中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)存在性問(wèn)題 及參考答案一、二次函數(shù)中相似三角形的存在性問(wèn)題1.如圖，把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到拋物線.所得拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.（1）寫出的值；（2）判斷ACD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在線段AC上是否存在點(diǎn)M，使AOMABC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.2.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0），B（3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由二、二次函數(shù)中面積的存在性問(wèn)題3.如圖，拋物線與雙曲線相交于點(diǎn)A，B已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且tanAOX4過(guò)點(diǎn)A作直線AC軸，交拋物線于另一點(diǎn)C（1）求雙曲線和拋物線的解析式；（2）計(jì)算ABC的面積；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使ABD的面積等于ABC的面積若存在，請(qǐng)你寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由xyCB_D_AO4.如圖，拋物線yax2c（a0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（2,0），B（1, 3）（1）求拋物線的解析式；（3分）（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2分）（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使SPAD4SABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（4分）(4)在拋物線的BD段上是否存在點(diǎn)Q使三角形BDQ的面積最大，若有，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。三、二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題5.如圖,ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D（1）求b,c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：求以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.四、二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題6.如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交軸于另一點(diǎn)C（3,0）. 求拋物線的解析式;OCBA 在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.五、二次函數(shù)中等腰梯形、直角梯形的存在性問(wèn)題 7如圖，二次函數(shù)y= -x2+ax+b的圖像與x軸交于A(-，0)、B(2，0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C；(1) 求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀；(2) 在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)； (3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。yABCOx六、二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題8如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D直線y=2x1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（2，m）且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F（1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式；（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若SADP=SADC，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿對(duì)稱軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由1、【答案】解：（1）由平移的性質(zhì)知，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）， 。 （2）由（1）得. 當(dāng)時(shí)， 解之，得。 . 又當(dāng)時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）。又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，4），作拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)E，DF 軸于點(diǎn)F。易知在RtAED中，AD2=22+42=20，在RtAOC中，AC2=32+32=18， 在RtCFD中，CD2=12+12=2， AC2 CD2AD2。ACD是直角三角形。（3）存在作OMBC交AC于M，點(diǎn)即為所求點(diǎn)。由（2）知，AOC為等腰直角三角形，BAC450，AC。由AOM ABC，得。即。過(guò)M點(diǎn)作MGAB于點(diǎn)G，則AG=MG=，OG=AOAG=3。又點(diǎn)M在第三象限，所以M（，）。 2、【答案】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，拋物線過(guò)A（2，0），B（3，3），O（0，0）可得，解得。拋物線的解析式為。（2）當(dāng)AE為邊時(shí)，A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，DE=AO=2，則D在軸下方不可能，D在軸上方且DE=2，則D1（1，3），D2（3，3）。當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，則DE與AO互相平分。點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，由對(duì)稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，與點(diǎn)C重合，即C（1，1）。故符合條件的點(diǎn)D有三個(gè)，分別是D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）。（3）存在，如圖：B（3，3），C（1，1），根據(jù)勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC是直角三角形。假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與BOC相似，設(shè)P（，），由題意知0，0，且，若AMPBOC，則。即 +2=3（2+2）得：1=，2=2（舍去）當(dāng)=時(shí)，=，即P（，）。若PMABOC，則，。即：2+2=3（+2）得：1=3，2=2（舍去）當(dāng)=3時(shí)，=15，即P（3，15）故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）。3、【答案】解：（1）把點(diǎn)B（2，2）的坐標(biāo)代入得，4。雙曲線的解析式為：。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）A點(diǎn)在雙曲線上，mn4。又tanAOX4，4，即m4n。n21，n±1。A點(diǎn)在第一象限，n1，m4。A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）。把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得，1，3。拋物線的解析式為：。（2）AC軸，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y4，代入得方程，解得14，21（舍去）。C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），且AC5。又ABC的高為6，ABC的面積×5×615。（3）存在D點(diǎn)使ABD的面積等于ABC的面積。理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CDAB交拋物線于另一點(diǎn)D，此時(shí)ABD的面積等于ABC的面積（同底：AB，等高：CD和AB的距離）。直線AB相應(yīng)的一次函數(shù)是：，且CDAB，可設(shè)直線CD解析式為，把C點(diǎn)的坐標(biāo)（4，4）代入可得，。直線CD相應(yīng)的一次函數(shù)是：。解方程組，解得，。點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，18）。4.（1）、因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線上，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)適合拋物線方程 解之得：；故為所求（2）如圖2，連接BD，交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求作的點(diǎn)設(shè)BD的解析式為，則有，故BD的解析式為；令則，故(3)、如圖3，連接AM，BC交y軸于點(diǎn)N，由（2）知，OM=OA=OD=2，圖3易知BN=MN=1，易求；設(shè)，依題意有：，即：解之得：，故符合條件的P點(diǎn)有三個(gè)：5.解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（4，5），解得：b=2，c=3；（2）如圖：直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（4，5），直線AB的解析式為：y=x+1，二次函數(shù)y=x22x3，設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t）2+，當(dāng)t=時(shí)，EF的最大值為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）S四邊形EBFD=SBEF+SDEF=××（4）+××（1）=；如圖：）過(guò)點(diǎn)E作aEF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m22m3）則有：m22m2=，解得：m1=，m2=，P1（，），P2（，），）過(guò)點(diǎn)F作bEF交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n22n3）則有：n22n2=，解得：n1=，n2=（與點(diǎn)F重合，舍去），P3（，），綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：P1（，），P2（，），P3（，）能使EFP組成以EF為直角邊的直角三角形6.解：（1）當(dāng)=0時(shí)，=3當(dāng)=0時(shí)，=1（1，0），（0，3）（3，0）··························1分設(shè)拋物線的解析式為=a（+1）（3）3=a×1×（3）a=1此拋物線的解析式為=（ + 1）（3）=- +2+3·····2分（2）存在拋物線的對(duì)稱軸為：=1···············4分如圖對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)即為Q=，=（1，0）··························6分當(dāng)=時(shí)，設(shè)的坐標(biāo)為（1，m）2+m=1+（3m）m=1（1，1）··························8分當(dāng)=時(shí)，設(shè)（1，n）2+n=1+3n0n=（1，）符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（1，1），（1，）·10分7、答案：解 (1) 根據(jù)題意，將A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解這個(gè) 方程，得a=，b=1，該拋物線的解析式為y= -x2+x+1，當(dāng) x=0時(shí)，y=1， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)。在AOC中，AC=。 在BOC中，BC=。 AB=OA+OB=+2=，AC 2+BC 2=+5=AB 2，ABC是直角三角形。 (2) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，1)。 (3) 存在。由(1)知，ACBC。yABCOxP j 若以BC為底邊，則BC/AP，如圖1所示，可求得直線 BC的解析式為y= -x+1，直線AP可以看作是由直線 BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為y= -x+b， 把點(diǎn)A(-，0)代入直線AP的解析式，求得b= -， 直線AP的解析式為y= -x-。點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上，yABCOPx 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2= -(舍去)。當(dāng)x=時(shí)，y= -，點(diǎn)P(，-)。 k 若以AC為底邊，則BP/AC，如圖2所示。 可求得直線AC的解析式為y=2x+1。 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的， 所以設(shè)直線BP的解析式為y=2x+b，把點(diǎn)B(2，0)代 入直線BP的解析式，求得b= -4， 直線BP的解析式為y=2x-4。點(diǎn)P既在拋物線 上，又在直線BP上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。 當(dāng)x= -時(shí)，y= -9，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-，-9)。 綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)P為(，-)或(-，-9)。8解：（1）點(diǎn)B（2，m）在直線y=2x1上m=3 即B（2，3）又拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx點(diǎn)B（2，3），A（4，0）在拋物線上，解得：設(shè)拋物線的解析式為（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若SADP=SADC，又點(diǎn)C是直線y=2x1與y軸交點(diǎn)，C（0，1），OC=1，即或，解得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （3）結(jié)論：存在拋物線的解析式為，頂點(diǎn)E（2，1），對(duì)稱軸為x=2；點(diǎn)F是直線y=2x1與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)，F(xiàn)（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右圖所示，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，依次出現(xiàn)四個(gè)菱形：菱形AEM1Q1此時(shí)DM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形AEOM2此時(shí)DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3此時(shí)EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形AM4EQ4此時(shí)AE為菱形的對(duì)角線，設(shè)對(duì)角線AE與M4Q4交于點(diǎn)H，則AEM4Q4，易知AEDM4EH，即，得M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+DF=+5=，t4=綜上所述，存在點(diǎn)M、點(diǎn)Q，使得以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；時(shí)間t的值為：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=