第五章第五章 多邊形與四邊形多邊形與四邊形 第第 18 講講 特殊平行四邊形特殊平行四邊形 考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理矩形的定義 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形的性質(zhì) (1)矩形的四個(gè)角都是直角；(2)矩形的對(duì)角線相等矩形的判定(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；(2)對(duì)角線_相等的平行四邊形是矩形；(3)有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形；(4)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形提示 (1)矩形的對(duì)角線把矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形；(2)矩形的判定思路，一般是四邊形平行四邊形矩形 菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形菱形的性質(zhì)(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角菱形的判定(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)對(duì)角線互相_垂直的平行四邊形是菱形；(3)四條邊都相等的四邊形是菱形提示 (1)菱形的對(duì)角線把菱形分成兩對(duì)全等的直角三角形；(2)菱形的判定思路，一般是四邊形平行四邊形菱形；(3)菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半(其實(shí)，對(duì)角線垂直的四邊形的面積也是如此)；(4)由于每條對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)角頂點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，菱形和正方形常與求最短距離相結(jié)合 正方形的定義正方形的定義有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)(1)正方形的四條邊都相等；(2)正方形的兩組對(duì)邊分別平行；(3)正方形四個(gè)角都是90；(4)正方形的對(duì)角線互相垂直、平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角正方形的判定正方形的判定(1)有一組鄰邊相等且一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(3)有一個(gè)角是90的菱形是正方形；(4)對(duì)角線垂直、相等且互相平分的四邊形是正方形提示 (1)正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸有4條，正方形也是中心對(duì)稱(chēng)圖形；(2)正方形的對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；(3)平行四邊形與各種四邊形的包含關(guān)系如圖 典型例題運(yùn)用典型例題運(yùn)用 類(lèi)型類(lèi)型1 矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)與判定 【例1 1】 2017日照中考如圖，已知BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足為E.(1)求證：DCAEAC；(2)只需添加一個(gè)條件，即_，可使四邊形ABCD為矩形請(qǐng)加以證明解：(1)證明：在DCA和EAC中， DCAEAC(SSS)(2)添加ADBC，可使四邊形ABCD為矩形；理由如下：ABDC，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形CEAE，E90.由(1)，得DCAEAC，DE90.四邊形ABCD為矩形變式運(yùn)用 2016臺(tái)州中考如圖，點(diǎn)P在矩形ABCD的對(duì)角線AC上，且不與點(diǎn)A，C重合，過(guò)點(diǎn)P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對(duì)邊于點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)G，H.(1)求證：PHCCFP；(2)證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫(xiě)出它們面積之間的關(guān)系【自主解答】 證明：(1)四邊形ABCD是矩形，DCAB，ADBC.又EFAB，ADGH，EFCD，BCGH.PCHCPF，CPHPCF.CPPC，PHCCFP.(2)由(1)知，ABEFCD，ADGHBC，四邊形PEDH和四邊形PGBF都是平行四邊形四邊形ABCD是矩形，DB90.四邊形PEDH和四邊形PGBF都是矩形EFAB，CPFCAB.在RtAGP中，AGP90，PGAGtanCAB.在RtCFP中，CFP90，CFPFtanCPF.S矩形PEDHDEEPCFEPPFEPtanCPF；S矩形PFBGPGPFAGPFtanCABEPPFtanCAB.tanCPFtanCAB，S矩形PEDHS矩形PFBG.S四邊形PEDHS四邊形PFBG. 類(lèi)型類(lèi)型2 2 菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定 【例2 2】 2017濱州中考如圖，在 ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于 BF的相同長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過(guò)程，求證四邊形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，AE4 ，求C的大小213解：(1)證明：由作圖過(guò)程可知，ABAF，AE平分BAD.BAEEAF.四邊形ABCD為平行四邊形，BCAD. AEBEAF.BAEAEB. ABBE.BEAF.四邊形ABEF為平行四邊形四邊形ABEF為菱形(2)連接BF，交AE于點(diǎn)O.四邊形ABEF為菱形，BF與AE互相垂直平分，BAEFAE.OA AE2 .菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，AF4.cosOAF .OAF30.BAF60.四邊形ABCD為平行四邊形，CBAD60.213AFOA23變式運(yùn)用 2017岳陽(yáng)中考求證：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形小紅同學(xué)根據(jù)題意畫(huà)出了圖形，并寫(xiě)出了已知和求證的一部分，請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證，并寫(xiě)出證明過(guò)程已知：如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，_求證：_.解：已知：如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，ACBD.求證：四邊形ABCD是菱形證明：四邊形ABCD為平行四邊形，BODO.ACBD，AC垂直平分BD.ABAD.四邊形ABCD為菱形 類(lèi)型類(lèi)型3 3 正方形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定 【例3 3】 2017杭州中考如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GEDC于點(diǎn)E，GFBC于點(diǎn)F，連接AG.(1)寫(xiě)出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AGF105，求線段BG的長(zhǎng)解：(1)結(jié)論：AG2GE2GF2.理由：連接CG.四邊形ABCD是正方形， A，C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G在BD上， GAGC.GEDC于點(diǎn)E，GFBC于點(diǎn)F， GECECFCFG90.四邊形EGFC是矩形 CFGE.在RtGFC中，CG2GF2CF2，AG2GF2GE2.(2)作BNAG于點(diǎn)N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AMBM.設(shè)ANx.AGF105，F(xiàn)BGFGBABG45，AGB60，GBN30，ABMMAB15.AMN30.AMBM2x，MN x.在RtABN中，AB2AN2BN2，3變式運(yùn)用 2017威海模擬已知：正方形ABCD，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)(1)如圖1，Q為CD邊上一點(diǎn)，且BPQ90，求證：PBPQ；(2)如圖2，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC中點(diǎn)，求PBPE的最小值解：(1)證明：如圖1，連接PD，在正方形ABCD中，DACBAC.在APB與APD中，APBAPD.PDPB.ABPADP.ABCADC90，PBCPDC.BPQBCD90，PBCPQC180.PQDPQC180，PQDPBC.PDCPQD.PDPQ.PQPB.(2)如圖2，連接ED交AC于點(diǎn)P，連接BP，則DE的長(zhǎng)度即為PBPE的最小值由題意，可證BPPD，PBPEPDPEDE.EC BC1，BCD90，DE .PBPE的最小值為 .2155122222ECCD六年真題全練六年真題全練 命題點(diǎn)1 矩形、菱形或正方形綜合題 1 12014德州如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB4，BC8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：四邊形CFHE是菱形；EC平分DCH；線段BF的取值范圍為3BF4；當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF2 .以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有(C)5A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)C C因?yàn)镕H與CE，EH與CF都是矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分，易知FHCG，EHCF，可得四邊形CFHE是平行四邊形，由翻折性質(zhì)得CFFH，所以平行四邊形CFHE是菱形，正確；已知BCHECH，所以只有當(dāng)DCE30時(shí)，EC平分DCH，錯(cuò)誤；點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BFx，則AFFC8x，在RtABF中，AB2BF2AF2，即42x2(8x)2，解得x3.點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，CFCD4，可得BF4，所以線段BF的取值范圍為3BF4，正確；當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FMAD于M，則ME(83)32，在EFM中，由勾股定理，得EF= =2 ，正確綜上所述，正確的結(jié)論有.242222MEMF52 22013德州下列命題中，真命題是(D)A對(duì)角線相等的四邊形是等腰梯形B對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形C對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D四個(gè)角相等的四邊形是矩形D D選項(xiàng)A，對(duì)角線相等的四邊形也可能是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，對(duì)角線互相垂直平分的四邊形也可能是菱形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，四個(gè)角相等的四邊形是矩形，是真命題，故此選項(xiàng)正確3 32017德州如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB3cm，AD5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過(guò)點(diǎn)E作EFAB交PQ于點(diǎn)F，連接BF.(1)求證：四邊形BFEP為菱形；(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P，Q也隨之移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2)，求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；若限定P，Q分別在邊BA，BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離解：(1)證明：折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng)PBPE，BFEF，BPFEPF.又EFAB，BPFEFP.EPFEFP.EPEF.BPBFEFEP.四邊形BFEP為菱形(2)四邊形ABCD是矩形，BCAD5cm，CDAB3cm，AD90 .點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng)，CEBC5cm.在RtCDE中，DE 4cm，AEADDE541(cm)在RtAPE中，AE1，AP3PB3PE，EP212(3EP)2.解得EP cm.菱形BFEP的邊長(zhǎng)為 cm.CDCE223535當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由知，此時(shí)AE1cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖所示，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AEAB3cm.點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm.2012德州如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于點(diǎn)H，折痕為EF，連接BP，BH.(1)求證：APBBPH；(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；(3)設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：如圖1，PEBE，EBPEPB.又EPHEBC90，EPHEPBEBCEBP.即PBCBPH.又ADBC，APBPBC.APBBPH.(2)PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?.理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BQPH，垂足為Q.由(1)知APBBPH，又ABQP90，BPBP，ABPQBP.APQP，ABQB.又ABBC，BCBQ.又CBQH90，BHBH，BCHBQH.CHQH.PHD的周長(zhǎng)為：PDDHPHAPPDDHHCADCD8.(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FMAB，垂足為M，則FMBCAB.又EF為折痕，EFBP.EFMMEFABPBEF90.EFMPBA.又AEMF90，EFMPBA.EMAPx.在RtAPE中，(4BE)2x2BE2.解得BE2 .CFBEEM2 x.又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，S (BECF)BC (4 x)4.即S x22x8.配方，得S (x2)26，當(dāng)x2時(shí)，S有最小值6.82x82x212142x2121猜押預(yù)測(cè) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為3，1，反比例函數(shù)y 的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，則菱形ABCD的面積為4 x324 過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，A，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y 的圖象上且縱坐標(biāo)分別為3，1，A，B橫坐標(biāo)分別為1，3，AE2，BE2，AB2 ，S菱形ABCD底高2 24 .2x3222