1.2.1函數(shù)的概念,初中函數(shù)的概念：,在某變化過程中，有兩個變量x、y，如果給定一個x，相應(yīng)地確定唯一的一個y值。那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。,從上面概念知道：可以用函數(shù)描述變量x，y之間的依賴關(guān)系。下面我們將進一步的學(xué)習(xí)函數(shù)及其構(gòu)成要素。首先請看這幾例子：,引例一一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過60s落到地面擊中目標(biāo)。炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間（單位：s）變化的規(guī)律是h=294t-4.9t2,思考以下問題:(1)炮彈飛行1秒、8秒、15秒、25秒時距地面多高？(2)炮彈何時距離地面最高?(3)你能指出變量t和h的取值范圍嗎?分別用集合A和集合B表示出來。(4)對于集合A中的任意一個時間t,按照對應(yīng)關(guān)系,在B中是否都有唯一確定的高度h和它對應(yīng)?,引例二近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從19792001年的變化情況,思考：,(1)能從圖中看出哪一年臭氧層空洞的面積最大？,(2)哪些年的臭氧層空洞的面積大約為1500萬平方千米？,(3)變量t的取值范圍是多少？,引例三,請問：,(1)恩格爾系數(shù)與年份之間的關(guān)系是否和前兩個事例中的兩個變量之間的關(guān)系相似？,(2)如何用集合與對應(yīng)的語言來描述這個關(guān)系？,“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況如下表：,以上三個實例有那些公共的特點？,思考,它們的關(guān)系可以描述為：,對于數(shù)集A中的每一個t，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的h和它對應(yīng)，記作：,f：AB,所以得到函數(shù)的概念：,設(shè)A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，使A的任何一個x，在B中都有唯一確定的f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作:,x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與x的值對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值。,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。,例如:(1)一次函數(shù)y=ax+b（a0）,定義域為R,值域為R,(2)二次函數(shù),例題分析,解（1）有意義的實數(shù)x的集合是x|x-3有意義的實數(shù)x的集合是x|x2所以這個函數(shù)的定義域就是,（2）,（3）因為a>0,所以f（a），f（a-1）有意義,課堂練習(xí)：P21練習(xí)1/2,問題思考,設(shè)A=1,2,3，B=1,4,8,9，對應(yīng)關(guān)系是f:平方。問對應(yīng)f:AB是否為從A到B的一個函數(shù)？這個函數(shù)的定義域是什么？值域C又是什么？一般情況下,C與B之間有關(guān)什么關(guān)系？兩個函數(shù)相等的條件是什么？,函數(shù),定義域,值域,對應(yīng)關(guān)系,值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的。,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，就知這兩個函數(shù)相等。,今后如無特別聲明，已知函數(shù)即指B為函數(shù)值域.于是函數(shù)有三要素，即：,通常用表示函數(shù)已有所反映。,例2下列函數(shù)哪個與函數(shù)y=x相等,解（1），這個函數(shù)與y=x（xR）對應(yīng)一樣，定義域不不同，所以和y=x（xR）不相等,（2）這個函數(shù)和y=x（xR）對應(yīng)關(guān)系一樣，定義域相同xR，所以和y=x（xR）相等,（3）這個函數(shù)和y=x（xR）定義域相同xR，但是當(dāng)x<0時，它的對應(yīng)關(guān)系為y=-x所以和y=x（xR）不相等,（4）的定義域是x|x0，與函數(shù)y=x（xR）的對應(yīng)關(guān)系一樣，但是定義域不同，所以和y=x（xR）不相等,課堂練習(xí)：P21練習(xí),區(qū)間的概念,滿足不等式axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a，b,設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a<b,我們規(guī)定：,滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a，b),滿足不等式ax<b或a<xb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為a，b）或（a，b,這里的實數(shù)a，b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點,實數(shù)集R可以表示為（-，+）,例3設(shè)f(x)的定義域是-1,3，值域為0,1,試求函數(shù)f(2x+1)的定義域及值域。,分析：函數(shù)f(2x+1)的自變是仍是x，不是2x+1，故應(yīng)由2x+1滿足的條件中求出x的取值范圍，進而得所求定義域；而2x+1已取遍定義域內(nèi)的每一個實數(shù)，所以值域沒有改變。解：由已知-12x+13，得-1x1。得函數(shù)f(2x+1)的定義域是-1,1，值域仍為0,1。辯：將值域?qū)懗蓎0,1行嗎？0y1呢？,例4(1)（孿生問題1）已知f(x)=x2-x+1，求f(2x+1)。(2)(孿生問題2）已知f(2x+1)的定義域是-1,3，且f(x)的定義域由f(2x+1)確定，試求f(x)的定義域。,解(1)：f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+1=4x2+2x+1。解(2)：由已知-1x3，得2x+1-1,7，又f(x)的定義域由f(2x+1)確定，故f(x)的定義域為-1,7。注:(1)f(x)意含對x的一種運算法則；(2)解題時經(jīng)常將一個變量作為整體看；(3)2x+1-1,7與-12x+17是同義句。,課堂小結(jié),一個概念，二種語言，三個要素。四項注意：1、已知函數(shù)均指由定義域到值域的函數(shù)；2、函數(shù)問題首先看定義域；3、f(x)含對x的一種操作規(guī)定；4、根據(jù)需要，常常要用整體看問題。,數(shù)學(xué)天才萊布尼茲,函數(shù)這個數(shù)學(xué)名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，以描述曲線的一個相關(guān)量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數(shù)現(xiàn)在被稱作可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)學(xué)家之外的普通人一般接觸到的函數(shù)即屬此類。對于可導(dǎo)函數(shù)可以討論它的極限和導(dǎo)數(shù)。此兩者描述了函數(shù)輸出值的變化同輸入值變化的關(guān)系，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)。,