數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)精練（11） 1 ． 三角形的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為、、，設(shè)向量，若//． （I）求角B的大?。? （II）求的取值范圍． A B C D E F 2 如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，． （Ⅰ）求證：BE//平面ADF； （Ⅱ）若矩形ABCD的一個邊AB =，EF =，則另一邊BC的長為何值時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為？ 3 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線l的方程為．請寫出點(diǎn)P到直線l的距離，并加以證明． 4 一工廠生產(chǎn)甲, 乙, 丙三種樣式的杯子,每種樣式均有500ml和700ml兩種型號, 某天的產(chǎn)量如右表(單位:個): 型號 甲樣式 乙樣式 丙樣式 500ml 2000 z 3000 700ml 3000 4500 5000 按樣式進(jìn)行分層抽樣，在該天生產(chǎn)的杯子中抽取100個,其中有甲樣式杯子25個. （I）求z的值； （II）用分層抽樣的方法在甲樣式杯子中抽取一個容量為5的樣本，從這個樣本中任取2個杯子，求至少有1個500ml杯子的概率． 5 已知圓C1的方程為，定直線l的方程為．動圓C與圓C1外切，且與直線l相切． （Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡M的方程； （II）斜率為k的直線l與軌跡M相切于第一象限的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），并交軌跡M于異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，記為POQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，求的值． 6 已知函數(shù)f(x)=x－ax + (a－1)，． (Ⅰ) 若，討論函數(shù)的單調(diào)性； （II）已知a =1，，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，證明： ． 參考答案 1 解（I）由//知，即得，據(jù)余弦定理知 ，得 ——————6分 （II） ————————9分 因?yàn)?，所以，?————10分 所以，得，即得的取值范圍為． ————————12分 2 解（Ⅰ）過點(diǎn)E作CD的平行線交DF于點(diǎn)M，連接AM． 因?yàn)镃E//DF，所以四邊形CEMD是平行四邊形．可得EM = CD且EM //CD，于是四邊形BEMA也是平行四邊形，所以有BE//AM，而直線BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF． ——————6分 A B C D E F （Ⅱ）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且． 由可得FD = 4，從而得DE = 2．————8分 因?yàn)?，，所以平面CDFE． 所以，． ————10分 因?yàn)?，，所以? 綜上，當(dāng)時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為．————12分 3 解：點(diǎn)P到直線l的距離公式為． ————3分 證法1：過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．若A = 0，則直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離為，而，可知結(jié)論是成立的． ————5分 若，則直線PH的斜率為，方程為，與直線l的方程聯(lián)立可得 解得， ————9分 據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得 ． ————12分 證法2：若B = 0，則直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離為 ； 若，則直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離為 ； 若，，過點(diǎn)P作y軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作直線l于y軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，設(shè)直線l的傾斜角為，則． 因?yàn)?， ， 所以，．綜上，．[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K] 證法３：過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．則直線PH的一個方向向量對應(yīng)于直線l的一個法向量，而直線l的一個法向量為，又線段PH的長為d，所以 或 設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則，可得 把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入直線l的方程得 整理得 ，解得． 證法４：過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．在直線l上任取一點(diǎn)Q，直線PH的一個方向向量為，據(jù)向量知識，向量在向量上的投影的絕對值恰好是線段PH的長，因此 因?yàn)椋c(diǎn)滿足，所以．因此． 4 解: （I）設(shè)該廠本月生產(chǎn)的乙樣式的杯子為n個,在丙樣式的杯子中抽取x個，由題意得, ,所以x=40. -----------2分 則100－40－25＝35，所以，n=7000， 故z＝2500 ----------6分 （II）設(shè)所抽樣本中有m個500ml杯子, 因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诩讟邮奖又谐槿∫粋€容量為5的樣本, 所以,解得m=2 -----------9分 也就是抽取了2個500ml杯子,3個700ml杯子,分別記作S1,S2;B1,B2,B3,則從中任取2個的所有基本事件為(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10個,其中至少有1個500ml杯子的基本事件有7個基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以從中任取2個, 至少有1個500ml杯子的概率為. -----------12分 5 解（Ⅰ）設(shè)動圓圓心C的坐標(biāo)為，動圓半徑為R，則 ，且 ————2分 可得 ． A 由于圓C1在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有，從而得，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程． ————5分 （II）如圖示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．由于該直線經(jīng)過點(diǎn)A（0,6），所以有，得．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4,2），直線PQ的方程為． —————9分 把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯(lián)立得，解得或4，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．所以 ——————13分 6 解(Ⅰ) 可知的定義域?yàn)椋? ————2分 因?yàn)?，所以? 故當(dāng)時(shí)；當(dāng)或時(shí)． 綜上，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)增加. ——————6分 （II）由，知，所以． 可得 ．　　　　　　——————８分 所以 ． 因?yàn)?　　　　　——————11分 所以 綜上，不等式得證． ——————14分