難點(diǎn)之三：圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析 一、難點(diǎn)形成的原因1、對(duì)向心力和向心加速度的定義把握不牢固，解題時(shí)不能靈活的應(yīng)用。2、圓周運(yùn)動(dòng)線速度與角速度的關(guān)系及速度的合成與分解的綜合知識(shí)應(yīng)用不熟練，只是了解大概，在解題過(guò)程中不能靈活應(yīng)用；3、圓周運(yùn)動(dòng)有一些要求思維長(zhǎng)度較長(zhǎng)的題目，受力分析不按照一定的步驟，漏掉重力或其它力，因?yàn)橐稽c(diǎn)小失誤，導(dǎo)致全盤(pán)皆錯(cuò)。4、圓周運(yùn)動(dòng)的周期性把握不準(zhǔn)。5、缺少生活經(jīng)驗(yàn)，缺少仔細(xì)觀察事物的經(jīng)歷，很多實(shí)例知道大概卻不能理解本質(zhì)，更不能把物理知識(shí)與生活實(shí)例很好的聯(lián)系起來(lái)。二、難點(diǎn)突破（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)與非勻速圓周運(yùn)動(dòng)a.圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)方向（即速度方向）在不斷變化。圓周運(yùn)動(dòng)也不可能是勻變速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榧词故莿蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，其加速度方向也是時(shí)刻變化的。b.最常見(jiàn)的圓周運(yùn)動(dòng)有：天體（包括人造天體）在萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)；核外電子在庫(kù)侖力作用下繞原子核的運(yùn)動(dòng)；帶電粒子在垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)的平面里在磁場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)；物體在各種外力（重力、彈力、摩擦力、電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力等）作用下的圓周運(yùn)動(dòng)。c.勻速圓周運(yùn)動(dòng)只是速度方向改變，而速度大小不變。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圓心。非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力沿著半徑指向圓心的分力，提供向心力，產(chǎn)生向心加速度；合外力沿切線方向的分力，產(chǎn)生切向加速度，其效果是改變速度的大小。例1：如圖3-1所示，兩根輕繩同系一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，上面繩AC長(zhǎng)L=2m，當(dāng)兩繩都拉直時(shí)，與軸的夾角分別為30°和45°，求當(dāng)小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)角速度為=4rad/s時(shí)，上下兩輕繩拉力各為多少？【審題】?jī)衫K張緊時(shí)，小球受的力由0逐漸增大時(shí)，可能出現(xiàn)兩個(gè)臨界值。圖3-1【解析】如圖3-1所示，當(dāng)BC剛好被拉直，但其拉力T2恰為零，設(shè)此時(shí)角速度為1，AC繩上拉力設(shè)為T(mén)1，對(duì)小球有： 代入數(shù)據(jù)得：，要使BC繩有拉力，應(yīng)有>1，當(dāng)AC繩恰被拉直，但其拉力T1恰為零，設(shè)此時(shí)角速度為2，BC繩拉力為T(mén)2，則有 T2sin45°=mLACsin30°代入數(shù)據(jù)得：2=3.16rad/s。要使AC繩有拉力，必須<2，依題意=4rad/s>2，故AC繩已無(wú)拉力，AC繩是松馳狀態(tài)，BC繩與桿的夾角>45°，對(duì)小球有：T2cos=m 2LBCsin 而LACsin30°=LBCsin45°LBC=m 由、可解得；【總結(jié)】當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受合外力一定指向圓心，在圓周的切線方向上和垂直圓周平面的方向上的合外力必然為零。（2）同軸裝置與皮帶傳動(dòng)裝置在考查皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象的問(wèn)題中，要注意以下兩點(diǎn)：a、同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸上的各點(diǎn)角速度相等；b、和同一皮帶接觸的各點(diǎn)線速度大小相等，這兩點(diǎn)往往是我們解決皮帶傳動(dòng)的基本方法。圖3-2例2：如圖3-2所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪半徑為4r，小輪半徑為2r，b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑，則Aa點(diǎn)與b點(diǎn)線速度大小相等Ba點(diǎn)與c點(diǎn)角速度大小相等Ca點(diǎn)與d點(diǎn)向心加速度大小相等Da、b、c、d四點(diǎn)，加速度最小的是b點(diǎn)【審題】 分析本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：其一是同一輪軸上的各點(diǎn)角速度相同；其二是皮帶不打滑時(shí)，與皮帶接觸的各點(diǎn)線速度大小相同。這兩點(diǎn)抓住了，然后再根據(jù)描述圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量之間的關(guān)系就不難得出正確的結(jié)論?！窘馕觥坑蓤D3-2可知，a點(diǎn)和c點(diǎn)是與皮帶接觸的兩個(gè)點(diǎn)，所以在傳動(dòng)過(guò)程中二者的線速度大小相等，即vavc，又vR， 所以arc·2r，即a2c而b、c、d三點(diǎn)在同一輪軸上，它們的角速度相等，則bcda，所以選項(xiàng)錯(cuò)又vbb·r ar，所以選項(xiàng)A也錯(cuò)向心加速度：aaa2r；abb2·r（）2ra2raa；acc2·2r（a）2·2r a2raa；add2·4r（a）2·4ra2raa所以選項(xiàng)C、D均正確。圖3-3【總結(jié)】該題除了同軸角速度相等和同皮帶線速度大小相等的關(guān)系外，在皮帶傳動(dòng)裝置中，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)是靜摩擦力作用的結(jié)果從動(dòng)輪受到的摩擦力帶動(dòng)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)，故輪子受到的摩擦力方向沿從動(dòng)輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同；主動(dòng)輪靠摩擦力帶動(dòng)皮帶，故主動(dòng)輪所受摩擦力方向沿輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。是不是所有 的題目都要是例1這種類(lèi)型的呢？當(dāng)然不是，當(dāng)輪與輪之間不是依靠皮帶相連轉(zhuǎn)動(dòng)，而是依靠摩擦力的作用或者是齒輪的嚙合，如圖3-3所示，同樣符合例1的條件。（3）向心力的來(lái)源a向心力是根據(jù)力的效果命名的在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，切記在物體的作用力（重力、彈力、摩擦力等）以外不要再添加一個(gè)向心力。b對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，一般可按如下步驟進(jìn)行分析：確定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體作為研究對(duì)象。明確運(yùn)動(dòng)情況，包括搞清運(yùn)動(dòng)速率v，軌跡半徑R及軌跡圓心O的位置等。只有明確了上述幾點(diǎn)后，才能知道運(yùn)動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所需的向心力大小( mv2/R )和向心力方向（指向圓心）。分析受力情況，對(duì)物體實(shí)際受力情況做出正確的分析，畫(huà)出受力圖，確定指向圓心的合外力F（即提供向心力）。選用公式F=m=mR2=mR解得結(jié)果。c圓周運(yùn)動(dòng)中向心力的特點(diǎn)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)：由于勻速圓周運(yùn)動(dòng)僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速度，物體受到外力的合力就是向心力?？梢?jiàn)，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件。變速圓周運(yùn)動(dòng)：速度大小發(fā)生變化，向心加速度和向心力都會(huì)相應(yīng)變化。求物體在某一點(diǎn)受到的向心力時(shí)，應(yīng)使用該點(diǎn)的瞬時(shí)速度，在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，合外力不僅大小隨時(shí)間改變，其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力（或所有外力沿半徑方向的分力的矢量和）提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向；合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。當(dāng)物體所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R時(shí)，物體做離心運(yùn)動(dòng)。圖3-4例3：如圖3-4所示，半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一個(gè)具有一定質(zhì)量的物體A，A與碗壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，當(dāng)碗繞豎直軸OO/勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體A剛好能緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)而不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求碗轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度【審題】物體A隨碗一起轉(zhuǎn)動(dòng)而不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度就等于碗轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。物體A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力方向指向球心O，故此向心力不是由重力而是由碗壁對(duì)物體的彈力提供，此時(shí)物體所受的摩擦力與重力平衡?！窘馕觥课矬wA做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力： 而摩擦力與重力平衡，則有： 即： 由以上兩式可得： 即碗勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為： 【總結(jié)】分析受力時(shí)一定要明確向心力的來(lái)源，即搞清楚什么力充當(dāng)向心力本題還考查了摩擦力的有關(guān)知識(shí)：水平方向的彈力為提供摩擦力的正壓力，若在剛好緊貼碗口的基礎(chǔ)上，角速度再大，此后摩擦力為靜摩擦力，摩擦力大小不變，正壓力變大。圖3-5例4：如圖3-5所示，在電機(jī)距軸O為r處固定一質(zhì)量為m的鐵塊電機(jī)啟動(dòng)后，鐵塊以角速度繞軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)則電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力之差為_(kāi)?！緦忣}】鐵塊在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是重力mg與輪對(duì)它的力F的合力由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知：當(dāng)m轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)F最大，當(dāng)m轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)F最小?！窘馕觥吭O(shè)鐵塊在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，電機(jī)對(duì)其作用力分別為F1和F2，且都指向軸心，根據(jù)牛頓第二定律有：在最高點(diǎn)：mgF1m2r在最低點(diǎn)：F2mgm2r電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊m位于最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)，且壓力差的大小為：FNF2F1由式可解得：FN2m2r【總結(jié)】（1）若m在最高點(diǎn)時(shí)突然與電機(jī)脫離，它將如何運(yùn)動(dòng)?（2）當(dāng)角速度為何值時(shí)，鐵塊在最高點(diǎn)與電機(jī)恰無(wú)作用力?（3）本題也可認(rèn)為是一電動(dòng)打夯機(jī)的原理示意圖。若電機(jī)的質(zhì)量為M，則多大時(shí)，電機(jī)可以“跳”起來(lái)?此情況下，對(duì)地面的最大壓力是多少?解：（1）做初速度沿圓周切線方向，只受重力的平拋運(yùn)動(dòng)。（2）電機(jī)對(duì)鐵塊無(wú)作用力時(shí)，重力提供鐵塊的向心力，則mgm12r即 1（3）鐵塊在最高點(diǎn)時(shí)，鐵塊與電動(dòng)機(jī)的相互做用力大小為F1，則F1mgm22rF1Mg即當(dāng)2時(shí)，電動(dòng)機(jī)可以跳起來(lái)，當(dāng)2時(shí)，鐵塊在最低點(diǎn)時(shí)電機(jī)對(duì)地面壓力最大，則F2mgm22rFNF2Mg解得電機(jī)對(duì)地面的最大壓力為FN2（Mm）g（4）圓周運(yùn)動(dòng)的周期性利用圓周運(yùn)動(dòng)的周期性把另一種運(yùn)動(dòng)（例如勻速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)）聯(lián)系起來(lái)。圓周運(yùn)動(dòng)是一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，而另一個(gè)運(yùn)動(dòng)通常也是獨(dú)立的，分別明確兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，注意用時(shí)間相等來(lái)聯(lián)系。圖3-6在這類(lèi)問(wèn)題中，要注意尋找兩種運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，往往是通過(guò)時(shí)間相等來(lái)建立聯(lián)系的。同時(shí)，要注意圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性，因此往往有多個(gè)答案。例5：如圖3-6所示，半徑為R的圓盤(pán)繞垂直于盤(pán)面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其正上方h處沿OB方向水平拋出一個(gè)小球，要使球與盤(pán)只碰一次，且落點(diǎn)為B，則小球的初速度v_，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度_?！緦忣}】小球做的是平拋運(yùn)動(dòng)，在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)，圓盤(pán)做了一定角度的圓周運(yùn)動(dòng)?！窘馕觥啃∏蜃銎綊佭\(yùn)動(dòng)，在豎直方向上：hgt2則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t又因?yàn)樗轿灰茷镽所以球的速度vR·在時(shí)間t內(nèi)，盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度n·2，又因?yàn)閠則轉(zhuǎn)盤(pán)角速度：2n(n1，2，3)【總結(jié)】上題中涉及圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)這兩種不同的運(yùn)動(dòng)，這兩種不同運(yùn)動(dòng)規(guī)律在解決同一問(wèn)題時(shí)，常常用“時(shí)間”這一物理量把兩種運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。圖3-7例6：如圖3-7所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，有另一小球P在距圓周最高點(diǎn)為h處開(kāi)始自由下落.要使兩球在圓周最高點(diǎn)相碰，則Q球的角速度應(yīng)滿足什么條件？【審題】下落的小球P做的是自由落體運(yùn)動(dòng)，小球Q做的是圓周運(yùn)動(dòng)，若要想碰，必須滿足時(shí)間相等這個(gè)條件。【解析】設(shè)P球自由落體到圓周最高點(diǎn)的時(shí)間為t，由自由落體可得gt2=h求得t=Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間也是t，但做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)，有t=(4n+1)(n=0，1，2，3)兩式聯(lián)立再由T=得 (4n+1)=所以=(4n+1) (n=0，1，2，3)【總結(jié)】由于圓周運(yùn)動(dòng)每個(gè)周期會(huì)重復(fù)經(jīng)過(guò)同一個(gè)位置，故具有重復(fù)性。在做這類(lèi)題目時(shí)，應(yīng)該考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性。（5）豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題：圖3-8（1）如上圖3-8所示，沒(méi)有物體支撐的小球，在繩和軌道的約束下，在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況：臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒(méi)有力的做用：mgmv臨界。能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v，當(dāng)v時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力。圖3-9不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：vv臨界（實(shí)際上球還沒(méi)到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道）（2）如圖3-9球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿對(duì)球產(chǎn)生的彈力情況：當(dāng)v0時(shí)，F(xiàn)Nmg（FN為支持力）。當(dāng)0v時(shí)，F(xiàn)N隨v增大而減小，且mgFN0，F(xiàn)N為支持力。當(dāng)v時(shí)，F(xiàn)N0。圖3-10當(dāng)v時(shí)，F(xiàn)N為拉力，F(xiàn)N隨v的增大而增大。如圖所示3-10的小球在軌道的最高點(diǎn)時(shí)，如果v此時(shí)將脫離軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檐壍缹?duì)小球不能產(chǎn)生拉力。圖3-11例7：半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖3-11所示。頂部有一小物體甲，今給它一個(gè)水平初速度，則物體甲將（ ）A沿球面下滑至M點(diǎn)B先沿球面下滑至某點(diǎn)N，然后便離開(kāi)球面作斜下拋運(yùn)動(dòng)C按半徑大于R的新的圓弧軌道作圓周運(yùn)動(dòng)D立即離開(kāi)半圓球作平拋運(yùn)動(dòng)【審題】物體在初始位置受豎直向下的重力，因?yàn)関0=，所以，球面支持力為零，又因?yàn)槲矬w在豎直方向向下運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)速率將逐漸增大，若假設(shè)物體能夠沿球面或某一大于R的新的圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)，則所需的向心力應(yīng)不斷增大。而重力沿半徑方向的分力逐漸減少，對(duì)以上兩種情況又不能提供其他相應(yīng)的指向圓心的力的作用，故不能提供不斷增大的向心力，所以不能維持圓周運(yùn)動(dòng)?！窘馕觥课矬w應(yīng)該立即離開(kāi)半圓球做平拋運(yùn)動(dòng)，故選D?！究偨Y(jié)】當(dāng)物體到達(dá)最高點(diǎn)，速度等于時(shí)，半圓對(duì)物體的支持力等于零，所以接下來(lái)物體的運(yùn)動(dòng)不會(huì)沿著半圓面，而是做平拋運(yùn)動(dòng)。圖3-12（6）圓周運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用a.定量分析火車(chē)轉(zhuǎn)彎的最佳情況。受力分析：如圖所示3-12火車(chē)受到的支持力和重力的合力水平指向圓心，成為使火車(chē)拐彎的向心力。動(dòng)力學(xué)方程：根據(jù)牛頓第二定律得mgtanm其中r是轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑，是使內(nèi)外軌均不受側(cè)向力的最佳速度。分析結(jié)論：解上述方程可知rgtan可見(jiàn)，最佳情況是由、r、共同決定的。當(dāng)火車(chē)實(shí)際速度為v時(shí)，可有三種可能，當(dāng)v時(shí)，內(nèi)外軌均不受側(cè)向擠壓的力；當(dāng)v時(shí)，外軌受到側(cè)向擠壓的力（這時(shí)向心力增大，外軌提供一部分力）；當(dāng)v時(shí)，內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力（這時(shí)向心力減少，內(nèi)軌抵消一部分力）。還有一些實(shí)例和這一模型相同，如自行車(chē)轉(zhuǎn)彎，高速公路上汽車(chē)轉(zhuǎn)彎等等我們討論的火車(chē)轉(zhuǎn)彎問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是物體在水平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從力的角度看其特點(diǎn)是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至少再受到一個(gè)力，才有可能使物體產(chǎn)生在水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力實(shí)際在修筑鐵路時(shí)，要根據(jù)轉(zhuǎn)彎處的半徑r和規(guī)定的行駛速度v0，適當(dāng)選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力來(lái)提供，如上圖3-12所示.必須注意，雖然內(nèi)外軌有一定的高度差，但火車(chē)仍在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上，F(xiàn)=Gtg=mgtg，故mgtg=m。b.汽車(chē)過(guò)拱橋汽車(chē)靜止在橋頂與通過(guò)橋頂是否同種狀態(tài)？不是的，汽車(chē)靜止在橋頂、或通過(guò)橋頂，雖然都受到重力和支持力。但前者這兩個(gè)力的合力為零，后者合力不為零。汽車(chē)過(guò)拱橋橋頂?shù)南蛐牧θ绾萎a(chǎn)生？方向如何？汽車(chē)在橋頂受到重力和支持力，如圖3-13所示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下。圖3-13 運(yùn)動(dòng)有什么特點(diǎn)？動(dòng)力學(xué)方程：由牛頓第二定律Gm解得Gm-汽車(chē)處于失重狀態(tài)汽車(chē)具有豎直向下的加速度，mg，對(duì)橋的壓力小于重力這也是為什么橋一般做成拱形的原因汽車(chē)在橋頂運(yùn)動(dòng)的最大速度為根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程可知，當(dāng)汽車(chē)行駛速度越大，汽車(chē)和橋面的壓力越小，當(dāng)汽車(chē)的速度為時(shí)，壓力為零，這是汽車(chē)保持在橋頂運(yùn)動(dòng)的最大速度，超過(guò)這個(gè)速度，汽車(chē)將飛出橋頂，做平拋運(yùn)動(dòng)。圖3-14另：c人騎自行車(chē)轉(zhuǎn)彎由于速度較大，人、車(chē)要向圓心處傾斜，與豎直方向成角，如圖3-14所示，人、車(chē)的重力mg與地面的作用力F的合力作為向心力地面的作用力是地面對(duì)人、車(chē)的支持力FN與地面的摩擦力的合力，實(shí)際上仍是地面的摩擦力作為向心力。由圖知，F(xiàn)向=mgtan=m2圓錐擺圖3-15擺線張力與擺球重力的合力提供擺球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力如圖3-15所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線連接著，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)細(xì)線與豎直方向夾角為，試分析其角速度的大小。對(duì)小球而言，只受兩個(gè)力：重力mg和線的拉力T這兩個(gè)力的合力mgtan提供向心力，半徑rLsin，所以由Fmr2得，mgtanmLsin·2整理得可見(jiàn)，角速度越大，角也越大。3雜技節(jié)目“水流星”圖3-16表演時(shí)，用一根繩子兩端各拴一個(gè)盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)杯口朝下，但水不會(huì)流下，如圖所示，這是為什么？分析：以杯中之水為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知：F向m，此時(shí)重力G與FN的合力充當(dāng)了向心力即F向GFN故：GFNm由上式可知v減小，F(xiàn)減小，當(dāng)FN0時(shí)，v有最小值為。討論：當(dāng)mgm，即v時(shí)，水恰能過(guò)最高點(diǎn)不灑出，這就是水能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件；當(dāng)mgm，即v時(shí)，水不能過(guò)最高點(diǎn)而不灑出；當(dāng)mgm，即v時(shí)，水能過(guò)最高點(diǎn)不灑出，這時(shí)水的重力和杯對(duì)水的壓力提供向心力。例8：繩系著裝有水的水桶，在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，水的質(zhì)量m0.5 kg，繩長(zhǎng)L60 cm，求：最高點(diǎn)水不流出的最小速率。水在最高點(diǎn)速率v3 m/s時(shí)，水對(duì)桶底的壓力?！緦忣}】當(dāng)v0=時(shí)，水恰好不流出，要求水對(duì)桶底的壓力和判斷是否能通過(guò)最高點(diǎn)，也要和這個(gè)速度v比較，v>v0時(shí)，有壓力；v=v0時(shí)，恰好無(wú)壓力；vv0時(shí)，不能到達(dá)最高點(diǎn)。【解析】水在最高點(diǎn)不流出的條件是重力不大于水做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力即mg，則最小速度v02.42 m/s。當(dāng)水在最高點(diǎn)的速率大于v0時(shí)，只靠重力提供向心力已不足，此時(shí)水桶底對(duì)水有一向下的壓力，設(shè)為F，由牛頓第二定律Fmgm得：F2.6 N。由牛頓第三定律知，水對(duì)水桶的作用力FF2.6 N，即方向豎直向上。圖3-17【總結(jié)】當(dāng)速度大于臨界速率時(shí)，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因此桶底對(duì)水產(chǎn)生向下的壓力。例2：汽車(chē)質(zhì)量m為1.5×104 kg，以不變的速率先后駛過(guò)凹形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為15 m，如圖3-17所示如果路面承受的最大壓力不得超過(guò)2×105 N，汽車(chē)允許的最大速率是多少？汽車(chē)以此速率駛過(guò)路面的最小壓力是多少？【審題】首先要確定汽車(chē)在何位置時(shí)對(duì)路面的壓力最大，汽車(chē)經(jīng)過(guò)凹形路面時(shí)，向心加速度方向向上，汽車(chē)處于超重狀態(tài)；經(jīng)過(guò)凸形路面時(shí)，向心加速度向下，汽車(chē)處于失重狀態(tài)，所以汽車(chē)經(jīng)過(guò)凹形路面最低點(diǎn)時(shí)，汽車(chē)對(duì)路面的壓力最大。【解析】當(dāng)汽車(chē)經(jīng)過(guò)凹形路面最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)路面支持力為FN1，受力情況如圖3-18所示，由牛頓第二定律，有FN1mgm要求FN12×105 N圖3-18圖3-19解得允許的最大速率vm7.07 m/s由上面分析知，汽車(chē)經(jīng)過(guò)凸形路面頂點(diǎn)時(shí)對(duì)路面壓力最小，設(shè)為FN2，如圖3-19所示，由牛頓第二定律有mgFN2解得FN21×105 N。【總結(jié)】汽車(chē)過(guò)拱橋時(shí)，一定要按照實(shí)際情況受力分析，沿加速度方向列式。（7）離心運(yùn)動(dòng)離心現(xiàn)象條件分析做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運(yùn)動(dòng)，只是由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運(yùn)動(dòng)，如圖3-20中B所示。當(dāng)產(chǎn)生向心力的合外力消失，F(xiàn)0，物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖3-20中A所示。當(dāng)提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應(yīng)當(dāng)具有的向心力，即合外力不足以提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3-20所示。 圖3-20在實(shí)際中，有一些利用離心運(yùn)動(dòng)的機(jī)械，這些機(jī)械叫做離心機(jī)械。離心機(jī)械的種類(lèi)很多，應(yīng)用也很廣。例如，離心干燥（脫水）器，離心分離器，離心水泵。例9：一把雨傘邊緣的半徑為r，且高出水平地面h當(dāng)雨傘以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，雨滴自邊緣甩出落在地面上成一個(gè)大圓周這個(gè)大圓的半徑為_(kāi)?！緦忣}】想象著實(shí)際情況，當(dāng)以一定速度旋轉(zhuǎn)雨傘時(shí)，雨滴甩出做離心運(yùn)動(dòng)，落在地上，形成圖3-21一個(gè)大圓?！窘馕觥坑甑坞x開(kāi)雨傘的速度為v0r雨滴做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t雨滴的水平位移為sv0tr雨滴落在地上形成的大圓的半徑為R【總結(jié)】通過(guò)題目的分析，雨滴從傘邊緣沿切線方向，以一定的初速度飛出，豎直方向上是自由落體運(yùn)動(dòng)，雨滴做的是平拋運(yùn)動(dòng)，把示意圖畫(huà)出來(lái)，通過(guò)示意圖就可以求出大圓半徑。（8）難點(diǎn)突破圓周運(yùn)動(dòng)的功和能應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，由于較多知識(shí)交織在一起，所以分析問(wèn)題時(shí)利用能量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的特點(diǎn)作為解題的切入點(diǎn)，可能大大降低難度。例9：使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點(diǎn)上升，那么需給它最小速度為多大時(shí)，才能使它達(dá)到軌道的最高點(diǎn)？【審題】小球到達(dá)最高點(diǎn)A時(shí)的速度vA不能為零，否則小球早在到達(dá)A點(diǎn)之前就離開(kāi)了圓形軌道。要使小球到達(dá)A點(diǎn)（自然不脫離圓形軌道），則小球在A點(diǎn)的速度必須滿足Mg+NA=m，式中，NA為圓形軌道對(duì)小球的彈力。上式表示小球在A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力由軌道對(duì)它的彈力和它本身的重力共同提供。當(dāng)NA=0時(shí)，vA最小，vA=。這就是說(shuō)，要使小球到達(dá)A點(diǎn)，則應(yīng)該使小球在A點(diǎn)具有的速度vA?！窘馕觥恳孕∏?yàn)檠芯繉?duì)象。小球在軌道最高點(diǎn)時(shí)，受重力和軌道給的彈力。小球在圓形軌道最高點(diǎn)A時(shí)滿足方程根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度滿足方程 （2）解(1)，(2)方程組得當(dāng)NA=0時(shí)，VB=為最小，VB=所以在B點(diǎn)應(yīng)使小球至少具有VB=的速度，才能使它到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)A?！究偨Y(jié)】在桿和管子的約束下做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以有拉力和支持力，所以在最高點(diǎn)的速度可以等于零；在圓軌道和繩子的約束下做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只能有拉力，所以在最高點(diǎn)的速度必須大于。（9）實(shí)驗(yàn)中常見(jiàn)的圓周運(yùn)動(dòng)綜合題往往以圓周運(yùn)動(dòng)和其他物理知識(shí)為背景，這類(lèi)題代表了理科綜合命題方向，要在平日的做題中理解題目的原理，靈活的把握題目。例10： 圖3-22甲所示為測(cè)量電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的實(shí)驗(yàn)裝置，半徑不大的圓形卡紙固定在電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上，在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)在圓形卡紙的旁邊垂直安裝一個(gè)改裝了的電火花計(jì)時(shí)器。請(qǐng)將下列實(shí)驗(yàn)步驟按先后排序：A使電火花計(jì)時(shí)器與圓形卡紙保持良好接觸B接通電火花計(jì)時(shí)器的電源，使它工作起來(lái)C啟動(dòng)電動(dòng)機(jī)，使圓形卡紙轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)D關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，拆除電火花計(jì)時(shí)器；研究卡紙上留下的一段痕跡（如圖3-22乙所示），寫(xiě)出角速度的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)，得出的測(cè)量值要得到的測(cè)量值，還缺少一種必要的測(cè)量工具，它是A秒表B毫米刻度尺C圓規(guī)D量角器寫(xiě)出角速度的表達(dá)式，并指出表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義：為了避免在卡紙連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中出現(xiàn)打點(diǎn)重疊，在電火花計(jì)時(shí)器與盤(pán)面保持良好接觸的同時(shí)，可以緩慢地將電火花計(jì)時(shí)器沿圓形卡紙半徑方向向卡紙中心移動(dòng)則卡紙上打下的點(diǎn)的分布曲線不是一個(gè)圓，而是類(lèi)似一種螺旋線，如圖3-22丙所示這對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響嗎？圖3-22【審題】因?yàn)檫@個(gè)題目用的是打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，所以?xún)牲c(diǎn)之間的時(shí)間是0.02s，通過(guò)量角器量出圓心到兩點(diǎn)之間的角度，利用=/t。【解析】具體的實(shí)驗(yàn)步驟應(yīng)該是A、C、B、D，量出角度應(yīng)該用量角器D，為個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓心角，為時(shí)間間隔；應(yīng)該注意的一個(gè)問(wèn)題是不能轉(zhuǎn)動(dòng)一圈以上，因?yàn)辄c(diǎn)跡重合，當(dāng)半徑減小時(shí)，因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度不變，所以沒(méi)有影響?！究偨Y(jié)】本題考查的是圓周運(yùn)動(dòng)中角速度的定義，=/t，實(shí)驗(yàn)中是用量角器測(cè)量出來(lái)的，時(shí)間t的測(cè)量用的是打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，應(yīng)該充分發(fā)揮想象，不是打點(diǎn)計(jì)時(shí)器只能測(cè)量直線運(yùn)動(dòng)。