第第3 3講講 圓錐曲線中的綜合問題圓錐曲線中的綜合問題考情分析考情分析總綱目錄考點一 范圍、最值問題考點二 定點、定值問題考點三 探索性問題考點一 范圍、最值問題典型例題典型例題(2017浙江,21,15分)如圖,已知拋物線x2=y,點A,B,拋物線上的點P(x,y).過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求|PA|PQ|的最大值.1 1,2 43 9,2 41322x解析解析(1)設(shè)直線AP的斜率為k,k=x-,因為-xb0)的兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形,直線+=1與橢圓E有且僅有一個交點M.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線+=1與y軸交于P,過點P的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,若|2=|PA|PB|,求實數(shù)的取值范圍.22xa22yb4x2y4x2yPM由得x2-2x+4-3c2=0,直線+=1與橢圓E有且僅有一個交點M,=4-4(4-3c2)=0c2=1,橢圓E的方程為+=1.(2)由(1)得M,直線+=1與y軸交于P(0,2),|PM|2=,當(dāng)直線l與x軸垂直時,|PA|PB|=(2+)(2-)=1,222,43142xycxy4x2y24x23y31,24x2y5433解析解析(1)由題意,得a=2c,b=c,則橢圓E為+=1.3224xc223yc|PM|2=|PA|PB|=,當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,依題意得,x1x2=,且=48(4k2-1)0,k2.|PA|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)=1+=,=,k2,b0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.22xa22yb31,231,2因此解得故C的方程為+y2=1.(2)證明:設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2.如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t0,且|t|+知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上.21a21b21a234b(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由題設(shè)可知=16(4k2-m2+1)0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=,由題設(shè)k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)+(m-1)=0.解得k=-.2841kmk 224441mk111yx221yx111kxmx221kxmx1212122(1)()kx xmxxx x224441mk2841kmk12m當(dāng)且僅當(dāng)m-1時,0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l過定點(2,-1).方法歸納方法歸納定點與定值問題的求解策略(1)解決動直線恒過定點問題的一般思路是設(shè)出直線y=kx+m(k存在的情形),然后利用條件建立k與m的關(guān)系,借助于點斜式方程確定定點坐標(biāo).(2)定值的證明與探索一般是先利用特殊情形確定定值,再給出一般化的證明或直接推證得出與參數(shù)無關(guān)的數(shù)值.在這類試題中選擇消元的方法是非常關(guān)鍵的.12m12m跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017寶雞質(zhì)量檢測(一)已知橢圓C:+=1(ab0)經(jīng)過(1,1)與兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點,橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|.求證:+為定值.22xa22yb63,2221|OA21|OB22|OM解析解析(1)將(1,1)與代入橢圓C的方程,得 解得橢圓C的方程為+=1.(2)證明:由|MA|=|MB|知M在線段AB的垂直平分線上,由橢圓的對稱性知A、B關(guān)于原點對稱.若點A、B是橢圓的短軸端點,則點M是橢圓長軸的一個端點,此時+=+=2=2.同理,若點A、B是橢圓的長軸端點,則點M是橢圓短軸的一個端點,此時63,222222111,331,24abab223,3.2ab23x223y21|OA21|OB22|OM21b21b22a2211ab+=+=2=2.若點A、B、M不是橢圓的頂點,設(shè)直線l的方程為y=kx(k0),則直線OM的方程為y=-x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由解得=,=,|OA|2=|OB|2=+=,同理,|OM|2=,所以+=2+=2.綜上,+=2,為定值.21|OA21|OB22|OM21a21a22b2211ab1k22,2133ykxxy21x2312k21y22312kk21x21y223(1)1 2kk223(1)2kk21|OA21|OB22|OM221 23(1)kk222(2)3(1)kk21|OA21|OB22|OM考點三 探索性問題典型例題典型例題(2017武漢武昌調(diào)研考試)已知直線y=k(x-2)與拋物線:y2=x相交于A,B兩點,M是線段AB的中點,過M作y軸的垂線交于點N.(1)證明:拋物線在點N處的切線與直線AB平行;(2)是否存在實數(shù)k使=0?若存在,求k的值;若不存在,請說明理由.解析解析(1)證明:由消去y并整理,得2k2x2-(8k2+1)x+8k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=4,xM=,yM=k(xM-2)=k=.12NANB2(2),12yk xyx22812kk122xx22814kk228124kk14k由題設(shè)條件可知,yN=yM=,xN=2=,N.設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y-=m,將x=2y2代入上式,得2my2-y+-=0.直線l與拋物線相切,=(-1)2-42m=0,m=k,即lAB.(2)假設(shè)存在實數(shù)k,使=0,則NANB.M是AB的中點,|MN|=|AB|.由(1),得|AB|=|x1-x2|=14k2Ny218k211,84kk14k218xk14k28mk2148mkk22()mkkNANB1221k21k21212()4xxx x21k=.MNy軸,|MN|=|xM-xN|=-=.=,解得k=.故存在k=,使=0.方法歸納方法歸納解決探索性問題的注意事項存在性問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確,則存在,若結(jié)論不正確,則不存在.(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時,要分類討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論要求推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件.(3)當(dāng)條件和結(jié)論都未知,按常規(guī)方法解題很難時,要思維開放,采取其他的途徑.222814 42kk 21k221612kk22814kk218k221618kk221618kk1221k221612kk1212NANB跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017蘭州診斷考試)已知橢圓C:+=1(ab0)經(jīng)過點(,1),且離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)M,N是橢圓上的點,直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點)的斜率之積為-.若動點P滿足=+2,試探究是否存在兩個定點F1,F2,使得|PF1|+|PF2|為定值.若存在,求F1,F2的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解析解析(1)e=,=,可得=,又橢圓C經(jīng)過點(,1),22xa22yb22212OPOMON2222ca1222ba122+=1,解得a2=4,b2=2.橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則由=+2得x=x1+2x2,y=y1+2y2,點M,N在橢圓+=1上,+2=4,+2=4,故x2+2y2=(+4x1x2+4)+2(+4y1y2+4)=(+2)+4(+2)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).kOMkON=-,x1x2+2y1y2=0.x2+2y2=20,22a21b24x22yOPOMON24x22y21x21y22x22y21x22x21y22y21x21y22x22y1212y yx x12故點P是橢圓+=1上的點.由橢圓的定義知存在點F1,F2滿足|PF1|+|PF2|=2=4,為定值,又|F1F2|=2=2,F1,F2的坐標(biāo)分別為(-,0),(,0).隨堂檢測(2017東北四市高考模擬)已知橢圓C:+y2=1(a1),B1,B2分別是其上、下頂點,橢圓C的左焦點F1在以B1B2為直徑的圓上.(1)求橢圓C的方程;(2)過點F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點N,點N的橫坐標(biāo)的取值范圍是,求|AB|的取值220 x210y20520 1010101022xa1,04隨堂檢測隨堂檢測(2017東北四市高考模擬)已知橢圓C: +y2=1(a1),B1,B2分別是其上、下頂點,橢圓C的左焦點F1在以B1B2為直徑的圓上.(1)求橢圓C的方程;(2)過點F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點N,點N的橫坐標(biāo)的取值范圍是,求|AB|的取值范圍.22xa1,04解析解析(1)由題知b=c=1,a=,橢圓的方程為+y2=1.(2)設(shè)直線l:y=k(x+1),聯(lián)立方程得消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,記A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可得則y1+y2=k(x1+x2+2)=,設(shè)AB的中點為Q,則Q,22bc222x22(1),1,2yk xxy212221224,2122,21kxxkkx xk 2221kk 2222,21 21kkkk直線QN的方程:y-=-=-x-,N,已知條件得-0,即02k21.|AB|=,02k21,1,|AB|,|AB|的取值范圍為.221kk 1k22221kxk1k2221kk 22,021kk142221kk 21k2222242242121kkkk 221121k122121k 3 2,2 223 2,2 22