數(shù)學沖刺復(fù)習 數(shù)學精練（41） 1、已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點. （Ⅰ）證明：CM⊥SN； （Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小. 2、已知三棱錐P—ABC中，PC⊥底面ABC，,，二面角P-AB-C為，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E． （Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE； （Ⅱ）求直線EB與平面PAC所成的角。 3、如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC， AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC . （Ⅰ）證明：SE=2EB； （Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 . 4、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 (1) 求證：PC⊥BC； (2) 求點A到平面PBC的距離。 5、如圖， 在矩形中，點分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （Ⅰ）求二面角的余弦值； （Ⅱ）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。 6、北京的高考數(shù)學試卷中共有8道選擇題,每個選擇題都給了4個選項(其中有且僅有一個選項是正確的).評分標準規(guī)定:每題只選1項,答對得5分,不答或答錯得0分.某考生每道題都給出了答案,已確定有4道題的答案是正確的,而其余的題中,有兩道題每題都可判斷其有兩個選項是錯誤的,有一道題可以判斷其一個選項是錯誤的,還有一道題因不理解題意只能亂猜.對于這8道選擇題,試求: (Ⅰ) 該考生得分為40分的概率; (Ⅱ) 該考生所得分數(shù)的分布列及數(shù)學期望. 7、某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間有關(guān)，每臺這種家用電器若無故障使用時間不超過一年，則銷售利潤為0元，若無故障使用時間超過一年不超過三年，則銷售利潤為100元；若無故障使用時間超過三年，則銷售利潤為200元。已知每臺該種電器的無故障使用時間不超過一年的概率為無故障使用時間超過一年不超過三年的概率為 （I）求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元的概率； （II）求銷售三臺這種家用電器的銷售利潤總和為300元的概率； 參考答案 1、設(shè)PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸 正向建立空間直角坐標系如圖。 則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0） （Ⅰ）, 因為， 所以CM⊥SN 。 （Ⅱ）, 設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量， 則 因為 所以SN與片面CMN所成角為45°。 2、w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om （1）證明PC⊥底面ABC，又AB=BC,D為AC中點平面ACP平面ACP ，又平面BDE （2）由（1）的證明知平面ACP為直線EB與平面PAC所成的角。 為PB在平面ABC上的射影為二面角P-AB-C的平面角 3、 4（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。 由∠BCD=900，得CD⊥BC， 又PDDC=D，PD、DC平面PCD， 所以BC⊥平面PCD。 因為PC平面PCD，故PC⊥BC。 （2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則： 易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。 又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。 （方法二）體積法：連結(jié)AC。設(shè)點A到平面PBC的距離為h。 因為AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 從而AB=2，BC=1，得的面積。 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。 因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。 又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面積。 由，，得， 故點A到平面PBC的距離等于。 5、（Ⅰ）解：取線段EF的中點H，連結(jié)， 因為=及H是EF的中點，所以, 又因為平面平面.如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz 則（2，2，），C（10，8，0）， F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）. 設(shè)=（x,y,z）為平面的一個法向量， -2x+2y+2z=0 所以 6x=0. 取，則。又平面的一個法向量， 故。 所以二面角的余弦值為 （Ⅱ）解：設(shè)則， 因為翻折后，與重合，所以， 故， ，得， 經(jīng)檢驗，此時點在線段上，所以。 6、 (Ⅰ)要得40分,8道選擇題必須全做對,在其余四道題中,有兩道題答對的概率為,有一道題答對的概率為,還有一道題答對的概率為,所以得40分的概率為 . (Ⅱ)依題意,該考生得分的取值是20,25,30,35,40,得分為20表示只做對了四道題,其余各題都做錯,故所求概率為; 同樣可求得得分為25分的概率為 ; 得分為30分的概率為; 得分為35分的概率為; 得分為40分的概率為. 于是的分布列為 20 25 30 35 40 故=. 該考生所得分數(shù)的數(shù)學期望為. 7、（I）無故障使用時間不超過一年的概率為 無故障使用時間超過一年不超過三年的概率為 無故障使用時間超過三年的概率為 設(shè)銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元的事件為A 答：銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元的概率為 （II）設(shè)銷售三臺這種家用電器的銷售利潤總和為300元的事件為B 答：銷售三臺這種家電器的銷售利潤總和為300元的概率為