難點(diǎn)8揭開衛(wèi)星變軌及多星系統(tǒng)的神秘面紗 近年來隨著我國神舟系列、嫦娥系列及北斗系列等衛(wèi)星的不斷升空，衛(wèi)星變軌問題也常常出現(xiàn)在高考試卷中，而從單一星體繞著中心天體運(yùn)動(dòng)的問題也延伸到多星系統(tǒng)。衛(wèi)星變軌問題的難點(diǎn)都指向衛(wèi)星變軌的過程中速度、加速度、動(dòng)能、勢(shì)能、周期等一些列物理量如何變化；而多星系統(tǒng)的難點(diǎn)都指向受力的變化與多星體之間的相同物理量的理解。為此我們通過提供典型的問題，以達(dá)到揭開衛(wèi)星變軌與多星系統(tǒng)的神秘面紗。衛(wèi)星發(fā)射中的變軌PQ123【調(diào)研1】發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，如圖所示。則在衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是：A、衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率。B、衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度。C、衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度?！窘馕觥寇壍?比軌道1較高，根據(jù)高軌道線速度小、角速度小，可知A錯(cuò)B對(duì)；根據(jù)牛頓第二定律可得，即衛(wèi)星的加速度a只與衛(wèi)星到地心的距離r有關(guān)，故C錯(cuò)D對(duì)?！敬鸢浮緽D【誤點(diǎn)警示】本題屬于易錯(cuò)型的問題。關(guān)于軌道上運(yùn)動(dòng)的物理量的大小關(guān)系一定要記住并理解一個(gè)軌道確定后，其半徑、加速度、速度、角速度、周期全部確定，即軌道定量化；而對(duì)于本題中C、D選項(xiàng)提到的在P處的加速度的解釋，切忌不要使用向心加速度公式，原因是向心加速度公式中的半徑是圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，而本題是橢圓軌道，且橢圓軌道的半長軸無法確定。衛(wèi)星運(yùn)行中的變軌【調(diào)研2】【2020年高考浙江卷第19題】為了探測(cè)X星球，載著登陸艙的探測(cè)飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r1圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T1，總質(zhì)量為m1。隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m2，則A、X星球的質(zhì)量為MB、X星球表面的重力加速度為gXC、登陸艙在r1與r2的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比是D、登陸艙在r1與r2的軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為TT1【解析】高軌道時(shí)：Gm1，故X星球的質(zhì)量M，A對(duì)；由于不清楚星球的半徑，故無法求取星球的重力加速度gX，B錯(cuò)；Gm1，Gm2，可得，C錯(cuò)；由v1T12r1，v2T22r2，可得T2T1，D對(duì)?！敬鸢浮緼D【方法技巧】本題是衛(wèi)星運(yùn)行中的變軌問題，但實(shí)際上問題的本質(zhì)依然是一旦軌道半徑定位后，其他物理量（線速度、加速度、角速度、周期）均被唯一確定。因此變軌前后的穩(wěn)定狀態(tài)下的問題與常規(guī)的人造衛(wèi)星完全可以進(jìn)行類比。衛(wèi)星追及相遇問題ararbcb【調(diào)研3】如圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m1、m2、M（M遠(yuǎn)大于m1及m2），在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知軌道半徑之比為ra：rb1：4。則下列正確的有A、a、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta：Tb1：8B、a、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta：Tb1：4C、從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線12次D、從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線14次【解析】根據(jù)開普勒第三定律周期的平方與半徑的三次方成正比，則周期之比為1：8，A對(duì)；設(shè)圖示位置夾角為0.5，b轉(zhuǎn)動(dòng)一周圓心角為2過程的時(shí)間為tTb，則相距最遠(yuǎn)時(shí)TbTb()n·2，（n0,1,2,3），得n6.75，即n可取7個(gè)值；相距最近時(shí)TbTb(2)m·2，（m0,1,2,3），得m6.25，即m可取7個(gè)值，故nm可取14個(gè)值，D對(duì)。【答案】AD【方法技巧】某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠(yuǎn)之分，但他們都處在同一條直線上。由于他們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠(yuǎn)的相遇問題上不能通過位移或弧長相等來處理。而是通過衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的圓心角來恒量，若他們?cè)谕恢本€上，實(shí)際上內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為的整數(shù)倍時(shí)就是出現(xiàn)最近與最遠(yuǎn)的時(shí)刻，而本題中a、b、c三個(gè)天體初始位置不在一條直線上，故在列式時(shí)要增加初始角度差。揭開多星系統(tǒng)問題的神秘面紗【調(diào)研4】如圖為哈勃望遠(yuǎn)鏡拍攝的銀河系中被科學(xué)家成為“羅盤座T星”系統(tǒng)的照片，最新觀測(cè)標(biāo)明“羅盤座T星”距離太陽系只有3260光年，比天文學(xué)家此前認(rèn)為的距離要近得多。該系統(tǒng)是由一顆白矮星和它的類日伴星組成的雙星系統(tǒng)，由于白矮星不停地吸收由類日伴星拋出的物質(zhì)致使其質(zhì)量不斷增加，科學(xué)家預(yù)計(jì)這顆白矮星在不到1000萬年的時(shí)間內(nèi)會(huì)完全“爆炸”，從而變成一顆超新星，并同時(shí)放出大量的射線，這些射線到達(dá)地球后會(huì)對(duì)地球的臭氧層造成毀滅性的破壞?，F(xiàn)假設(shè)類日伴星所釋放的物質(zhì)被白矮星全部吸收，并且兩星間的距離在一段時(shí)間內(nèi)不變，兩星球的總質(zhì)量不變，則下列說法正確的是A、兩星間的萬有引力不變B、兩星的運(yùn)動(dòng)周期不變C、類日伴星的軌道半徑增大D、白矮星的軌道半徑增大【解析】圖片下面的中間的亮點(diǎn)即為白矮星，上面的部分為類日伴星（中央的最亮的為類似太陽的天體），組成的雙星系統(tǒng)的周期T相同，設(shè)白矮星與類日伴星的質(zhì)量分別為M1和M2，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R1和R2，由萬有引力定律：M1M2，可得GM1，GM2，兩式相加可得G(M1M2)T2=42L3（式），M1R1M2R2(式)。由式可知白矮星與類日伴星的總質(zhì)量不變，則周期T不變，B對(duì)；由式可知雙星運(yùn)行半徑與質(zhì)量成反比，類日伴星的質(zhì)量逐漸減小，故其軌道半徑增大，C對(duì)D錯(cuò)；依題意兩星間距離在一段時(shí)間內(nèi)不變，由萬有引力定律可知，兩星的質(zhì)量總和不變而兩星質(zhì)量的乘積必定變化，則萬有引力必定變化，A錯(cuò)?！敬鸢浮緽CmOR【調(diào)研7】宇宙間存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)，如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長為R，忽略其它星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力量為G，則A、每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為B、每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為C、每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2D、每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)【解析】每顆星受到的合力為F2×G×sin60°G，軌道半徑為rR，由向心力公式Fmamm2rm，解得v，T2，顯然加速度a與m有關(guān)，故A、B、C均正確?！敬鸢浮緼BC【調(diào)研5】宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)他們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分別在邊長為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，其中a遠(yuǎn)大于R。已知引力常量為G。關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是A、四顆星圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B、四顆星的線速度均為vC、四顆星表面的重力加速度均為GD、四顆星的周期均為2a【解析】四顆星均繞正方向的中心旋轉(zhuǎn)。每顆星受到三個(gè)力合成后的合力為FGG，軌道半徑為ra，由向心力公式Fmamm2rm，解得v，T2a，故A、D對(duì)，B錯(cuò)；對(duì)星體表面物體m0受到的重力等于萬有引力，則重力加速度m0gG，故gG，C對(duì)?！敬鸢浮緼CD【拓展提升】從上述的雙星、三星與四星系統(tǒng)來看，對(duì)于多星系統(tǒng)與單星系統(tǒng)最大的不同點(diǎn)在于在于萬有引力定律中的R與星體圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑r不同，受到的萬有引力可能不在是唯一的萬有引力。另外雙星系統(tǒng)有如下規(guī)律：具有對(duì)稱性；他們的圓軌道的共同圓心就在雙星的重心上；雙星系統(tǒng)的周期、角速度相同；軌道半徑之比以及線速度之比均與質(zhì)量成反比；雙星系統(tǒng)的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質(zhì)量有關(guān)，而與雙星個(gè)體的質(zhì)量無關(guān)。【拓展訓(xùn)練】地球月球PABMN1、“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，軌道控制結(jié)束，衛(wèi)星進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，圖中MN之間的一段曲線表示轉(zhuǎn)移軌道的一部分，P是軌道上的一點(diǎn)，直線AB過P點(diǎn)且和兩邊軌道相切，下列說法中正確的是A、衛(wèi)星在此段軌道上，動(dòng)能不變B、衛(wèi)星經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小C、衛(wèi)星經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度方向由P向BD、衛(wèi)星經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)加速度為01、BCD【解析】發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，只有地球和月球的萬有引力作用，從關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)開始向P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，由軌跡的彎曲方向可知，合力對(duì)衛(wèi)星做負(fù)功，動(dòng)能減小，過了P點(diǎn)后合力對(duì)衛(wèi)星做正功，動(dòng)能增大，A錯(cuò)B對(duì)；曲線運(yùn)動(dòng)的速度為該處的切線方向，C對(duì)；衛(wèi)星經(jīng)過P點(diǎn)前后合力方向逐漸從指向軌跡左側(cè)到指向軌跡右側(cè)，因此P點(diǎn)合力為零，D對(duì)。2、如圖所示為2020年10月6日嫦娥二號(hào)在空間繞月運(yùn)行軌跡圖。嫦娥二號(hào)最終穩(wěn)定在離月球表面h高度繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。月球的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期相同，自轉(zhuǎn)周期為T，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g0，則嫦娥二號(hào)從P到Q處的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為月球嫦娥二號(hào)PQ月球軌道奔月軌道地球A、TB、C、D、2、C【解析】嫦娥二號(hào)繞月球飛行的周期為T0，由G=m，G=mg0，在月球繞地球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期T內(nèi)，嫦娥二號(hào)從P到Q的時(shí)間為嫦娥二號(hào)繞月球運(yùn)動(dòng)的周期T0，解得T0。3、科學(xué)家在地球軌道外側(cè)發(fā)現(xiàn)了一顆繞太陽運(yùn)行的小行星，小行星的公轉(zhuǎn)軌道與地球的公轉(zhuǎn)軌道平面重合且運(yùn)行方向相同，經(jīng)過觀察，該小行星相鄰兩次與地球相距最近的時(shí)間間隔為t，已知地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑為R，周期為T，設(shè)地球的公轉(zhuǎn)軌道和小行星的公轉(zhuǎn)軌道都是圓軌道，不考慮地球與小行星之間的作用力，求小行星與地球的最近距離?！窘馕觥吭O(shè)小行星的公轉(zhuǎn)周期為T ，公轉(zhuǎn)半徑為R， 由題意知 tt2解得 T =根據(jù)萬有引力定律，對(duì)地球 對(duì)小行星 聯(lián)立解得 R=R=R故最短距離 R= RR=4、為了防止軍事布防被敵對(duì)國衛(wèi)星監(jiān)視，世界上很多國家紛紛發(fā)展自己的反衛(wèi)星監(jiān)視武器，其中，激光武器就是一種攻擊間諜衛(wèi)星的有效武器。如圖所示，在某時(shí)刻，衛(wèi)星A與激光發(fā)射地B恰好在同一條直徑上，地球的半徑為R，衛(wèi)星離地面的高度為h，地球表面的重力加速度為g，激光沿地球半徑方向豎直向上，速度為c。為了使衛(wèi)星運(yùn)行到激光發(fā)射地正上方時(shí)恰好將其摧毀，則從圖示位置開始至少經(jīng)過多少時(shí)間才可以發(fā)射激光？（不考慮地球的自轉(zhuǎn)）4、【解析】衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由萬有引力提供，即Gm2(Rh)，對(duì)地球表面上的物體有：Gm0g，設(shè)從圖示時(shí)刻開始經(jīng)過時(shí)間t發(fā)射激光恰好能射到衛(wèi)星，則：t，聯(lián)立解得t。