率； (Ⅲ)使得事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率． 解：（1）由題意知，， 故所有可能的取法共36種. ．．．．．．．．．．．．．．2分 使得，即，即，共有2種，所以 求使得的概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (2)即， 共有、6種 使得的概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）由直線與圓的位置關(guān)系得，，即，共有,5種，所以直線與圓相交的概率 ．．．．．．．12分 4（本小題滿分12分） 如圖，在三棱柱中，平面， 為的中點. (1) 求證：∥平面； (2) 求二面角的平面角的余弦值. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的平行關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 【試題解析】(方法一)⑴證明：如圖一，連結(jié)與交于點，連結(jié). 　　在△中，、為中點，∴∥.　　　　　　　　　　　　　(3分) 　　又平面，平面， ∴∥平面. (5分) ⑵解：二面角與二面角互補. 如圖二，作，垂足為， 又平面平面，∴平面. 作，垂足為，連結(jié)，則， ∴∠為二面角的平面角. (8分) 設(shè)， 在等邊△中，為中點，∴，在正方形中，, ∴，，∴. . (11分)[ ∴所求二面角的余弦值為. (12分) (方法二)證明：如圖三以的中點為原點建系，設(shè). 設(shè)是平面的一個法向量， 則.又，， ∴.令，∴. (3分) 　 ∵，∴. 　　又平面，∴∥平面. (5分) ⑵解：設(shè)是平面的一個法向量， 則.又，, ∴.令，∴. 　　　　　(8分) ∴. (11分) ∴所求二面角的余弦值為. (12分) 5（本小題滿分12分）如圖，五面體中，．底面是正三角 形，．四邊形是矩形，二面角為 直二面角． （Ⅰ）若是中點，求證： ∥平面； （Ⅱ）求該五面體的體積. 解：（Ⅰ）證明:連結(jié)交于,連結(jié) O ∵ 四邊形是矩形 ∴為中點又為中點, 從而 (4分)∵平面,平面 ∴平面(6分) （Ⅱ）過作，垂足為，為正三角形， 為中點， (8分) 二面角為直二面角，面,又,故矩形的面積 (10分) 故所求五面體體積 (12分) 6已知等差數(shù)列的公差大于0,且 是方程的兩根,數(shù)列的前n項的和為，且． （1） 求數(shù)列，的通項公式； （2）若求數(shù)列的前項和． 解：（1）∵a3，a5是方程的兩根，且數(shù)列的公差>0， ∴a3=5，a5=9，公差 ∴ ………………3分 又當(dāng)=1時，有 當(dāng) ∴數(shù)列{}是首項，公比等比數(shù)列， ∴ …………6分 （2）由（Ⅰ）知 …………8分 設(shè)數(shù)列的前項和為， （1） (2) ………………10分 ： 化簡得： ………………………12分 7 已知橢圓：()過點，其左、右焦點分別為， 且． （1）求橢圓的方程； （2）若是直線上的兩個動點，且，則以為直徑的圓是否過定點？請說明理由． 解：（1）設(shè)點的坐標(biāo)分別為， 則 故，可得， …………………2分 所以，…………………4分 故， 所以橢圓的方程為．　 　　　 　……………………………6分 （2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，則， 又，可得，即， …………………8分 又圓的圓心為半徑為， 故圓的方程為， 即， 也就是， ……………………11分 令，可得或2， 故圓必過定點和．　　　　　　　　 　……………………12分 （另法：（1）中也可以直接將點坐標(biāo)代入橢圓方程來進行求解；（2）中可利用圓C直徑的兩端點直接寫出圓的方程） 8 已知二次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖, （1）求函數(shù)處的切線斜率； （2）若函數(shù)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （3）若的圖像總在函數(shù)圖象的上方，求的取值范圍． 解：（1）由已知，，其圖象為直線，且過兩點， …………1分 …………2分 …………3分 ，所以函數(shù)處的切線斜率為0 …………4分 （2） 的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和 的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3） …………6分 要使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則，解得…………8分 （3）由題意，恒成立， 得恒成立， 即恒成立， 設(shè)…………10分 因為 當(dāng) 的最小值為的較小者．…………12分 …………13分 又已知, ． …………14分 參考答案