第32練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第三篇攻堅克難壓軸大題多得分明考情導(dǎo)數(shù)部分在高考中的應(yīng)用一般綜合性較強，以壓軸題形式呈現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)零點，方程根及不等式相結(jié)合是高考命題的熱點，高檔難度.知考向1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點.2.導(dǎo)數(shù)與不等式.3.導(dǎo)數(shù)與其他知識的交匯問題.研透考點核心考點突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點核心考點突破練考點一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點方法技巧方法技巧研究函數(shù)零點或兩函數(shù)圖象的交點，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，確定函數(shù)圖象的變化趨勢，畫出函數(shù)草圖，確定函數(shù)圖象與x軸的交點或兩函數(shù)圖象的交點.解解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；1234解答(2)當m1時，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).1234解答問題等價于求函數(shù)F(x)的零點個數(shù).當m1時，F(xiàn)(x)0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，所以F(x)有唯一零點.當m1時，若0 x1或xm，則F(x)0；若1xm，則F(x)0，12341234所以函數(shù)F(x)在(0，1)和(m，)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，所以F(x)有唯一零點.綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點.(1)當me(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求f(x)的極小值；當x(0，e)時，f(x)0，f(x)在(e，)上單調(diào)遞增，f(x)的極小值為2.1234解答1234解答則(x)x21(x1)(x1)，當x(0，1)時，(x)0，(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當x(1，)時，(x)0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減.x1是(x)的唯一極值點，且是極大值點，因此x1也是(x)的最大值點，1234又(0)0，結(jié)合y(x)的圖象(如圖)可知，當m0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點.12341234解答3.已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR).(1)當a2時，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；解解當a2時，f(x)2ln xx22x，切線的斜率kf(1)2，所以切線方程為y12(x1)，即2xy10.1234解答解解g(x)2ln xx2m，當1xe時，g(x)0.所以g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.123412341234解答4.(2017全國)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；解解f(x)的定義域為(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0，則f(x)0，則由f(x)0，得xln a.當x(，ln a)時，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增.1234解答(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一個零點.(ii)若a0，由(1)知，當xln a時，f(x)取得最小值，當a1時，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個零點；即f(ln a)0，故f(x)沒有零點；又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一個零點.1234因此f(x)在(ln a，)上有一個零點.綜上，a的取值范圍為(0，1).1234則f(n0) (a a2)n0 n0 n00.0en02n0en0en考點二導(dǎo)數(shù)與不等式方法技巧方法技巧導(dǎo)數(shù)與不等式問題相結(jié)合有兩個方面：一是由不等式恒成立(或有解)求解參數(shù)取值范圍；二是證明不等式或與自然數(shù)有關(guān)的不等式.解決這兩類問題的核心是“函數(shù)的最值”.5.(2017保定模擬)已知函數(shù)f(x)ex2x.(1)求函數(shù)f(x)的極值；5678解答解解f(x)ex2，令f(x)0，得xln 2，令f(x)0，得xln 2，f(x)在(，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，當xln 2時，f(x)有極小值f(ln 2)22ln 2，無極大值.(2)當a2ln 4且x0時，試比較f(x)與x2(a2)x1的大小.5678解答解解令g(x)f(x)x2(a2)x1exx2ax1，g(x)ex2xaf(x)a，g(x)minf(x)mina22ln 2a.a2ln 4，g(x)0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，g(x)g(0)0，即f(x)x2(a2)x1.56786.已知函數(shù)f(x)ln xx3.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解答令f(x)0，得x(1，)；令f(x)0；證明證明證明f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知，f(x)ln xx3在(1，)上單調(diào)遞增，所以當x(1，)時，f(x)f(1).即f(x)2，所以f(x)20.證明證明由(1)可知，當x(1，)時，f(x)f(1)，即ln xx10，所以0ln xx1對一切x(1，)恒成立.因為n2，nN*，則有0ln n0時，g(x)0，求b的最大值；9101112解答解解因為g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g (x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2).當b2時，g(x)0，當且僅當x0時，等號成立，所以g(x)在(，)上單調(diào)遞增.而g(0)0，所以對任意x0，g(x)0.當b2時，若x滿足2exex2b2，而g(0)0，綜上，b的最大值為2.9101112所以ln 2的近似值為0.693.9101112解答9101112證明設(shè)f(x)的圖象與x軸相切于點(x0，0)，解得ax01.9101112當0 x0，h(x)單調(diào)遞增；當x1時，h(x)0，所以m(x)單調(diào)遞增，9101112910111212.(2017瀘州沖刺)設(shè)函數(shù)f(x)exsin x(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)ax，F(xiàn)(x)f(x)g(x).(1)若x0是F(x)的極值點，且直線xt(t0)分別與函數(shù)f(x)和g(x)的圖象交于P，Q，求P，Q兩點間的最短距離；9101112解答解解因為F(x)exsin xax，所以F(x)excos xa，因為x0是F(x)的極值點，所以F(0)11a0，解得a2.又當a2時，若x0，F(xiàn)(x)excos xa1120，所以F(x)在(，0)上單調(diào)遞減.若x0，(F(x)exsin x0，所以F(x)在(0，)上為增函數(shù)，所以F(x)F(0)1120，所以F(x)在(0，)上為增函數(shù).9101112所以x0是F(x)的極小值點，所以a2符合題意，所以|PQ|etsin t2t.令h(x)exsin x2x，即h(x)excos x2，因為(h(x)exsin x，當x0時，ex1，1sin x1，所以(h(x)exsin x0，所以h(x)excos x2在(0，)上單調(diào)遞增，所以h(x)excos x2h(0)0，所以當x0，)時，h(x)的最小值為h(0)1，所以|PQ|min1.9101112(2)若當x0時，函數(shù)yF(x)的圖象恒在yF(x)的圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍.9101112解答解解令(x)F(x)F(x)exex2sin x2ax，則(x)exex2cos x2a，令S(x)(x)exex2sin x，因為S(x)exex2cos x0在x0時恒成立，所以函數(shù)S(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以S(x)S(0)0在x0時恒成立.故函數(shù)(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以(x)(0)42a在x0，)時恒成立.當a2時，(x)0，(x)在0，)上單調(diào)遞增，即(x)(0)0.故當a2時，F(xiàn)(x)F(x)恒成立.9101112當a2時，因為(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以總存在x0(0，)，使(x)在區(qū)間0，x0)上，(x)0，導(dǎo)致(x)在區(qū)間0，x0上單調(diào)遞減，而(0)0，所以當x0，x0)時，(x)0，這與F(x)F(x)0對x0，)恒成立矛盾，所以a2不符合題意，故符合條件的a的取值范圍是(，2.9101112規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)已知函數(shù)f(x)ln xmxm，mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在x(0，)上恒成立，求實數(shù)m的值；模板體驗審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評分標準評分標準當m0時，f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；(2)解解由(1)知，當m0時顯然不成立；只需mln m10即可，令g(x)xln x1，函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)0.則若f(x)0在x(0，)上恒成立，m1.8分構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù).第二步看性質(zhì)看性質(zhì)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì).第三步用性質(zhì)用性質(zhì)：將題中條件或要證結(jié)論轉(zhuǎn)化，如果成立或有解問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，證明不等式可利用函數(shù)單調(diào)性和放縮法.第四步得結(jié)論得結(jié)論：審視轉(zhuǎn)化過程的合理性.第五步再反思再反思：回顧反思，檢查易錯點和步驟規(guī)范性.(1)當a為何值時，x軸為曲線yf(x)的切線；規(guī)范演練解解設(shè)曲線yf(x)與x軸相切于點(x0，0)，則f(x0)0，f(x0)0.12345解答(2)用minm，n表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)(x0)，討論h(x)零點的個數(shù).12345解答解解當x(1，)時，g(x)ln x0，從而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0.12345所以只需考慮f(x)在(0，1)上的零點個數(shù).若a3或a0，則f(x)3x2a在(0，1)內(nèi)無零點，故f(x)在(0，1)上單調(diào).所以當a3時，f(x)在(0，1)有一個零點；當a0時，f(x)在(0，1)內(nèi)沒有零點.123451234512345(1)求實數(shù)a的值及f(x)的極值；12345解答f(x)在點(1，f(1)處的切線與x軸平行，當0 x1時，f(x)0，當x1時，f(x)0，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，故f(x)在x1處取得極大值1，無極小值.1234512345解答當x0時，f(x)，由(1)得f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，由零點存在性原理知，f(x)在區(qū)間(0，1)上存在唯一零點，函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.12345(1)求a的值；12345解答12345證明12345當x1，)時，(ln x)23ln x30033，故g(x)在1，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，123454.已知函數(shù)f(x)ax2bxln x(a，bR).(1)設(shè)b2a，求f(x)的零點的個數(shù)；12345解答解解b2a，當0a4(1ln 2)時，函數(shù)f(x)沒有零點；當a4(1ln 2)時，函數(shù)f(x)有一個零點；當a4(1ln 2)時，函數(shù)f(x)有兩個零點.12345當a2時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，f(x)有一個零點.f(x)只有一個零點.12345綜上，當0a4(1ln 2)時，函數(shù)f(x)無零點；當a4(1ln 2)時，函數(shù)f(x)有兩個零點.12345(2)設(shè)a0，且對于任意x0，f(x)f(1)，試比較ln a與2b的大小.12345解答解解由a0，且對于任意x0，f(x)f(1)，可知函數(shù)f(x)在x1處取得最小值，整理得2ab1，即b12a.ln a(2b)ln a2(12a)ln a24a，1234512345故g(a)0，即24aln a2bln a0，即ln a2b.5.已知函數(shù)f(x)sin xax.(1)對于x(0，1)，f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；解解由f(x)0，得sin xax0，再令m(x)xcos xsin x，則m(x)cos xxsin xcos xxsin x0，所以m(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以m(x)m(0)0，所以g(x)0，則g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以g(x)g(1)sin 1，所以asin 1.12345解答(2)當a1時，令h(x)f(x)sin xln x1，求h(x)的最大值；解解當a1時，f(x)sin xx，所以h(x)ln xx1，由h(x)0，得x1.當x(0，1)時，h(x)0，h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當x(1，)時，h(x)0，h(x)在(1，)上單調(diào)遞減.所以h(x)maxh(1)0.12345解答證明證明由(2)可知，當x(1，)時，h(x)0，即ln xx1，分別令n1，2，3，n，即所要證不等式成立.12345證明