數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)精練（40） 1．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率e=． (Ⅰ) 求橢圓E的方程； (Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)（1,0）作直線交E于P、Q兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 2．已知向量動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離等于并且滿足其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是參數(shù). （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并判斷曲線類型； （2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值； （3）如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，其離心率滿足求實(shí)數(shù)的取值范圍。 3.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸 的對(duì)稱點(diǎn)為 . （i）求證：直線過(guò)軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)； （ii）求△面積的取值范圍。 4. 過(guò)軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、，、為切點(diǎn)． A O P Q （1）若切線，的斜率分別為和，求證： 為定值，并求出定值； （2）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； （3）當(dāng)最小時(shí)，求的值． 5. 若圓過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足. （1）求曲線的方程； （2）若，直線的斜率為，過(guò)、兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處有共同的切線，求圓的方程； （3）分別過(guò)、作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證：與均為定值. 6. 已知定點(diǎn)A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)F，并說(shuō)明理由. 7 如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:平面； （Ⅱ）求二面角的大??； （Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離. 參考答案 解：(1)，∴所求橢圓E的方程為： (2)當(dāng)直線不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線的方程為： ， 把（2）代人（1）整理得： ∴， 假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值 = 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，（為定值）．這時(shí) 再驗(yàn)證當(dāng)直線的傾斜角時(shí)的情形，此時(shí)取， ， ∴存在定點(diǎn)使得對(duì)于經(jīng)過(guò)（1,0）點(diǎn)的任意一條直線 均有（恒為定值）． 2．（1）設(shè)由題設(shè)可得 ， 因 即為所求軌跡方程。 當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線； 當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓； 當(dāng)時(shí)，方程可化為當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線； 當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓。 （2）當(dāng)時(shí)， 的軌跡方程為得 ∴當(dāng)時(shí)，取最小值 當(dāng)時(shí)，取最大值16. 因此，的最小值是，最大值是4. （3）由于即此時(shí)圓錐曲線是橢圓，其方程可化為 ①當(dāng)時(shí)， ②當(dāng)時(shí)， 而得， 綜上，的取值范圍是 3.(Ⅰ)易得，則所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (Ⅱ)（i）不妨設(shè)直線方程為，代入 得：， 設(shè)，則有，， 由關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，得， 根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為， 得，即，整理得， ，代入得 則定點(diǎn)為 （ii）由（I）中判別式，解得 ，而直線過(guò)定點(diǎn) 所以 記，，易得在上位單調(diào)遞減函數(shù)， 得 4. （1），， 即，即， 同理，所以。聯(lián)立PQ的直線方程和拋物線方程可得： ，所以，所以 （2）因?yàn)?，所以直線恒過(guò)定點(diǎn) （3），所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即。 因?yàn)? 因?yàn)? 所以 5. （1）依題意,點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線，曲線的方程為； （2）直線的方程是,即， 由得點(diǎn)、的坐標(biāo)是或， 當(dāng)、時(shí)，由得,， 所以拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為， 直線的方程為，即…………① 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中垂線方程為，即…………② 由①、②解得， 于是，圓的方程為， 即 ， 當(dāng)、時(shí)，拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為，此時(shí)切線與垂直，所求圓為以為直徑的圓，可求得圓為， （3）設(shè)，,，過(guò)點(diǎn)的切線方程為， 即，同理可得，所以,， 又=，所以直線的方程為， 即,亦即,所以， 而,，所以 . 6. ：(1)設(shè)P(x,y)，則 化簡(jiǎn)得x2－=1(y≠0) (2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0) 與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y得 (3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由題意知3－k2≠0且△＞0 設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)， 則 y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4] ＝k2(＋4) ＝ 因?yàn)閤1、x2≠－1 所以直線AB的方程為y＝(x＋1) 因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為() ,同理可得 因此 ＝ ＝0 ②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3) AB的方程為y＝x＋1,因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()， 同理可得 因此＝0 綜上＝0，即FM⊥FN 故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F 7 ：(Ⅰ) 連結(jié)與交于， 則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，//. 又平面，平面//平面 （Ⅱ）(解法1)過(guò)作于，由正三棱柱的性質(zhì)可知， 平面，連結(jié)，在正中， 在直角三角形中， 由三垂線定理的逆定理可得.則為二面角的平面角， 又得， ， ∴.故所求二面角的大小為.