數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)精練（3） 1 ． 在中，分別是角 A、B、C的對邊， 且（1）求角B的大??；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期，最大值及當(dāng)取得最大值時的值. 【解析】（1）由，得 由正弦定理，得 2分 即， ， 4分 在中，，， 6分 （2）， 8分 所以的最小正周期為 10分 令，得 即當(dāng)時取最大值1 12分 2 有兩枚大小相同、質(zhì)地均勻的正四面體玩具，每個玩具的各個面上分別寫著數(shù)字1，2，3，5。同時投擲這兩枚玩具一次，記為兩個朝下的面上的數(shù)字之和. （1）求事件“m不小于6”的概率； （2）“m為奇數(shù)”的概率和“m為偶數(shù)”的概率是不是相等？證明你作出的結(jié)論。 【解析】因玩具是均勻的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出現(xiàn)的可能情況有 （1，1），（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，5） 共16種 4分 （1）事件“m不小于6”包含其中（1，5），（2，5），（3，5），（3，3）（5，1），（5，2），（5，3），（5，8）共8個基本事件 6分 所以P(m≥6)= 8分 （2）“m為奇數(shù)”的概率和“m為偶數(shù)”的概率不相等。 因?yàn)閙為奇數(shù)的概率為 10分 M為偶數(shù)的概率為。這兩個概率值不相等 12分 3 在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是: 每場投6個球，至少投進(jìn)4個球且最后2個球都投進(jìn)者獲獎；否則不獲獎. 已知教師甲投進(jìn)每個球的概率都是． （Ⅰ）記教師甲在每場的6次投球中投進(jìn)球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）求教師甲在一場比賽中獲獎的概率； （Ⅲ）已知教師乙在某場比賽中，6個球中恰好投進(jìn)了4個球，求教師乙在這場比賽中獲獎的概率；教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率相等嗎？ 【解析】（Ⅰ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6. 依條件可知X~B(6，). () X的分布列為：[ X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以=. 或因?yàn)閄~B(6，)，所以. 即X的數(shù)學(xué)期望為4． ……………4分 （Ⅱ）設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A， 則 答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為 ………………………………8分 （Ⅲ）設(shè)教師乙在這場比賽中獲獎為事件B， 則. 即教師乙在這場比賽中獲獎的概率為. 顯然，所以教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率不相等． …………………12分 4 如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中， 平面ABC，AB=2BC，AC=AA1=BC. （1）證明：平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上是 否存在一點(diǎn)E，使DE//平面AB1C1？若存在， 請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由. 【解析】證明：（1），為直角三角形且 從而BCAC。又AA1平面ABC，BCCC1 2分 從而BC面ACC1A1，BCA1C，B1C1A1C 4分 ，側(cè)面ACC1A1為正方形， 又B1C1∩AC1=C1，面AB1C1. 6分 （2）存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn) 8分 下面給出證明： 取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，則DF//B1C1。 AB的中點(diǎn)為E，連接EF，則EF//AB1。 B1C1與AB1是相交直線，面DEF//面AB1C1。 10分 而面DEF，DE//面AB1C1 12分 5（本小題共12分）在如圖的多面體中，⊥平面，,，，，，，是的中點(diǎn)． (Ⅰ) 求證：平面； (Ⅱ) 求證：； (Ⅲ) 求二面角的余弦值. 【解析】(Ⅰ)證明：∵， ∴. 又∵,是的中點(diǎn)， ∴， ∴四邊形是平行四邊形, ∴ . ……………2分 ∵平面，平面， ∴平面. …………………4分 (Ⅱ) 解法1 證明：∵平面，平面， ∴， 又，平面， ∴平面. ………………………5分 過作交于，則平面. ∵平面， ∴. ………………………6分 ∵，∴四邊形平行四邊形， ∴， ∴，又， ∴四邊形為正方形， ∴， ………………………7分 又平面，平面, ∴⊥平面. ∵平面, ∴. ………………8分 解法2 ∵平面，平面，平面，∴，， 又, ∴兩兩垂直. ……………………5分 以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系. 由已知得，（0，0，2），（2，0，0）， （2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）， （2，2，0）. …………………………6分 ∴，，………7分 ∴, ∴. …………………………8分 (Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 設(shè)平面的法向量為，∵， ∴，即，令,得. ……………10分 設(shè)二面角的大小為， 則， …………………………11分 ∴二面角的余弦值為 …………………………12分 6 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為 當(dāng)時，點(diǎn)在直線上，數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為。求。 【解析】（1）當(dāng)且時，點(diǎn)在直線上， ①　　　　 ② 由②-①得： 2分 由得，又，4分 數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 6分 （2） 8分 ③ ④ 10分 由③-④得：， 12分 7．（本小題滿分12分）已知函數(shù) （1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。 （2）若函數(shù)在[1，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）。 當(dāng)時， 2分 當(dāng)變化時，的變化情況如下： - 0 + 極小值 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ；單調(diào)遞增區(qū)間是。 極小值是 6分 （2）由，得 8分 又函數(shù)為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù)。 則在[1，4]上恒成立， 所以不等式在[1，4]上恒成立， 即在[1，4]上恒成立。 10分 設(shè)，顯然在[1，4]上為減函數(shù)， 所以的最小值為的取值范圍是 12分