課時(shí)知能訓(xùn)練一、選擇題1已知實(shí)數(shù)等比數(shù)列an中，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2·a32a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5等于()A35B33C31D29【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由a2·a32a1得aq32a1，a1q32，又a4與2a7的等差中項(xiàng)為，a42a7，a1q32a1q6，由得S531.【答案】C2某人為了觀看2020年南非足球世界杯，從2020年起，每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2020年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為()Aa(1p)4 Ba(1p)5C.(1p)4(1p) D.(1p)5(1p)【解析】依題意，可取出錢的總數(shù)為a(1p)4a(1p)3a(1p)2a(1p)a·(1p)5(1p)【答案】D3(2020·中山質(zhì)檢)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an，滿足2a3a2a110，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b6b8()A2 B4 C8 D16【解析】數(shù)列an是等差數(shù)列，a3a112a7，由2a3a2a110得4a7a0，又an0，a74，b6b8b4216.【答案】D4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anlog2(nN*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn5成立的自然數(shù)n()A有最小值63 B有最大值63C有最小值31 D有最大值31【解析】anlog2log2(n1)log2(n2)，Sna1a2anlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)，由Sn5得log2(n2)6，即n264，n62，n有最小值63.【答案】A5(2020·清遠(yuǎn)調(diào)研)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的公比q1，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則()A. B.C. D.【解析】由題意知，a3a2a1，a1q2a1qa1，q2q10，又q0，q，.【答案】B二、填空題6數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列bn的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列bn的公比為_【解析】aa1·a7，即(a12d)2a1·(a16d)，a12d，等比數(shù)列bn的公比q2.【答案】27設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱數(shù)列an為“和等比數(shù)列”若數(shù)列2bn是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，則數(shù)列bn_(填“是”或“不是”)“和等比數(shù)列”【解析】數(shù)列2bn是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，所以2bn2·4n122n1，bn2n1.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnn2，T2n4n2，所以4，因此數(shù)列bn是“和等比數(shù)列”【答案】是8(2020·濰坊模擬)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”則介于1到200之間的所有“神秘?cái)?shù)”之和為_【解析】設(shè)“神秘?cái)?shù)”為x，則x(2n2)2(2n)28n4(nZ)，由1x200及nZ知，0n24，所以所有這樣的“神秘?cái)?shù)”之和為2 500.【答案】2 500三、解答題9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且3an12Sn3(n為正整數(shù))(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記S，若對(duì)任意正整數(shù)n，kSSn恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值【解】(1)3an12Sn3，當(dāng)n2時(shí)，3an2Sn13.由得3an13an2an0，(n2)，又a11,3a22a13，解得a2，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列ana1qn1()n1(nN*)(2)由(1)知，Sn1()n又對(duì)nN*恒有k1()n，得k1()n.數(shù)列1()n單調(diào)遞增，當(dāng)n1時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，必有k，即實(shí)數(shù)k的最大值為.10(2020·湘潭模擬)國(guó)家助學(xué)貸款是由財(cái)政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生支付在校學(xué)習(xí)期間所需的學(xué)費(fèi)、住宿費(fèi)及生活費(fèi)每一年度申請(qǐng)總額不超過(guò)6 000元某大學(xué)2020屆畢業(yè)生李霄在本科期間共申請(qǐng)了24 000元助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)(按36個(gè)月計(jì))全部還清簽約的單位提供的工資標(biāo)準(zhǔn)為第一年內(nèi)每月1 500元，第13個(gè)月開始，每月工資比前一個(gè)月增加5%直到4 000元李霄同學(xué)計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款額為500元，第13個(gè)月開始，每月還款額比前一月多x元(1)若李霄恰好在第36個(gè)月(即畢業(yè)后三年)還清貸款，求x的值；(2)當(dāng)x50時(shí)，李霄同學(xué)將在第幾個(gè)月還清最后一筆貸款？他還清貸款的那一個(gè)月的工資余額是多少？(參考數(shù)據(jù)：1.05182.406,1.05192.526,1.05202.653,1.05212.786)【解】(1)依題意，從第13個(gè)月開始，每個(gè)月的還款額為an構(gòu)成等差數(shù)列，其中a1500x，公差為x.從而到第36個(gè)月，李霄共還款12×50024a1·x.令12×500(500x)×24·x24 000，解之得x20(元)，據(jù)題意，驗(yàn)證可行即要使在三年全部還清，第13個(gè)月起每個(gè)月必須比上一個(gè)月多還20元；(2)設(shè)李霄第n個(gè)月還清，則應(yīng)有12×500(50050)×(n12)·5024 000，整理可得n23n8280，解之得n30，取n31，即李霄工作31個(gè)月就可以還清貸款，這個(gè)月李霄的還款額為24 00012×500(50050)×(3012)·50450元，第31個(gè)月李霄的工資為1 500×1.05191 500×2.5263789元，因此，李霄的剩余工資為37894503339.11(2020·肇慶調(diào)研)已知等差數(shù)列an滿足：an1an(nN*)，a11，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1,1,3后順次成為等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)(1)分別求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式an，bn.(2)設(shè)Tn(nN*)，若Tnc(cZ)恒成立，求c的最小值【解】(1)設(shè)d、q分別為數(shù)列an、數(shù)列bn的公差與公比由題知，a11，a21d，a312d，分別加上1,1,3后得2,2d,42d是等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)，(2d)22(42d)d±2.an1an，d0.d2，an2n1(nN*)由此可得b12，b24，q2，bn2n(nN*)(2)Tn，當(dāng)n1時(shí)，T1；當(dāng)n2時(shí)，Tn.，得Tn().Tn133.Tn33.(3)在N*是單調(diào)遞增的，(3)2,3)，滿足條件Tnc(cZ)恒成立的最小整數(shù)值為c3.