課時知能訓練一、選擇題1若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)1，f(2)2，則f(3)f(4)等于()A1B1C2D2【解析】函數(shù)周期T5，且為奇函數(shù)，f(1)f(15)f(4)f(4)1，f(4)1.又f(2)f(25)f(3)f(3)2，f(3)2，因此f(3)f(4)2(1)1.【答案】A2(2020·安徽高考)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)2x2x，則f(1)()A3 B1 C1 D3【解析】當x0時，f(x)2x2x，則f(1)3，由f(x)在R上為奇函數(shù)，得f(1)f(1)3.【答案】A3若函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x2)2，若f(0)2，則f(2 012)()A2 B2 C1 D2 010【解析】由f(x2)得f(x4)f(x)，f(x)的周期為4.f(2 012)f(503×40)f(0)2.【答案】A4(2020·廣東六校聯(lián)考)若偶函數(shù)f(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式f(1)f(lg x)的解集是()A(0,10) B(，10)C(，) D(0，)(10，)【解析】因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(|x|)，因為f(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增故|lg x|1，即lg x1或lg x1，解得x10或0x.【答案】D5(2020·湖北高考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，則f(2)()A2 B. C. Da2【解析】f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、聯(lián)立，g(2)a2，f(2)a2a2.【答案】B二、填空題6設函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為_【解析】f(x)是偶函數(shù)，f(1)f(1)，(ae)e，化簡變形得(1a)(e)0，因此1a0，a1.【答案】17(2020·廣東高考)設函數(shù)f(x)x3cos x1，若f(a)11，則f(a)_.【解析】令g(x)f(x)1x3cos x，則g(x)為奇函數(shù)，由f(a)g(a)111，得g(a)10，g(a)10，又g(a)f(a)1，故f(a)g(a)19.【答案】98設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當x0,1時，f(x)2x，則有2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正確命題的序號是_【解析】在f(x1)f(x1)中，令x1t，則有f(t2)f(t)，因此2是函數(shù)f(x)的周期，故正確；當x0,1時，f(x)2x是增函數(shù)，則f(x)在1,0上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)，故正確；在區(qū)間1,1上，f(x)的最大值為f(1)f(1)2，f(x)的最小值為f(0)1，故錯誤【答案】三、解答題9已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x22x.試解關于a的不等式f(2a2)f(a)【解】當x0時，f(x)x22x是增函數(shù)又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(，)上是增函數(shù)由f(2a2)f(a)，得2a2a，解之得2a1.不等式的解集為a|2a110定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足對任意x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在0，)上是增函數(shù)，試求實數(shù)x的取值范圍【解】(1)令x1x20，得f(0)0；令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(2)f(4)1，f(8)f(4)f(4)2，原不等式化為f(x1)f(8)又f(x)在0，)上是增函數(shù)，f(0)0且f(x)是奇函數(shù)，f(x)在(，)上是增函數(shù)因此x18，x9.所以實數(shù)x的取值范圍是(，9)11已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關于直線x1對稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)(0x1)，求x5，4時，函數(shù)f(x)的解析式【解】(1)證明由函數(shù)f(x)的圖象關于直線x1對稱，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)0.x1,0)時，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0時，f(x).x5，4時，x41,0，f(x)f(x4).從而，x5，4時，函數(shù)f(x).