課時知能訓練一、選擇題1(2020·清遠質(zhì)檢)已知直線l：yk(x1)與圓x2y21相切，則直線l的傾斜角為()A.B.C. D.【解析】由題意知，1，k，直線l的傾斜角為.【答案】D2過點(1,1)的直線與圓(x2)2(y3)29相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為()A2 B4C2 D5【解析】由圓的幾何性質(zhì)可知，當點(1,1)為弦AB的中點時，|AB|的值最小，此時|AB|224.【答案】B3過點(4,0)作直線l與圓x2y22x4y200交于A、B兩點，如果|AB|8，則直線l的方程為()A5x12y200 B5x12y200或x40C5x12y200 D5x12y200或x40【解析】圓的標準方程為(x1)2(y2)225，由|AB|8知，圓心(1,2)到直線l的距離d3，當直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x4時，符合題意，當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，即kxy4k0.則有3，k，此時直線l的方程為5x12y200.【答案】B4設(shè)O為坐標原點，C為圓(x2)2y23的圓心，且圓上有一點M(x，y)滿足·0，則()A. B.或C. D.或【解析】·0，OMCM，OM是圓的切線設(shè)OM的方程為ykx，由，得k±，即±.【答案】D5(2020·廣州模擬)若直線l：axby10(a>0，b>0)始終平分圓M：x2y28x2y10的周長，則的最小值為()A8 B16C1 D20【解析】由圓M化為(x4)2(y1)216，圓M的圓心M(4，1)依題意，直線l過圓心M(4，1)，4ab10，即4ab1，從而()()(4ab)88216，當且僅當，即b，a時，取等號，的最小值為16.【答案】B二、填空題6直線l與圓x2y22x4ya0(a3)相交于A，B兩點，若弦AB的中點C為(2,3)，則直線l的方程為_【解析】(1)圓的方程可化為(x1)2(y2)25a.由圓的幾何性質(zhì)可知圓心(1,2)與點C(2,3)的連線必垂直于l，又kAB1，l的方程為xy50.【答案】xy507若圓x2y24與圓x2y22ay60(a0)的公共弦長為2，則a_.【解析】公共弦所在的直線方程為y，由已知得，圓心(0,0)到公共弦的距離為1，1，a1.【答案】18已知圓O的方程為x2y22，圓M的方程為(x1)2(y3)21，過圓M上任一點P作圓O的切線PA，若直線PA與圓M的另一交點為Q，則當弦PQ的長度最大時，直線PA的斜率是_【解析】由題意知直線PQ過圓M的圓心(1,3)，故設(shè)PQ方程為y3k(x1)，即kxy3k0，由PQ與圓O相切得，即k26k70，解得k1或k7.【答案】1或7三、解答題9已知曲線C：x2y24mx2my20m200.(1)求證：不論m取何實數(shù)，曲線C恒過一定點；(2)求證：當m2時，曲線C是一個圓，且圓心在一條定直線上【證明】(1)曲線C的方程為x2y220m(4x2y20)0，故其經(jīng)過圓x2y2200與直線4x2y200的交點又因為直線4x2y200與圓x2y2200相切于點(4，2)，所以不論m取何實數(shù)，曲線C恒過定點(4，2)(2)曲線C的方程可化為(x2m)2(ym)25m220m205(m2)2.當m2時，5(m2)2>0.所以曲線C表示一個圓，且圓心P(2m，m)在定直線x2y0上10(2020·揭陽調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線yx相切于坐標原點O.(1)求圓C的方程；(2)試探求C上是否存在異于原點的點Q，使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由【解】(1)設(shè)圓心為C(a，b)，由OC與直線yx垂直，知O，C兩點的斜率kOC1，故ba，則|OC|2，即2，可解得或，結(jié)合點C(a，b)位于第二象限知.故圓C的方程為(x2)2(y2)28.(2)假設(shè)存在Q(m，n)符合題意，則，解得.故圓C上存在異于原點的點Q(，)符合題意11在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2y212x320的圓心為Q，過點P(0,2)，且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A、B.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由【解】(1)圓的方程可寫成(x6)2y24，所以圓心為Q(6,0)過P(0,2)且斜率為k的直線方程為ykx2，代入圓的方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360.直線與圓交于兩個不同的點A、B等價于4(k3)24×36(1k2)42(8k26k)0，解得k0，即k的取值范圍為(，0)(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2.又y1y2k(x1x2)4.因P(0,2)、Q(6,0)，(6，2)所以與共線等價于2(x1x2)6(y1y2)，將代入上式，解得k.而由(1)知k(，0)，故沒有符合題意的常數(shù)k.