課時(shí)知能訓(xùn)練一、選擇題1(2020·廣州模擬)已知橢圓1的左焦點(diǎn)F1，右頂點(diǎn)A，上頂點(diǎn)B且F1BA90°，則橢圓的離心率是()A.B.C. D.【解析】由題意知|F1B|a，|AB|，|AF1|ac，a2a2b2(ac)2，a2acc20.1ee20，即e2e10，又0e1，e.【答案】A2橢圓x2my21的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為()A. B.C2 D4【解析】由題意知a2，b21，且a2b，4，m.【答案】A3已知橢圓：1的焦距為4，則m等于()A4 B8C4或8 D以上均不對(duì)【解析】由，得2m10，由題意知(10m)(m2)4或(m2)(10m)4，解得m4或m8.【答案】C4若橢圓上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為21，則此橢圓離心率的取值范圍是()A， B，C(，1) D，1)【解析】設(shè)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是2k，k，根據(jù)橢圓的定義可知3k2a，又橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c，即k2c，2a6c，e.【答案】D5(2020·汕尾質(zhì)檢)已知P為橢圓1上的一點(diǎn)，M、N分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A5 B7C13 D15【解析】由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2分別是兩圓的圓心，且|PF1|PF2|10，從而|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|127.【答案】B二、填空題6已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若其離心率是，焦距是8，則該橢圓的方程為_(kāi)【解析】由題意知，c4，a8，b2a2c2641648，橢圓方程為1.【答案】17在ABC中，|AB|AC|，頂點(diǎn)A、B在橢圓1(ab0)上，頂點(diǎn)C為橢圓的左焦點(diǎn)，線(xiàn)段AB過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸，則該橢圓的離心率為_(kāi)【解析】如圖所示，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知|AC|CB|，又|AB|AC|，ABC為等邊三角形，AB過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸，|AF|，在RtAFC中|CF|AF|·2c，b22ac整理得，e22e0解得e或e(舍)【答案】8(2020·福建四校聯(lián)考)已知兩定點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使|PM|PN|4，則該直線(xiàn)為“A型直線(xiàn)”給出下列直線(xiàn)，其中是“A型直線(xiàn)”的是_(填序號(hào))yx1；y2；yx3；y2x3.【解析】以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓方程為1，則“A型直線(xiàn)”和該橢圓有交點(diǎn)容易驗(yàn)證直線(xiàn)、經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故直線(xiàn)是“A型直線(xiàn)”，直線(xiàn)和橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，故直線(xiàn)不是“A型直線(xiàn)”對(duì)于直線(xiàn)，由得7x224x240，此方程無(wú)解，從而直線(xiàn)和橢圓無(wú)交點(diǎn)，故不是“A型直線(xiàn)”【答案】三、解答題9(2020·陜西高考)設(shè)橢圓C：1(ab0)過(guò)點(diǎn)(0,4)，離心率為. (1)求C的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線(xiàn)被C所截線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)【解】(1)將(0,4)代入C的方程得1，b4.又由e，得，即1，a5，C的方程為1.(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線(xiàn)方程為y(x3)設(shè)直線(xiàn)與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線(xiàn)方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2. 設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則x，y(x1x26)，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)圖86210如圖862所示，點(diǎn)A，B分別是橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PAPF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線(xiàn)AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值【解】(1) 由已知可知點(diǎn)A(6,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x6，y)，(x4，y)，且y0，由已知得即2x29x180，解得x，y，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)(2)直線(xiàn)AP的方程為xy60，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0)，由題意可知|m6|，又6m6，m2，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215.當(dāng)x時(shí)，d取得最小值.圖86311(2020·江蘇高考)如圖863，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為C，連結(jié)AC并延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k.(1)若直線(xiàn)PA平分線(xiàn)段MN，求k的值；(2)當(dāng)k2時(shí)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離d；(3)對(duì)任意的k0，求證：PAPB.【解】(1)由題設(shè)知，a2，b，故M(2,0) ，N(0，)，所以線(xiàn)段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，)由于直線(xiàn)PA平分線(xiàn)段MN，故直線(xiàn)PA過(guò)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，又直線(xiàn)PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k.(2)直線(xiàn)PA的方程為y2x，代入橢圓方程得1，解得x±，因此P(，)，A(，)于是C(，0)，直線(xiàn)AC的斜率為1，故直線(xiàn)AB的方程為xy0.因此，d.(3)證明法一將直線(xiàn)PA的方程ykx代入1，解得x±.記，則P(，k)，A(，k)，于是C(，0)故直線(xiàn)AB的斜率為，其方程為y(x)，代入橢圓方程得(2k2)x22k2x2(3k22)0，解得x或x.因此B(，)于是直線(xiàn)PB的斜率k1.因此k1k1，所以PAPB.法二設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x10，x20，x1x2，A(x1，y1)，C(x1,0)設(shè)直線(xiàn)PB，AB的斜率分別為k1，k2.因?yàn)镃在直線(xiàn)AB上，所以k2.從而k1k12k1k212··110.因此k1k1，所以PAPB.