數(shù)學(xué)精練（23） 1．在棱長為4的正方體中，、分別為棱、上的動點(diǎn)，點(diǎn)為正方形 的中心. 則空間四邊形在該正方體各個(gè)面上的正投影所構(gòu)成的圖形中，面積的最 大值為 ▲ . 答案：12 O B C F1 F2 D x y (第 3題) 2．若對任意的都成立，則的最小值為 ▲ . 答案： 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓 ()的左、右焦點(diǎn)，B，C分別為橢圓 的上、下頂點(diǎn)，直線BF2與橢圓的另一交點(diǎn)為. 若 ，則直線的斜率為 ▲ . 答案： 4．各項(xiàng)均為正偶數(shù)的數(shù)列a1，a2，a3，a4中，前三項(xiàng)依次成公差為d（d > 0）的等差數(shù)列，后三項(xiàng) 依次成公比為q的等比數(shù)列. 若，則q的所有可能的值構(gòu)成的集合為 ▲ . 答案： 5 在斜三角形中，角A，B，C的對邊分別為 a，b，c. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 解：（1）由正弦定理，得． 從而可化為． …………………………3分 由余弦定理，得． 整理得，即. ……………………………………………………7分 （2）在斜三角形中，， 所以可化為， 即．……………………………………10分 故． 整理，得， ………………………12分 因?yàn)椤鰽BC是斜三角形，所以sinAcosAcosC， 所以．………………………………………14分 6 A （第16題） B C D D1 C1 B1 A1 M 如圖，在六面體中，，， .求證： （1）； （2）. 證明：（1）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)、， 因?yàn)?，? 所以，．…………………………3分 又，平面，所以平面． 而平面， 所以.………………………………………7分 （2）因?yàn)椋? 平面，平面， 所以平面．………………………………9分 又平面，平面平面，………11分 所以．同理得， 所以．…………………………………………14分 7 將52名志愿者分成A，B兩組參加義務(wù)植樹活動，A組種植150捆白楊樹苗，B組種植200捆 沙棘樹苗．假定A，B兩組同時(shí)開始種植． （1）根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì)，每名志愿者種植一捆白楊樹苗用時(shí)小時(shí)，種植一捆沙棘樹苗用時(shí)小時(shí).應(yīng)如何分配A，B兩組的人數(shù)，使植樹活動持續(xù)時(shí)間最短？ （2）在按（1）分配的人數(shù)種植1小時(shí)后發(fā)現(xiàn)，每名志愿者種植一捆白楊樹苗用時(shí)仍為小時(shí)， 而每名志愿者種植一捆沙棘樹苗實(shí)際用時(shí)小時(shí)，于是從A組抽調(diào)6名志愿者加入B組繼 續(xù)種植，求植樹活動所持續(xù)的時(shí)間. 解：（1）設(shè)A組人數(shù)為，且，， 則A組活動所需時(shí)間；…………………………2分 B組活動所需時(shí)間．………………………4分 令，即，解得． 所以兩組同時(shí)開始的植樹活動所需時(shí)間 …………………………………6分 而故． 所以當(dāng)A、B兩組人數(shù)分別為時(shí)，使植樹活動持續(xù)時(shí)間最短．………………8分 （2）A組所需時(shí)間為1+（小時(shí)），…………………10分 B組所需時(shí)間為（小時(shí)）， ………………12分 所以植樹活動所持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)． ………………………14分 8 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，圓：． （第18題） 才 （1）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為 ，求直線的方程； （2）設(shè)動圓同時(shí)平分圓的周長、圓的周長． ①證明：動圓圓心C在一條定直線上運(yùn)動； ②動圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的 坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由． 解：（1）設(shè)直線的方程為，即． 因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為，而圓的半徑為1， 所以圓心到：的距離為．…………………………3分 化簡，得，解得或． 所以直線的方程為或．…………………………………6分 （2）①證明：設(shè)圓心，由題意，得， 即． 化簡得， 即動圓圓心C在定直線上運(yùn)動．…………………………………………10分 ②圓過定點(diǎn)，設(shè)， 則動圓C的半徑為． 于是動圓C的方程為． 整理，得．…………………………………………14分 由得或 所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為，．………………………16分 9 已知函數(shù)． （1）設(shè)P，Q是函數(shù)圖象上相異的兩點(diǎn)，證明：直線PQ的斜率大于0； （2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使不等式在上恒成立． 解：（1）由題意，得． 所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增． 設(shè)，，則有，即． ………………………………6分 （2）當(dāng)時(shí)，恒成立．………………………………………8分 當(dāng)時(shí)，令， ． ①當(dāng)，即時(shí)，， 所以在上為單調(diào)增函數(shù)． 所以，符合題意． ……………………………10分 ②當(dāng)，即時(shí)，令， 于是． 因?yàn)?，所以，從而? 所以在上為單調(diào)增函數(shù)． 所以，即， 亦即．……………………………………………………………12分 （i）當(dāng)，即時(shí)，， 所以在上為單調(diào)增函數(shù)．于是，符合題意．…………14分 （ii）當(dāng)，即時(shí)，存在，使得 當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在上為單調(diào)減函數(shù)， 從而，不能使恒成立． 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．……………………………………………………16分 20 設(shè)數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù).若對任意的，存在，使得成立，則稱 數(shù)列{}為“Jk型”數(shù)列． （1）若數(shù)列{}是“J2型”數(shù)列，且，，求； （2）若數(shù)列{}既是“J3型”數(shù)列，又是“J4型”數(shù)列，證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列. 解：（1）由題意，得，，，，…成等比數(shù)列，且公比， 所以． ………………………………………………………………4分 （2）證明：由{}是“型”數(shù)列，得 ，，，，，，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為. …………………………6分 由{}是“型”數(shù)列，得 ，，，，，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為； ，，，，，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為； ，，，，，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為； 則，，． 所以，不妨記，且． ……………………………12分 于是， ， ， 所以，故{}為等比數(shù)列． 參考答案