大學(xué)物理習(xí)題課熱學(xué)部分,2010.11.29,1,統(tǒng)計(jì)物理學(xué),2,理想氣體狀態(tài)方程理想氣體壓強(qiáng)公式理想氣體內(nèi)能麥克斯韋速率分布分子碰撞統(tǒng)計(jì)規(guī)律（平均自由程和碰撞頻率）,基本規(guī)律1.理想氣體狀態(tài)方程,2.理想氣體壓強(qiáng)公式,4,3.溫度與分子平均平動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系,5.理想氣體內(nèi)能公式,4.能量按自由度均分定理平衡態(tài)下，氣體分子的每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能都等于。若氣體分子具有i個(gè)自由度，則分子的能量為,5,6.麥克斯韋速率分布律數(shù)學(xué)表達(dá)式,物理意義：速率在區(qū)間氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，或者說(shuō)一個(gè)分子的速率處于區(qū)間的概率。,速率分布函數(shù),物理意義：處在速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。概率密度,6,三種特征速率,最概然速率：平均速率：方均根速率：,7,7.玻爾茲曼能量分布律,表示氣體處于平衡態(tài)時(shí)，在一定溫度下，在速度分布區(qū)間、和坐標(biāo)區(qū)間、內(nèi)的分子數(shù)；是分子的平動(dòng)動(dòng)能；是分子在力場(chǎng)中的勢(shì)能,體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù),n為空間粒子數(shù)密度,n0為Ep=0處的粒子數(shù)密度,8,重力場(chǎng)中粒子按高度的分布,-恒溫氣壓公式,8.平均碰撞頻率,平均自由程,9,五種類(lèi)型問(wèn)題(1)利用理想氣體方程、壓強(qiáng)公式、內(nèi)能公式，計(jì)算相關(guān)物理量(2)麥克斯韋速率分布率相關(guān)問(wèn)題(3)利用三種特征速率公式的一些計(jì)算(4)平均自由程相關(guān)問(wèn)題(5)玻爾茲曼能量分布律的應(yīng)用,10,例1.體積和壓強(qiáng)都相同的氦氣和氫氣（均視為剛性分子理想氣體），在某一溫度T下混合，所有氫氣分子所具有的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能在系統(tǒng)總熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能中所占的百分比是多少？,氫氣為雙原子分子，自由度為5，,一個(gè)分子平均動(dòng)能：,所有氫氣分子總動(dòng)能為,氦氣為單原子分子，自由度為3，,一個(gè)分子平均動(dòng)能：,所有氦氣分子總動(dòng)能為：,氫氣分子動(dòng)能的百分比為,知道氫氣和氦氣分子的摩爾比就可確定氫氣分子動(dòng)能百分比。,根據(jù)條件，兩種氣體P和V都相同，在同一溫度T下混合。,理想氣體壓強(qiáng)公式：,氫氣,氦氣,T相同，P相同，因此n1=n2,即分子數(shù)密度相同。V也相同。,摩爾量為:,例2.容積為10L的盒子以速率V=200m/s勻速運(yùn)動(dòng)，容器中充有質(zhì)量為50g，溫度為18oC的氫氣，設(shè)盒子突然停止，氣體的全部定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能都變?yōu)闅怏w分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，容器與外界沒(méi)有能量交換，則達(dá)到平衡后氫氣的溫度和壓強(qiáng)增加多少？（氫氣分子視為剛性分子）,動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，內(nèi)能只與溫度有關(guān)，內(nèi)能增加即溫度增加，等體變化中，溫度增加引起壓強(qiáng)增加。,定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能,這些能量全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，氫氣分子內(nèi)能增加量為,1mol氫氣分子內(nèi)能與溫度關(guān)系：,50g氫氣總的內(nèi)能為,內(nèi)能增加量和溫度增加量之間存在關(guān)系,理想氣體壓強(qiáng)方程P=nkT,氣體總量不變，容器體積不變，因此分子數(shù)密度n沒(méi)有變化，壓強(qiáng)增加量和溫度增加量存在關(guān)系,例3.用絕熱材料制成的一個(gè)容器，體積為2V0，被絕熱板隔成A、B兩部分，A內(nèi)儲(chǔ)存有1mol單原子分子理想氣體，B沒(méi)儲(chǔ)存有2mol剛性雙原子分子理想氣體，A、B兩部分壓強(qiáng)相等，均為P0，兩部分體積均為V0，則（1）兩種氣體各自的內(nèi)能分別為多少？（2）抽取絕熱板，兩種氣體混合后處于平衡時(shí)的溫度為多少？,1mol理想氣體內(nèi)能為,A中為單原子理想氣體，自由度為3，因此內(nèi)能為,根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程：,A中氣體的內(nèi)能為：,（1）兩種氣體各自的內(nèi)能分別為多少？,B中為雙原子剛性理想氣體，自由度為5，因此內(nèi)能為,根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程：,帶入上式得出,（2）抽取絕熱板，兩種氣體混合后處于平衡時(shí)的溫度為多少？,混合后兩種氣體溫度相同，溫度與內(nèi)能有關(guān)。因此應(yīng)從內(nèi)能入手。容器絕熱，外界沒(méi)有對(duì)氣體做功，也沒(méi)有熱傳遞。系統(tǒng)內(nèi)能量守恒。兩種氣體間存在能量轉(zhuǎn)移，但是總內(nèi)能不變。設(shè)混合后溫度為T(mén)，則混合后,A氣體內(nèi)能,B氣體內(nèi)能,混合前總內(nèi)能為：,混合后總內(nèi)能為：,混合前后內(nèi)能相同：,例4.容器內(nèi)盛有密度為r的單原子理想氣體，其壓強(qiáng)為p，此氣體分子的方均根速率為多少？單位體積內(nèi)氣體的內(nèi)能為多少？,方均根速率肯定和內(nèi)能有關(guān)，理想氣體分子平均內(nèi)能,理想氣體壓強(qiáng)公式P=nkT,怎樣將密度r和壓強(qiáng)P聯(lián)系起來(lái)？,由上式可知,（1）,代入理想氣體壓強(qiáng)公式：,n為分子數(shù)密度，即單位體積內(nèi)分子個(gè)數(shù)。m為一個(gè)分子質(zhì)量。nm即為單位體積內(nèi)氣體分子的質(zhì)量，也就是密度r。,因此，方均根速率為,（2）單位體積內(nèi)氣體的內(nèi)能為多少？,一個(gè)分子平均內(nèi)能為,單位體積內(nèi)有n個(gè)分子，內(nèi)能為,例5：已知某氣體在溫度T時(shí)的速率分布函數(shù)為，說(shuō)明下列各表達(dá)式的意義,(1)表示某氣體分子的速率在間隔內(nèi)的概率。或者說(shuō)，速率在間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,(2)表示在間隔的分子數(shù),(3)表示某氣體分子的速率在間隔內(nèi)的概率?；蛘哒f(shuō)，速率在間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,(4)表示在間隔內(nèi)的分子數(shù)。,26,例6N個(gè)質(zhì)量m的同種氣體分子，其速率分布如圖所示。(1)問(wèn)圖中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)及折線與橫坐標(biāo)所包圍的面積的含義是什么？(2)已知N、v，求a(3)求速率在v0/2到3v0/2之間的分子數(shù)(4)求分子的平均速率和平均平動(dòng)動(dòng)能,解:(1)橫坐標(biāo)表示氣體分子速率?？v坐標(biāo)表示在速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)；而Nf(v)dv表示分布在速率v-v+dv區(qū)間的分子數(shù)，對(duì)應(yīng)于折線與橫坐標(biāo)所包圍的面積。,27,(2)由圖可得分布函數(shù)為,由歸一化條件，得,所以,28,(3)所以速率在的分子數(shù)為,29,(5)求分子的平均速率和平均平動(dòng)動(dòng)能,由于,所以,30,平均平動(dòng)動(dòng)能,例7.設(shè)有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為：,（1）畫(huà)速率分布曲線；（2）由N和v0求常量a；（3）求粒子的最概然速率；（4）求N個(gè)粒子的平均速率；（5）求速率介于區(qū)間（0v0/2）的粒子數(shù)；（6）求（v0/2v0）區(qū)間內(nèi)分子的平均速率。,例8一絕熱容器，體積為2Vo，由絕熱板將其分隔成相等的兩部分A和B，如圖所示。設(shè)A內(nèi)貯有1mol的He分子的氣體，B內(nèi)貯有2mol的H2分子的氣體，A、B兩部分的壓強(qiáng)均為PO。如果把兩種氣體都看作理想氣體?，F(xiàn)在抽去絕熱板，求兩種氣體混合后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的溫度和壓強(qiáng)。,解：混合前，兩種氣體的內(nèi)能為：,因此兩種氣體的總內(nèi)能為：,33,設(shè)混合氣體的溫度為T(mén)，其內(nèi)能為：,因?yàn)榛旌锨昂髢?nèi)能不變，所以,所以,由理想氣體狀態(tài)方程可以得到壓強(qiáng)為：,34,例9：由麥克斯韋速率分布律出發(fā)，求：(1)平動(dòng)動(dòng)能介于之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；(2)平動(dòng)動(dòng)能的最概然值,解:(1)根據(jù)麥克斯韋速率分布律，速率介于之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為,由于，即,35,將，代入(1)式，得平動(dòng)動(dòng)能介于之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率,(2)由式對(duì)求極值，可得平動(dòng)動(dòng)能的最概然值,即,36,熱力學(xué),熱力學(xué),基本概念,1.熱力學(xué)系統(tǒng)（開(kāi)放、封閉、孤立系統(tǒng)）,2.熱力學(xué)過(guò)程（準(zhǔn)靜態(tài)、非準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程）,3.功,2)氣體膨脹時(shí)，表示系統(tǒng)對(duì)外界作功，,氣體壓縮時(shí)，表示外界對(duì)系統(tǒng)作功，,3)功的幾何意義：在圖上，準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程由一條曲線表示，曲線下面的面積表示該過(guò)程中系統(tǒng)所作的功。,1)對(duì)于平衡過(guò)程,38,5.摩爾熱容：1mol物質(zhì)溫度升高1k時(shí)所吸收的熱量。,6.摩爾等體熱容,7.摩爾等壓熱容,8.內(nèi)能：狀態(tài)量，只與溫度有關(guān),熱容是過(guò)程量，同一物質(zhì)不同過(guò)程中其熱容是不同的,對(duì)于理想氣體,對(duì)于理想氣體,邁耶公式,4.熱量,39,基本規(guī)律,1.熱力學(xué)第零定律：如果兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)中的每一個(gè)都與第三個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)處于熱平衡，則它們彼此處于熱平衡。,2.熱力學(xué)第一定律：第一類(lèi)永動(dòng)機(jī)不能實(shí)現(xiàn),3.熱力學(xué)第二定律：第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)不能實(shí)現(xiàn),1)開(kāi)爾文表述：不可能從單一熱源吸取熱量使之完全變?yōu)橛杏霉?，而不引起其它任何變?2)克勞修斯表述：熱量不能自動(dòng)地從低溫物體傳向高溫物體,40,熱一律的應(yīng)用，幾個(gè)重要的熱力學(xué)過(guò)程,等體,等壓,等溫,絕熱,特點(diǎn),V=C,P=C,T=C,Q=0,過(guò)程方程,Q,W,0,0,0,三種類(lèi)型問(wèn)題：,(1)當(dāng)理想氣體狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，求解各有關(guān)的物理量,(2)有關(guān)循環(huán)過(guò)程和循環(huán)效率,(3)熵變計(jì)算,功、熱量、內(nèi)能的計(jì)算,42,功、熱量、內(nèi)能的計(jì)算,（1）直接計(jì)算,計(jì)算公式,適用對(duì)象,適用條件,任何系統(tǒng),任何系統(tǒng),理想氣體,準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,始末態(tài)為平衡態(tài)，Cm=const.,始末態(tài)為平衡態(tài)，CV,m=const.,43,（2）用熱力學(xué)第一定律計(jì)算,Q=E+W,適用于任何系統(tǒng)和任何過(guò)程,44,（3）用pV圖分析,1）過(guò)程曲線與V軸所圍的面積=W,2）理想氣體等溫線上E=0,3）絕熱線上Q=0,兩條重要的參考線,45,卡諾定理：工作于相同的高溫?zé)嵩春拖嗤牡蜏責(zé)嵩粗g的一切可逆熱機(jī)，其效率都相同，與工作物質(zhì)無(wú)關(guān)。工作于兩熱源間的一切不可逆熱機(jī)的效率都不可能大于可逆熱機(jī)的效率。,循環(huán)過(guò)程和循環(huán)效率,熱機(jī)：,46,熵的計(jì)算,只適用于可逆過(guò)程,R,熵增加原理：孤立系統(tǒng)中，所自發(fā)發(fā)生的一切過(guò)程，總是朝著熵增加或不變的方向進(jìn)行。,對(duì)不可逆過(guò)程的熵變，,可以在初末態(tài)之間設(shè)計(jì)一個(gè)可逆過(guò)程，利用熵為態(tài)函數(shù)，,與過(guò)程無(wú)關(guān),通過(guò)計(jì)算可逆過(guò)程熵變得到不可逆過(guò)程熵變.,47,例1.已知一定量的理想氣體經(jīng)歷P-T圖上所示的循環(huán)過(guò)程，試分析圖中個(gè)過(guò)程的吸熱、放熱情況。,12過(guò)程中，T增加，內(nèi)能增加，V增加，對(duì)外做功，A>0因此Q>0,吸熱。,23為等溫過(guò)程，根據(jù)PV=vRT可知P增加，V減小。熱一律,13為等壓過(guò)程，根據(jù)PV=vRT,T減小，V減小。,T減小內(nèi)能減小，A<0,QT2，等容升溫過(guò)程，氣體吸熱,熵增加。,在絕熱線上,59,代入上式有,第三個(gè)過(guò)程ca是等溫放熱過(guò)程，熵一定減少,第三過(guò)程熵變?yōu)?60,(2)等容過(guò)程系統(tǒng)從外界吸熱，外界向系統(tǒng)放熱，系統(tǒng)和外界構(gòu)成絕熱系統(tǒng)，因?yàn)榻?jīng)歷的過(guò)程是可逆的，所以大系統(tǒng)的熵不變，即,(3)因?yàn)殪厥菭顟B(tài)函數(shù)，系統(tǒng)經(jīng)歷一個(gè)循環(huán)過(guò)程回到原態(tài)，故,(2)求等容過(guò)程與外界環(huán)境的總熵變是多少？(3)整個(gè)循環(huán)過(guò)程系統(tǒng)的熵變是多少？,61,例6.有1mol剛性多原子分子的理想氣體，原來(lái)的壓強(qiáng)為1.0atm，溫度為27oC，若經(jīng)過(guò)一個(gè)絕熱過(guò)程，使其壓強(qiáng)增加到16atm，試求：（1）氣體內(nèi)能的增量；（2）在該過(guò)程中氣體所作的功；（3）終態(tài)時(shí)氣體的分子數(shù)密度；,（1）氣體內(nèi)能的變化？?jī)?nèi)能只與溫度有關(guān)，考慮溫度變化。絕熱過(guò)程P和V關(guān)系,多原子分子自由度為6,內(nèi)能變化,絕熱過(guò)程溫度和體積關(guān)系,（2）在該過(guò)程中氣體所作的功；,絕熱過(guò)程Q=0,（3）終態(tài)時(shí)氣體的分子數(shù)密度；,理想氣體壓強(qiáng)方程,例7.已知:一氣缸如圖,A,B內(nèi)各有1mol理想氣體氮?dú)?AB之間有一固定導(dǎo)熱板，且VA=VB,TA=TB.有335J的熱量緩慢地傳給氣缸,活塞上方的壓強(qiáng)始終是1atm(忽略導(dǎo)熱板的吸熱,活塞重量及摩擦)。,求:(1)A,B兩部分溫度的增量及凈吸的熱量.,(2)若導(dǎo)熱隔板換成可自由滑動(dòng)的絕熱隔板,再求第(1)問(wèn)的各量。,66,【解】(1)求A,B兩部分溫度的增量及凈吸的熱量.,A:等容過(guò)程,B:等壓過(guò)程,解(1)(2)聯(lián)立，得,所以,因?yàn)楦舭鍖?dǎo)熱，,67,凈吸的熱量,溫度的增量,68,方法二:“整體法”將A,B看成一個(gè)整體,（結(jié)果相同）,69,(2)若將導(dǎo)熱隔板換成可自由滑動(dòng)的絕熱隔板,原來(lái)A,B內(nèi)各有1mol理想氣體氮?dú)?，因?yàn)閂A=VB,TA=TB所以PA=PB=1atm.,A吸熱膨脹，要推隔板,B的壓強(qiáng)略增就要推活塞,-A,B都始終保持1atm.的壓強(qiáng)。,70,A:等壓吸熱過(guò)程,B:等壓絕熱過(guò)程,由于B壓強(qiáng)不變,而且溫度也不變,所以體積也不變,B室整個(gè)向上平移.,71,例8某熱機(jī)循環(huán)從高溫?zé)嵩传@得熱量QH，并把熱量QL排給低溫?zé)嵩础ＴO(shè)高溫?zé)嵩吹臏囟葹門(mén)H=2000K，低溫?zé)嵩吹臏囟葹門(mén)L=300K，試確定在下列條件下熱機(jī)是可逆，不可逆或不可能的。(1)QH=1000J，W=900J；(2)QH=2000J，QL=300J；(3)W=1500J，QL=500J。,72,解：,不可能,可逆,不可逆,(1)QH=1000J，W=900J,(2)QH=2000J，QL=300J,(3)W=1500J，QL=500J,73,