2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第十七講解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一條是邊)求得其余元素的過(guò)程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下兩方面的應(yīng)用：1為線段、角的計(jì)算提供新的途徑解直角三角形的基礎(chǔ)是三角函數(shù)的概念，三角函數(shù)使直角三角形的邊與角得以轉(zhuǎn)化，突破純粹幾何關(guān)系的局限2解實(shí)際問(wèn)題測(cè)量、航行、工程技術(shù)等生活生產(chǎn)的實(shí)際問(wèn)題，許多問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形獲解解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在理解有關(guān)名詞的意義的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把實(shí)際問(wèn)題抽象為幾何圖形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解直角三角形【例題求解】【例1】如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45°,ZA=60°,CD=4m,BC=()m,則電線桿AB的長(zhǎng)為.思路點(diǎn)撥延長(zhǎng)AD交BC于E,作DF丄BC于F,為解直角三角形創(chuàng)造條件.【例2】()如圖，在四邊形ABCD中，AB=,BC-1,CD=,A.60°B.67.5°C.75°D.無(wú)法確定思路點(diǎn)撥通過(guò)對(duì)內(nèi)分割或向外補(bǔ)形,構(gòu)造直角三角形注：因直角三角形元素之間有很多關(guān)系,故用已知元素與未知元素的途徑常不惟一,選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢？請(qǐng)記?。河行庇孟?無(wú)斜用切,寧乘勿除.在沒(méi)有直角的條件下,常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形；在解由多個(gè)直角三角形組合而成的問(wèn)題時(shí),往往先解已具備條件的直角三角形,使得求解的直角三角形最終可解.【例3】如圖，在ABC中，Z=90°,ZBAC=30°,BC=l,D為BC邊上一點(diǎn)，tanZADC是方程的一個(gè)較大的根?求CD的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥解方程求出tanZADC的值，解RtAABC求出AC值，為解RtAADC創(chuàng)造條件.【例4】如圖，自卸車(chē)車(chē)廂的一個(gè)側(cè)面是矩形ABCD,AB=3米，BC=O.5米，車(chē)廂底部距離地面1.2米，卸貨時(shí)，車(chē)廂傾斜的角度0=60°.問(wèn)此時(shí)車(chē)廂的最高點(diǎn)A距離地面多少米？（精確到1米）思路點(diǎn)撥作輔助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，怎樣作輔助線構(gòu)造基本圖形，展開(kāi)空間想象，就能得到不同的解題尋路d【例5】如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí)太陽(yáng)光線與水平面的夾角為30°，此時(shí)，求：（1）如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高?（2）如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少米?思路點(diǎn)撥（1）設(shè)甲樓最高處A點(diǎn)的影子落在乙樓的C處，則圖中CD的長(zhǎng)度就是甲樓的影子在乙樓上的高；（2）設(shè)點(diǎn)A的影子落在地面上某一點(diǎn)C,求BC即可.注：在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題后，不能只滿足求出問(wèn)題的答案，同時(shí)還應(yīng)對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行多方面分析和考察，思考一下有沒(méi)有多種解題途徑，每種途徑各有什么優(yōu)點(diǎn)與缺陷，哪一條途徑更合理、更簡(jiǎn)捷，從中又能給我們帶來(lái)怎樣的啟迪等.若能養(yǎng)成這種良好的思考問(wèn)題的習(xí)慣，則可逐步培養(yǎng)和提高我們分析探索能力.學(xué)歷訓(xùn)練1. 如圖，在ABC中，ZA=30°,tanB=，BC=，則AB的長(zhǎng)為2. 如圖，在矩形ABCD中.E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若tanZAEH=四邊形EFGH的周長(zhǎng)為40cm，則矩形ABCD的面積為.3. 如圖，旗桿AB,在C處測(cè)得旗桿頂A的仰角為30°，向旗桿前北進(jìn)10m，達(dá)到D,在D處測(cè)得A的仰角為45°，則旗桿的高為.4. 上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，9時(shí)30分到達(dá)B處，從A、B兩處分別測(cè)得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么B處船與小島M的距離為()A.20海里B.20海里C.海里D.5. 已知a、b、c分別為ABC中ZA、ZB、ZC的對(duì)邊，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且sinBcosAcosBsinA=0,則厶ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形6. 如圖，在四邊形ABCD中，ZA=135°,ZB二ZD=90°,BC=，AD=2，則四邊形ABCD的面積是()ABC4D67. 如圖，在ABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,CD=1，已知AD、BD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩根，且tanAtanB=2，求、的值.C8如圖，某電信部門(mén)計(jì)劃修建一條連結(jié)B、C兩地的電纜，8測(cè)量人員在山腳A點(diǎn)測(cè)得B、C兩地的仰角分別為30°、45°,在B地測(cè)得C地的仰角為60°.已知C地比A地高200米,則電纜BC至少長(zhǎng)多少米？(精確到0.1米)9. 如圖，在等腰RtAABC中，ZC=90°,ZCBD=30，則=.10. 如圖，正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn).M是AD上異于D的點(diǎn)，且ZNMB=ZMBC,貝VtanZABM=.11. 在厶ABC中，AB=,BC=2,ABC的面積為l,若ZB是銳角，則ZC的度數(shù)是.12. 已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)為a、b、c,且，若關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個(gè)底角是()A.15°B.30°C.45°D.60°13. 如圖，AABC為等腰直角三角形，若AD=AC,CE=BC，則Z1和Z2的大小關(guān)系是()A.Z1>Z2B.Z1<Z2C.Z1=Z2D.無(wú)法確定14. 如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE丄AF，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，EF交AB于點(diǎn)G.(1) 求證：DFXFC=BGXEC；(2) 當(dāng)tanZDAF=時(shí)，AAEF的面積為10,問(wèn)當(dāng)tanZDAF=時(shí)，AAEF的面積是多少？15. 在一個(gè)三角形中，有一邊邊長(zhǎng)為16，這條邊上的中線和高線長(zhǎng)度分別為10和9，求三角形中此邊所對(duì)的角的正切值.16.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)鷶?shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力.據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正在以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30°方向往C處移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)，則稱(chēng)為受臺(tái)風(fēng)影響.(1) 該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由.(2) 若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)?(3) 該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)?17.如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周?chē)鷽](méi)有開(kāi)闊平整地帶.該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測(cè)得，從A、D、C三點(diǎn)可看到塔頂端H.可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角器.(1)請(qǐng)你根據(jù)現(xiàn)有條件,充分利用矩形建筑物，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量塔頂端到地面高度HG的方案.具體要求如下： 測(cè)量數(shù)據(jù)盡可能少； 在所給圖形上，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的測(cè)量平面圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上(如果測(cè)A、D間距離，用m表示；如果測(cè)D、C間距離，用n表示；如果測(cè)角，用a、B、Y等表示.測(cè)角器高度不計(jì)）（2）根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算塔頂端到地面的高度HG（用字母表示）.參考答案回解賣(mài)角三角形【例題求解】CF=DF=22,EF=DFtan60°=2BEtan30°,AB=6&5.選B過(guò)A作AE丄CD于E,過(guò)B作BF丄AE于F.解方程得卄7=尋心+=一1舍去），進(jìn)而得z=4+/J,CD=cotZADCAC=cotZADCcot30°BC=為如=墮嚴(yán).本例解法甚多，以下解法僅供參考，過(guò)點(diǎn)A作AE丄CE于E,交CD于F,則AF=ADtan60°=于是A點(diǎn)離地面的高度為1+得3尋+1.24（米）.cT»q|（1）EC=20米，AE=ECtanZACE11.6米，CD=EB=AB-AE=4.4（米）（2）BC=ABcotZACB27.7（米）【學(xué)力訓(xùn)練】1.3+VT2.1923.(5+5拇)m4.B5.D6.CCDpnCD7.ADBD=CD!=l,igA-tgB=jg-g=y(BD-AD)=BD-AD=2t(JBD+AD)2=<BD-AD)i+4BD*AD=8,.*.BD+AD=2V2-p=AD+BD=22,qADBD=1.即p=-2雄,g=l.8. 作CH丄AD于H,BP丄AH于P,BE丄CH于E,設(shè)BC=h.則BE=yx,CE-MH-=200,AP=200-yx.BP=200一嚕h,由200亨工=(200-*工)普*得=*146.4(米).9. V3-110.y延長(zhǎng)MN,BC交于T.11.30°12.B6=辰13.C過(guò)E作EF丄AB于F,計(jì)算tgZl.15.tgZ2.（1）先證RtAAFDRtAAEB,得DF=BE,再證RtAEBGRtAECF,AOFFC=BGEC.（2）當(dāng)tgZDAF=£時(shí)，設(shè)DF=x.則AD=3jr,AF=/Kr，由SA4£f=yAEAF=2=10,得_r=d，AD=3Q，當(dāng)oitgZDAf=時(shí),DF=2V2AF=念,Saaeph2AFz=13.如圖，在ABC中，設(shè)AB=cAC=b,BC=16,中線AM和高線AD分別為10和9，ZBAC=a，ZAMC=0,從而ZAMB=180°-0,由題意得fbz+<?-2feccosa16zt<解得尿cosa=36,又由6csina=9X8»得處sirur=144,12（護(hù)+疋）=16?+202,2沁=4.cos«如圖，由點(diǎn)A作AD丄BC,垂足為D.VAB=220,/B=30°,/.AD=110（千米）由題意，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，故該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響.由題意，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，則AE=AF=160,當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從E處移到F處時(shí),該城市都會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響.由勾股定理得；DE=/AE5T7ADr=71602-1102=7270X50=30/15.Z.EF=60vT5（千米）該臺(tái)風(fēng)中心以15千米/時(shí)的速度移動(dòng)，:.這次臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為駕絆=4v/B（小時(shí)）.故tan«(1)(3)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于D處時(shí),A市所受這次臺(tái)風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12器17.以下方案僅供參考（測(cè)三個(gè)數(shù)據(jù)）wcota設(shè)HG=jr,CG=HCOtp,DM=(工一Qcota.xcot/3=(jn)cotatcotff*MD