專題一合情推理,初中階段考查合情推理的試題通常由數(shù)字規(guī)律類、圖形規(guī)律類及數(shù)形結(jié)合類等形式呈現(xiàn),無論是哪一類,本質(zhì)都是在考查觀察、分析、猜想、歸納、驗(yàn)證等諸方面能力.多年來,各地中考都非常重視這個(gè)知識(shí)的考查,安徽數(shù)學(xué)中考更是如此,幾乎每年都有這類試題.如2015年第13題,2016年第18題,2017年第19題,2018年第18題(注:本書的9個(gè)專項(xiàng)提升只追述到近4年安徽中考,不再往前贅述).分析近幾年這類試題的變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合類的試題難度較大.,類型1,類型2,類型3,數(shù)字規(guī)律類合情推理典例1(2018安徽第18題)觀察以下等式:,按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個(gè)等式:;(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式:(用含n的等式表示),并證明.,類型1,類型2,類型3,類型1,類型2,類型3,【名師點(diǎn)撥】(1)繼續(xù)實(shí)驗(yàn):原題中只寫了5個(gè)等式,如果分析后仍找不出規(guī)律,可以按照已知的5個(gè)等式的規(guī)律再寫出第6個(gè)、第7個(gè)等式,從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),有利于總結(jié)歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律;(2)檢驗(yàn)猜想:如本題歸納出猜想的等式“”后,應(yīng)該代入數(shù)字檢驗(yàn)它的正確性,即檢驗(yàn)當(dāng)“n=1,n=2,n=3”時(shí)所得等式與已知等式是否相同;(3)證明要求:在注意這類問題證明格式的特殊要求的同時(shí),還應(yīng)注意化簡(jiǎn)的原則是“化繁為簡(jiǎn)”,即左邊復(fù)雜則化簡(jiǎn)左邊,右邊復(fù)雜則化簡(jiǎn)右邊,兩邊都復(fù)雜則兩邊都化簡(jiǎn).(4)改變數(shù)據(jù):對(duì)于數(shù)字變化類合情推理試題,大多是命題者先確定一個(gè)代數(shù)式(或等式),再令“n=1,n=2,n=3,”,從而命制出試題.比如試題命制者先確定代數(shù)式n2-1,就可以寫出數(shù)據(jù)0,3,8,15,24,這時(shí)第n個(gè)數(shù)據(jù)當(dāng)然是n2-1.知道了這一點(diǎn),如果找不到規(guī)律,就可以適當(dāng)改變?cè)瓟?shù)據(jù)(最后還原),我們把這個(gè)經(jīng)驗(yàn)稱之為改變數(shù)據(jù).,類型1,類型2,類型3,圖形規(guī)律類合情推理典例2我們把正六邊形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱中心稱作如圖(1)所示基本圖的特征點(diǎn),顯然這樣的基本圖共有7個(gè)特征點(diǎn),將此基本圖不斷復(fù)制并平移,使得相鄰兩個(gè)基本圖的一邊重合,這樣得到圖(2),圖(3).,類型1,類型2,類型3,(1)觀察以上圖形并完成下表:,猜想:在圖(n)中,特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(用n表示);,類型1,類型2,類型3,(2)如圖,將圖(n)放在直角坐標(biāo)系中,設(shè)其中第一個(gè)基本圖的對(duì)稱中心O1的坐標(biāo)為(x1,2),則x1=;圖(2013)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為.,【解析】(1)用代數(shù)式表達(dá)特征點(diǎn)的個(gè)數(shù),觀察可知,用(5n+2)表示;(2)找出規(guī)律可知,圖(2013)的對(duì)稱中心是O1007,求出其橫坐標(biāo)即可.,類型1,類型2,類型3,【答案】(1)由題意可知,圖(1)中特征點(diǎn)有7個(gè);圖(2)中特征點(diǎn)有12個(gè),12=7+51;圖(3)中特征點(diǎn)有17個(gè),17=7+52;則圖(4)中特征點(diǎn)有7+53=22個(gè);由以上猜想圖(n)中特征點(diǎn)有7+5(n-1)=(5n+2)個(gè).(2)過點(diǎn)O1作O1My軸于點(diǎn)M,類型1,類型2,類型3,【名師點(diǎn)撥】繼續(xù)堅(jiān)持典例1【名師點(diǎn)撥】中的四個(gè)經(jīng)驗(yàn),這里再強(qiáng)調(diào)一點(diǎn):表格中的數(shù)據(jù)“7,12,17,22,”是結(jié)果數(shù)據(jù),不利于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,我們應(yīng)該根據(jù)圖形變化規(guī)律記錄過程數(shù)據(jù),如記為“7,7+5,7+5+5,7+5+5+5,”,這樣就容易發(fā)現(xiàn)圖(n)的特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7+5(n-1)=5n+2,我們稱之為記錄過程數(shù)據(jù).,類型1,類型2,類型3,命題拓展考向探究平面直角坐標(biāo)系中的圖形變化規(guī)律在平面直角坐標(biāo)系中,一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā),按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng),每次移動(dòng)1個(gè)單位.其行走路線如下圖所示.,(1)填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo):A1(,),A3(,),A12(,);(2)寫出點(diǎn)A4n的坐標(biāo)(n是正整數(shù));(3)指出螞蟻從點(diǎn)A100到A101的移動(dòng)方向.,類型1,類型2,類型3,【答案】(1)A1(0,1),A3(1,0),A12(6,0).(2)由題圖知,螞蟻的運(yùn)動(dòng)是以4為周期,每行走路程為4個(gè)單位時(shí),其沿x軸方向前進(jìn)2個(gè)單位,故A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0),A4n(2n,0).(3)由(2)及100=425知,螞蟻從點(diǎn)A100到A101的移動(dòng)方向是向上.,類型1,類型2,類型3,數(shù)形結(jié)合類合情推理,類型1,類型2,類型3,類型1,類型2,類型3,再根據(jù)這個(gè)規(guī)律,完成下列問題:按此規(guī)律,第n個(gè)圖形的面積為()2-2;(用含n的式子填空)比較兩個(gè)猜想,寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論并驗(yàn)證.,類型1,類型2,類型3,類型1,類型2,類型3,【名師點(diǎn)撥】了解幾個(gè)常見的規(guī)律問題,并掌握其合并方法.如:1+2+3+n=;1+21+22+23+2n=2n+1-1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1.(2018湖南張家界)觀察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,則2+22+23+24+25+22018的末位數(shù)字是()A.8B.6C.4D.0【解析】21的末位數(shù)字為2,21+22的末位數(shù)字為6,21+22+23的末位數(shù)字為4,21+22+23+24的末位數(shù)字為0,21+22+23+24+25的末位數(shù)字為2,從而發(fā)現(xiàn)周期為4,20184的余數(shù)是2,因此2+22+23+24+25+22018的末位數(shù)字與21+22的末位數(shù)字相同,為6.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.用棋子擺出下列一組圖形:按照這種規(guī)律擺下去,第n個(gè)圖形用的棋子個(gè)數(shù)為()A.3nB.6nC.3n+6D.3n+3【解析】借助圖形特點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn):第一個(gè)圖形用的棋子個(gè)數(shù)為31+3;第二個(gè)圖形用的棋子個(gè)數(shù)為32+3;第三個(gè)圖形用的棋子個(gè)數(shù)為33+3,第n個(gè)圖形用的棋子個(gè)數(shù)為3n+3.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.將一些相同的“”按如圖所示擺放,觀察每個(gè)圖形中的“”的個(gè)數(shù),若第n個(gè)圖形中“”的個(gè)數(shù)是78,則n的值是()A.11B.12C.13D.14,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.觀察下面“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律,根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a的值為()A.23B.75C.77D.139【解析】由圖可知:上邊的數(shù)與左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù),上邊的數(shù)為連續(xù)的奇數(shù),左邊的數(shù)為21,22,23,26,由此可得a,b.上邊的數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7,9,11,左邊的數(shù)為21,22,23,b=26=64,上邊的數(shù)與左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù),a=11+64=75.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.(2018山東德州)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中,用下圖的三角形解釋二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù),此三角形稱為“楊輝三角”.(a+b)01(a+b)111(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051根據(jù)“楊輝三角”,請(qǐng)計(jì)算(a+b)8的展開式中從左起第四項(xiàng)的系數(shù)為()A.84B.56C.35D.28,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,【解析】找規(guī)律發(fā)現(xiàn)(a+b)4的第四項(xiàng)系數(shù)為4=3+1;(a+b)5的第四項(xiàng)系數(shù)為10=6+4;(a+b)6的第四項(xiàng)系數(shù)為20=10+10;(a+b)7的第四項(xiàng)系數(shù)為35=15+20,(a+b)8的第四項(xiàng)系數(shù)為21+35=56.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.(2018四川綿陽)將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:1357911131517192123252729根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣中第25行的第20個(gè)數(shù)是()A.639B.637C.635D.633【解析】依題可得第25行的第一個(gè)數(shù)為1+2+4+6+8+224=1+2=601,第25行的第20個(gè)數(shù)為601+219=639.,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.觀察下列的“蜂窩圖”:則第n個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)是.(用含有n的代數(shù)式表示)【解析】根據(jù)規(guī)律,第1個(gè)圖案中有4個(gè),以后依次增加3個(gè),故第n個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)是3n+1.,3n+1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.一個(gè)小球從距地面1m高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半再落下.(1)小球第3次著地時(shí),經(jīng)過的總路程為m;(2)小球第n次著地時(shí),經(jīng)過的總路程為m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=x-1與x軸交于點(diǎn)A1,如圖所示依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,正方形AnBnCnCn-1,使得點(diǎn)A1,A2,A3,An在直線l上,點(diǎn)C1,C2,C3,Cn在y軸正半軸上,請(qǐng)解決下列問題:(1)點(diǎn)A6的坐標(biāo)是,點(diǎn)B6的坐標(biāo)是;(2)點(diǎn)An的坐標(biāo)是,正方形AnBnCnCn-1的面積是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:(1)由題意,A1(1,0),A2(2,1),A3(4,3),A4(8,7),A5(16,15),A6(32,31),An(2n-1,2n-1-1)(n為正整數(shù)).觀察圖形可知,點(diǎn)Bn是線段CnAn+1的中點(diǎn),點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是(2n-1,2n-1),B6的坐標(biāo)是(32,63).(2)由(1)得An(2n-1,2n-1-1)(n為正整數(shù)),正方形AnBnCnCn-1的面積是(2n-1)2=22n-2(n為正整數(shù)).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.觀察下列式子:20+1=12;42+1=32;86+1=72;1614+1=152;(1)請(qǐng)按規(guī)律寫出第個(gè)式子:;(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個(gè)式子,并驗(yàn)證其正確性.解:(1)3230+1=312.(2)第n個(gè)等式為2n(2n-2)+1=(2n-1)2.左邊=2n2n-2n2+1=22n-2n+1+1,右邊=(2n)2-22n1+1=22n-2n+1+1,左邊=右邊,等式成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)“數(shù)”與“形”的巧妙結(jié)合作了如下研究:,請(qǐng)寫出第六層各個(gè)圖形的幾何點(diǎn)數(shù),并歸納出第n層各個(gè)圖形的幾何點(diǎn)數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:三角形數(shù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1,2,3,第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是6,第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是n.正方形數(shù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=21-1,3=22-1,5=23-1,第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是26-1=11,第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是2n-1.五邊形數(shù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=31-2,4=32-2,7=33-2,第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是36-2=16,第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是3n-2.六邊形數(shù)前三層的幾何點(diǎn)數(shù)分別是1=41-3,5=42-3,9=43-3,第六層的幾何點(diǎn)數(shù)是46-3=21,第n層的幾何點(diǎn)數(shù)是4n-3.,