2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第十八講圓的基本性質到定點（圓心）等于定長（半徑）的點的集合叫圓，圓常被人們看成是最完美的事物，圓的圖形在人類進程中打下深深的烙印圓的基本性質有：一是與圓相關的基本概念與關系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓的對稱性，圓既是一個軸對稱圖形，又是一中心對稱圖形用圓的基本性質解題應注意：1熟練運用垂徑定理及推論進行計算和證明；2了解弧的特性及中介作用；3善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關系的轉化熟悉如下基本圖形、基本結論：例題求解】【例1】在半徑為1的00中，弦AB、AC的長分別為和，則ZBAC度數(shù)為作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關系.注：由圓的對稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個，它溝通了線段、角與圓弧的關系，應用的一般方法是構造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識結合起來.圓是一個對稱圖形，注意圓的對稱性，可提高解與圓相關問題周密性.【例2】如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為（）A.B.C.D.思路點撥所作最小圓圓心應在對稱軸上，且最小圓應盡可能通過圓形的某些頂點，通過設未知數(shù)求解.【例3】如圖，已知點A、B、C、D順次在00上,AB=BD，BM丄AC于M,求證:AM=DC+CM.思路點撥用截長(截AM)或補短(延長DC)證明，將問題轉化為線段相等的證明，證題的關鍵是促使不同量的相互轉換并突破它【例4】如圖甲，00的直徑為AB,分別作直線CD、ED,交直線AB于點F,M.求ZC0A和ZFDM的度數(shù)；(2) 求證：AFOMsA；(3) 如圖乙，若將垂足G改取為半徑0B上任意一點，點D改取在EB上，仍作直線CD、ED,分別交直線AB于點F、M,試判斷：此時是否有FDMsA?證明你的結論.思路點撥在RtACOG中，利用OG=OA=OC；(2)證明Z=ZFDM，ZCMO=ZFMD；(3)利用圖甲的啟示思考.注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉化是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來，認識到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路，而在解與圓相關問題時常用到直線形的知識與方法(主要是指全等與相似).【例5】已知：在厶ABC中，AD為ZBAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E,交AD于點F,交AE于點M,且ZB=ZCAE,EF：FD=4：3.(1) 求證:AF=DF；求ZAED的余弦值；如果BD=10，求ABC的面積.思路點撥(1)證明ZADE=ZDAE；(2)作AN丄BE于N,cosZAED=，設FE=4x,FD=3x，利用有關知識把相關線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運用比例線段求出x的值.注：本例的解答，需運用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想，綜合運用直線形相關知識方法思想是解與圓相關問題的關鍵.學歷訓練1.D是半徑為5cm的00內一點，且0D=3cm，則過點D的所有弦中，最小弦AB=.2閱讀下面材料：對于平面圖形A,如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋.對于平面圖形A,如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋.例如：圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋回答下列問題：(1) 邊長為lcm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；(2) 邊長為lcm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；(3) 長為2cm，寬為lcm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm.3世界上因為有了圓的圖案，萬物才顯得富有生機，以下來自現(xiàn)實生活的圖形中都有圓它們看上去多么美麗與和諧，這正是因為圓具有軸對稱和中心對稱性(1) 請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有，是中心對稱圖形的有(分別用下面三個圖的代號a，b，c填空).徒手畫均可，但要盡可能準確些，美觀些)(2) 請你在下面的兩個圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復的圖案(草圖)(用尺規(guī)畫或a. 是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形.b. 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.4. 如圖，AB是00的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B兩點到直線CD的距A12cmB10cmC8cm6cmD離之和為()5. 種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5,弦AB=8,則弓形的高CD為()A2BC3D6. 如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧ABB、cD、EF?如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大小關系是()7. 電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片,叫“晶圓片”.現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圓片的直徑為10.05cm，問：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請說明你的方法和理由(不計切割損耗)B(第7題)(第8題)8. 如圖，已知GO的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為AmB上的一點，且AB2+OB2=BC2,求ZOAC的度數(shù)9. 不過圓心的直線交GO于C、D兩點，AB是GO的直徑，AE丄，垂足為E，BF丄，垂足為F(1) 在下面三個圓中分別補畫出滿足上述條件的具有不同位置關系的圖形；(2) 請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結論(不再標注其他字母，找結論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結論中，不寫推理過程)；(3) 請你選擇(1)中的一個圖形，證明(2)所得出的結論10. 以AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓上一點，且OC2=ACXBC，則ZCAB=.11. 如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點A落在BC的中點A'上，若BC=5，則折痕在厶ABC內的部分DE長為.12.如圖，已知AB為00的弦，直徑MN與AB相交于00內，MC丄AB于C,ND丄AB于D,若MN=20,AB=,則MCND=.（第11題）（第12題（第13題）13. 如圖，已知00的半徑為R,C、D是直徑AB同側圓周上的兩點，AC的度數(shù)為96°,BD的度數(shù)為36°，動點P在AB上，則CP+PD的最小值為.14. 如圖1,在平面上，給定了半徑為r的圓0,對于任意點P,在射線0P上取一點P',使得0PX0Pz=r2,這種把點P變?yōu)辄cP'的變換叫作反演變換，點P與點P'叫做互為反演點八、（1）如圖2,00內外各有一點A和B,它們的反演點分別為A'和B',求證：ZA，=ZB；（2）如果一個圖形上各點經(jīng)過反演變換得到的反演點組成另一個圖形,那么這兩個圖形叫做互為反演圖形 選擇：如果不經(jīng)過點0的直線與00相交，那么它關于00的反演圖形是（）A.一個圓B.條直線C.一條線段D.兩條射線 填空：如果直線與00相切，那么它關于00的反演圖形是,該圖形與圓0的位置關系是.15. 如圖，已知四邊形ABCD內接于直徑為3的圓0,對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點為P,AB=BD，且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長.16. 如圖，已知圓內接ABC中，AB>AC,D為1BAC的中點，DE丄AB于E,求證：BD2-AD2=AB（第15題）（第16題）17將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內,則圓碟的直徑至少是多少？（不考慮其他因素，精確到0.1cm）18.如圖，直徑為13的00',經(jīng)過原點0,并且與軸、軸分別交于A、B兩點，線段0A、0B（0A>0B）的長分別是方程的兩根.（1）求線段0A、0B的長；已知點C在劣弧0A上，連結BC交0A于D,當0C2=CDXCB時，求C點坐標；（3）在00,上是否存在點P,使Spod=Sabd?若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.例4(l)ZCOA=60°，ZEDM=120°t【例題求解】例1參考答案15°或75°分AB、AC在圓心0同側、異側兩種情況討論.fa?+='（2小2+（*）2=/選D如圖，得解得_13_5717a_16，r16-'延長DC至N.使CN=CM.連結BN,則/BCN二ZBAD=ZBDA=ZBCA，可證得厶BCN也ABCM,RtABA/VfRtABDN.r/aX(2)由RtACGMRtAEGM,得ZGMC=ZGME,又ZGME,:.Z.OMC=DMF,:.FDMs/COM；(3)ZFDM=ZCOA,先證RtACGMRtAGM,得ZGMC=ZGJWE,FDMsACOM.故結論仍成立.例5如圖.(1) 由ZADE=ZDAE,得EA=ED,又ZDFE=90°,.AF=DF；(2) 過A點作AN丄BE于N,設FE=lx,FD=3r,則DE=5y,；.AE=DE=5m,AF=FD=3h.*'S/ade=-|ADEF=*DEAN,(3jt+3t)4工=5才AN,AAN=j.7由勾股定理得，EN=-J-,.,.cosZA£D=;5AEox25(3由ZCAE=ZBZAEC=ZBEA»得厶CAEsABE.AAE2=BE-CE,BP(5t)2=(10+5x)*寺工解得工=2,AN=24«BC=BD+DC15nS/Afjc=S一yBC-AN=72.【學力訓練】2.(13(1)axb>c；a>aC2)略7可以切割出66個小正方形按下列方式疊放：4X94-2X8+2X6+2X1=66(個8.設o的半徑為r,則AB=©r,BC=®,以B為圓心,拆&為半徑作圓，與QO交于兩點C,C',連BC,BCAC,AC',延長BO交©O于D,連CD,CD=”,BD=2CD，ZOAC=I5°或ZOAC=75°.圖1圖2圏3圖413. 73R設D'是D點關于直徑AB對稱的點，連CD'交AB于P,則P點使CP+PD最小,ZCOD=120°,CP+PD=CP+PD'=CD'=R.14. (1)VA.B的反演點分別是ABr,:.OAOA',OBOB'=r2:.OA-OAOBOB即汾=閤，又ZO=ZO,：.ABMAB'A'O,ZA'=ZB(2)A；圓；內切.15. 連BO并延長交AD于H,則BH丄AD.:.CD/BHf=,得CD=1,AD=2吃,AH=d，OH=*,BH=2,AB=/，BC=s/'，所求四邊形周長為1+2雄+箱+慮.16.BD2-AD2=(BE2+EZ)2)-(AE2+ED2)=(BE+AE)(BE-AE)AB(BE-AE).只需證明AC=BE-AE即可，在BA上截取BF=AC,連DF可證明DBFDCA，則DFAC,AE=EF.17-通過動手實踐，我們可以探索性地畫出下列四類情形：EyB2'X圖1、圖2不符合要求.可見，選擇圖4來“放”煎餅，圓碟的直徑最小，約是25.8cm.解得OD=,S“d=*ADBO=罟，SAWD-y,APOD中0D邊上的髙為13,即點P到工軸距離為13,V©(/上的點到工軸的最大距離為9點P不在OC/上9即在G)O上不存在點P，使SpouSabd直徑為2OB=2/(10+x)2t-52=2/(10+y)2+5225.8(cm)18.(1)OA+OB=k,OAOB=60,OA2+OB2=AB2=132.解得人=一17,OA=12,()B=5.(2)連結(YC,交AO于E,可證明OCBsADCO,dd=A,O，C丄OA,OE=AE=6,CE=4(3)假設在G)O上存在點P,使=SsbdOB/EC,:.HOBWHECD、：.焉=鋁，即y=若按圖3放.每個正方形對角線長為1072,圓碟直徑為2028.3(cm)；若按圖4放，考慮到它的軸對稱性，圓碟的圓心O應在正方形的邊DE上，設DO=rcm,如圖3(4),DC=10,OC=10+±,BC=5,OE=10工，EF=10,OB=OF，由勾股定理得(10+工嚴+5?=(10-乂嚴+|10S解得x=y.