課時(shí)知能訓(xùn)練一、選擇題1(2020·汕尾模擬)函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)【解析】由題意知f(x)在(0，)上是減函數(shù)A中，f(x)滿足要求；B中f(x)(x1)2在0,1上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)；C中f(x)ex是增函數(shù)；D中f(x)ln(x1)是增函數(shù)【答案】A2若函數(shù)f(x)x22ax與g(x)(a1)1x在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A(1,0) B(1,0)(0,1C(0,1) D(0,1【解析】f(x)x22ax(xa)2a2在1,2上是減函數(shù)，a1. 又g(x)(a1)1x在1,2上是減函數(shù)a11，a0 由、知，0a1.【答案】D3定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)ab時(shí)，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1B1 C6D12【解析】由已知得當(dāng)2x1時(shí)，f(x)x2，當(dāng)1x2時(shí)，f(x)x32f(x)x2，f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)f(x)的最大值為f(2)2326.【答案】C4已知函數(shù)f(x)x22ax5在(，2上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x1，x21，a1，總有|f(x1)f(x2)|4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A1,4 B2,3C2,5 D3，)【解析】f(x)x22ax5的對(duì)稱軸方程xa.又f(x)在(，2上是減函數(shù)，2a，又x1，x21，a1，|f(x1)f(x2)|f(x1)，f(x2)maxf(a)又|f(x1)f(x2)|4，即解得：1a3.綜上可知：2a3.【答案】B5(2020·揭陽(yáng)質(zhì)檢)已知f(x)是R上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是()A(1，) B(1，C(1,2) D，2)【解析】依題意解之得a2.【答案】D二、填空題6(2020·江蘇高考)函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_【解析】f(x)的定義域(，)，ylog5u在(0，)上是增函數(shù)，且x時(shí)，u2x1為增函數(shù)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(，)【答案】(，)7(2020·東莞模擬)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義mina，b設(shè)函數(shù)f(x)x3，g(x)log2x，則函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_【解析】依題意，h(x)當(dāng)0x2時(shí)，h(x)log2x是增函數(shù)；當(dāng)x2時(shí)，h(x)3x是減函數(shù)，h(x)在x2時(shí)，取得最大值h(2)1.【答案】18(2020·北京高考)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_【解析】當(dāng)x2時(shí)，f(x)是減函數(shù)，0f(x)1，當(dāng)x2時(shí)，f(x)(x1)3是增函數(shù)，f(x)1.結(jié)合函數(shù)的圖象知，f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則0k1.【答案】(0,1)三、解答題9已知f(x)(xa)(1)若a2，試證f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若a0且f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍【解】(1)證明任設(shè)x1x22，則f(x1)f(x2).(x12)(x22)0，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞增(2)f(x)1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(a，)，(，a)上是減函數(shù)，又f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，0a1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,110若不等式a2x在1，)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解】不等式a2x在1，)上恒成立，得a2x，即a2x恒成立令g(x)2x，x1，)，g(x)2，當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，g(x)在x1，)上是增函數(shù)因此g(x)ming(1)3.a3時(shí)，f(x)2x在x1，)上恒成立故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，3)11(2020·江西高考)設(shè)f(x)x3mx2nx.(1)如果g(x)f(x)2x3在x2處取得最小值5，求f(x)的解析式；(2)如果mn10(m，nN)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求m和n的值(注：區(qū)間(a，b)的長(zhǎng)度為ba)【解】(1)易知f(x)x22mxng(x)f(x)2x3x22(m1)xn3(xm1)2n3(m1)2，g(x)在x2處取得最小值5.所以，即m3，n2，故函數(shù)的解析式為f(x)x33x22x.(2)因?yàn)閒(x)x22mxn，且f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度為正整數(shù)，故f(x)0一定有兩個(gè)不同的根，從而4m24n0即m2n.不妨設(shè)為x1，x2，則|x2x1|2為正整數(shù)故m2時(shí)才可能有符合條件的m，n，當(dāng)m2時(shí)，只有n3符合要求，當(dāng)m3時(shí)，只有n5符合要求，當(dāng)m4時(shí)，沒(méi)有符合要求的n.綜上所述，只有m2，n3或m3，n5滿足上述要求