《數學第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.1 隨機事件的概率》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.1 隨機事件的概率（72頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、12.1隨機事件的概率第十二章概率、隨機變量及其分布基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.概率和頻率概率和頻率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A) 為事件A出現的頻率.(2)對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的 會在某個常數附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數來刻畫隨機事件A發(fā)生的可能性的大小，并把這個 稱為隨機事件A的概率，記作P(A).知識梳理頻率常數2.事件的關系與運算事件的關系與運算定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則

2、事件B一定發(fā)生，這時稱事件B 事件A(或稱事件A包含于事件B)(或AB)相等關系若BA且AB_并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的_ AB(或AB)包含BAAB并事件(或和事件)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當_ 且 ，則稱此事件為事件A與事件B的_ AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事件(AB )，則稱事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B_ _ AB ，_事件A發(fā)生事件B發(fā)生交事件(或積事件)互為對立事件P(A)P(B)13.概率的幾個基本性質概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍： .

3、(2)必然事件的概率P(E) .(3)不可能事件的概率P(F) .(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(AB).(5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則P(A) .0P(A)110P(A)P(B)1P(B)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.【知識拓展】題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2

4、)隨機事件和隨機試驗是一回事.()(3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.()(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生.()(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件.()(6)兩互斥事件的概率和為1.()基礎自測123456題組二教材改編題組二教材改編2.P121T5一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是 A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶答案解析解析 “至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”.解析1245633.P82B組T1有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：11.5,15.5)，2；15.5

5、,19.5)，4；19.5,23.5)，9；23.5,27.5)，18；27.5,31.5)，11；31.5,35.5)，12；35.5,39.5)，7；39.5,43.5，3.根據樣本的頻率分布估計，數據落在27.5,43.5內的概率約是_.答案解析124563題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是 A.必然事件 B.隨機事件C.不可能事件 D.無法確定解析解析拋擲10次硬幣正面向上的次數可能為010，都有可能發(fā)生，正面向上5次是隨機事件.解析答案1245635.(2017洛陽統(tǒng)考)安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加

6、，其中甲參加三天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為 解析答案1245636.(2018濟南模擬)從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為_.解析答案124560.353解析解析事件A抽到一等品，且P(A)0.65，事件“抽到的產品不是一等品”的概率為P1P(A)10.650.35.題型分類深度剖析1.從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：至少有1個白球與至少有1個黃球；至少有1個黃球與都是黃球；恰有1個白球

7、與恰有1個黃球；恰有1個白球與都是黃球.其中互斥而不對立的事件共有 A.0組 B.1組 C.2組 D.3組解析答案題型一事件關系的判斷自主演練自主演練解析解析中“至少有1個白球”與“至少有1個黃球”可以同時發(fā)生，如恰好1個白球和1個黃球，故兩個事件不是互斥事件；中“至少有1個黃球”說明可以是1個白球和1個黃球或2個黃球，故兩個事件不互斥；中“恰有1個白球”與“恰有1個黃球”都是指有1個白球和1個黃球，故兩個事件是同一事件；中兩事件不能同時發(fā)生，也可能都不發(fā)生，因此兩事件是互斥事件，但不是對立事件，故選B.A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡解析答案解析

8、解析至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件.3.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出兩個球，事件A“取出的兩個球同色”，B“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C“取出的兩個球中至少有一個白球”，D“取出的兩個球不同色”，E“取出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為_.A與D為對立事件；B與C是互斥事件；C與E是對立事件；P(CE)1；P(B)P(C).解析答案解析解析當取出的兩個球中一黃一白時，B與C都發(fā)生，不正確；當取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，不正確；顯然A與D是對立事件

9、，正確；CE不一定為必然事件，P(CE)1，不正確；(1)準確把握互斥事件與對立事件的概念互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生.對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生.(2)判斷互斥、對立事件的方法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.思維升華思維升華典例典例(2017全國)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與

10、當天最高氣溫(單位：)有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：題型二隨機事件的頻率與概率師生共研師生共研最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天數216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；解答解解這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數據知，最高氣溫低于2

11、5的頻率為 0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.因此Y大于零的概率的估計值為0.8.(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.解答解解當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y64504450900；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y63002(450300)4450300；若最高氣溫低于20，則Y62002(450200)4450100，所以，Y的所有可能值為900,300，100.(1)概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，

12、頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值.(2)隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (2018沈陽模擬)某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“”表示未購買.(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率； 商品顧客人數甲乙丙丁1002172003008598解解從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，

13、解答解答(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；解解從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品.解答(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解解與(1)同理，可得所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.命題點命題點1互斥事件的概率互斥事件的概率典例典例 (2016北京改編)A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數據如下表(單位：小時)：題型三互斥、對立事件的概率多維探

14、究多維探究A班66.577.58 B班6789101112 C班34.567.5910.51213.5(1)試估計C班的學生人數；解答(2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率.解答A班66.577.58 B班6789101112 C班34.567.5910.51213.5解解設事件Ai為“甲是現有樣本中A班的第i個人”，i1,2，5，事件Cj為“乙是現有樣本中C班的第j個人”，j1,2，8.設事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知，EA1C1A1C2A2C1A

15、2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.因此P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3)P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4)15命題點命題點2對立事件的概率對立事件的概率典例典例 一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球.從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；解答解解方法一方法一(利用互斥事件求概率)記事件A1任取1球為紅球，A2任取1球為黑球，A3任取1球為白球

16、，A4任取1球為綠球，根據題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得取出1球是紅球或黑球的概率為方法二方法二(利用對立事件求概率)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1A2的對立事件為A3A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.解答解解方法一方法一取出1球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)方法二方法二因為A1A2A3的對立事件為A4，求復雜事件的概率的兩種方法求概率的關鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，

17、求解時通常有兩種方法(1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.(2)若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 某保險公司利用簡單隨機抽樣方法對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：解答賠付金額(元)01 0002 0003 0004 000車輛數(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；解解設A表示事件“賠付金額為

18、3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)P(B)0.150.120.27.(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率.解答解解設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，可得樣本車輛中車主為新司機的有0.11 000100(輛)，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機的有0.212024(輛)，所以樣本車輛中新

19、司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為 0.24，由頻率估計概率得P(C)0.24.用正難則反思想求對立事件的概率思想方法思想方法典例典例(12分)某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.思想方法指導規(guī)范解答一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結算時間 2分鐘的概率.(將頻率視為概率)思想方法指

20、導思想方法指導 若某一事件包含的基本事件多，而它的對立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解.規(guī)范解答規(guī)范解答解解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20. 2分該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結算時間為3分鐘”，將頻率視為概率，得課時作業(yè)1.有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁

21、四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是 A.互斥但非對立事件 B.對立事件C.相互獨立事件 D.以上都不對基礎保分練解析答案12345678910111213141516解析解析由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件.2.4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為 解析答案12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析答案123456789101112131415164.(2017

22、湖南衡陽八中、長郡中學等十三校二模)同學聚會上，某同學從愛你一萬年、十年、父親、單身情歌四首歌中選出兩首歌進行表演，則愛你一萬年未被選取的概率為 解析解析分別記愛你一萬年、十年、父親、單身情歌為A1，A2，A3，A4，從這四首歌中選出兩首歌進行表演的所有可能的結果為A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6個，其中A1未被選取的結果有3個，所以所求概率P5.下列命題：將一枚硬幣拋兩次，設事件M：“兩次出現正面”，事件N：“只有一次出現反面”，則事件M與N互為對立事件；若事件A與B互為對立事件，則事件A與B為互斥事件；若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對立事件；若事件

23、A與B互為對立事件，則事件AB為必然事件.其中的真命題是 A. B.C. D. 解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析對于，一枚硬幣拋兩次，共出現正，正，正，反，反，正，反，反四種結果，則事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故錯；對于，對立事件首先是互斥事件，故正確；對于，互斥事件不一定是對立事件，如中的兩個事件，故錯；對于，事件A，B為對立事件，則在這一次試驗中A，B一定有一個要發(fā)生，故正確.故B正確.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析擲一個骰子的

24、試驗有6種可能的結果.7.(2017武漢模擬)已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為_.0.2512345678910111213141516解析答案8.若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的

25、概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，則實數a的取值范圍是_.解析答案123456789101112131415169.甲、乙兩人玩數字游戲，先由甲任想一數字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜出的數字記為b，且a，b1,2,3，若|ab|1，則稱甲、乙“心有靈犀”.現任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為_.解析答案12345678910111213141516解析答案123456789101112131415160.7410.經統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數及相應概率如下表：排隊人數012345概率0.10.160.30.30.10.04則該

26、營業(yè)窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是_.解析解析由表格可得至少有2人排隊的概率P0.30.30.10.040.74.11.(2018深圳模擬)有編號為1,2,3的三個白球，編號為4,5,6的三個黑球，這六個球除編號和顏色外完全相同，現從中任意取出兩個球.(1)求取出的兩個球顏色相同的概率；解答12345678910111213141516解解從六個球中取出兩個球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15個.記事件A為“取出的兩個球是

27、白球”，則這個事件包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3個，記“取出的兩個球是黑球”為事件B，記事件C為“取出的兩個球的顏色相同”，A，B互斥，根據互斥事件的概率加法公式，得P(C)P(AB)P(A)P(B)12345678910111213141516(2)求取出的兩個球顏色不相同的概率.解答12345678910111213141516解解記事件D為“取出的兩個球的顏色不相同”，則事件C，D對立，根據對立事件概率之間的關系，12.某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特

28、等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；解答12345678910111213141516解答12345678910111213141516(2)1張獎券的中獎概率；解解1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設“1張獎券中獎”這個事件為M，則MABC.A，B，C兩兩互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)解答12345678910111213141516(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.解解設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，現隨機選取一個成員，他屬于至少2個小組的

29、概率是_，他屬于不超過2個小組的概率是_.13.某學校成立了數學、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39,32,33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示.技能提升練解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516“不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”，其對立事件是“3個小組”.14.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為 .現有甲、乙兩人從袋中輪流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有1人取到白球時終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的.(1)求袋中原有白球的個數；1

30、2345678910111213141516解答12345678910111213141516所以n(n1)6，解得n3或n2(舍去)，即袋中原有3個白球.(2)求取球2次即終止的概率；12345678910111213141516解答解解記“取球2次即終止”為事件A，(3)求甲取到白球的概率.12345678910111213141516解答解解記“甲取到白球”為事件B，“第i次取到白球”為事件Ai，i1,2,3,4,5.因為甲先取，所以甲只能在第1次，第3次和第5次取球.拓展沖刺練答案解析123456789101112131415160.86415.如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接

31、成一個系統(tǒng).當K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為_.12345678910111213141516解析解析方法一方法一由題意知K，A1，A2正常工作的概率分別為P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A2)0.8，K，A1，A2相互獨立，16.某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數X之間的關系如表所示：12345678910111

32、213141516X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；12345678910111213141516解答Y51484542頻數4 12345678910111213141516解解所種作物的總株數為1234515，其中“相近”作物株數為1的作物有2株，“相近”作物株數為2的作物有4株，“相近”作物株數為3的作物有6株，“相近”作物株數為4的作物有3株，列表如下：Y51484542頻數2463(2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48 kg的概率.12345678910111213141516解答故在所種作物中隨機選取一株，它的年收獲量至少為48 kg的概率為