13.4最短路徑問題,第二課時,（1）在平面內，一個圖形沿一定方向、移動一定的距離，這樣的圖形變換稱為平移變換（簡稱平移）.平移不改變圖形的形狀和大小.（2）三角形三邊的數量關系：三角形兩邊的差小于第三邊.,上節(jié)課我們認識了精通數學、物理學的學者海倫，解決了數學史中的經典問題“將軍飲馬問題”，但善于觀察與思考的海倫在解決“兩點（直線同側）一線”的最短路徑問題時他從另一角度發(fā)現了“最大值”的情況，今天我們一起來探究下.,探究一：運用軸對稱解決距離之差最大問題,活動1,回顧舊知，引入新知,探究一：運用軸對稱解決距離之差最大問題,活動2,整合舊知，探究新知,例1.如圖，A、B兩點在直線l的異側，在直線l上求作一點C，使ACBC的值最大,怎么作圖呢？,【思路點撥】根據軸對稱的性質、利用三角形三邊的關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法.此題的突破點是作點A(或點B)關于直線l的對稱點A(或B)，利用三角形任意兩邊之差小于第三邊，再作直線AB(AB)與直線l交于點C.,解：如圖1所示，以直線l為對稱軸，作點A關于直線l的對稱點A，AB的延長線交l于點C，則點C即為所求,探究一：運用軸對稱解決距離之差最大問題,回憶我們是怎么利用軸對稱的知識證明“兩點（直線同側）一線型”時AC+BC最小的嗎？試類比證明“ACBC最大”的作法是否正確性？,探究一：運用軸對稱解決距離之差最大問題,活動3,類比建模，證明新知,理由：在直線l上任找一點C(異于點C)，連接CA，CA，CA，CB.因為點A，A關于直線l對稱，所以l為線段AA的垂直平分線，則有CACA，所以CACBCACBAB.又因為點C在l上，所以CACA.又在ABC中，CACBCACBAB，所以CACBCACB.,練習點A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系，如圖所示.若P是x軸上使得|PAPB|的值最大的點，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點，請在圖中畫出點P與點Q.,【思路點撥】當點P與A、B共線時，即在線段AB的延長線上，點P為直線AB與x軸的交點，則此時P是x軸上使得|PAPB|的值最大的點，即PAPB=AB.將點A、B看成y軸同側有兩點：在y軸上求一點Q，使得QA+QB最小,探究一：運用軸對稱解決距離之差最大問題,如圖，點P與點Q即為所求.,解：延長線段AB，AB與x軸交于點P，則此時P是x軸上使得|PAPB|的值最大的點，即PAPB=AB；作點A關于x軸的對稱點A，AB的連線交y軸于點Q，則點Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點.,探究一：運用軸對稱解決距離之差最大問題,常說“遇山開路，遇水搭橋”，生活中的建橋問題與我們所學習的軸對稱有什么關系呢？如圖，在筆直河岸CD上的點A處需建一座橋，連接河岸EF，且CDEF.顯然當橋AB垂直于河岸時，所建的橋長最短.,探究二：利用平移解決造橋選址問題,活動1,結合實際，難點分解,重點、難點知識,例2.如圖，A、B兩地位于一條河的兩岸，現需要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）,探究二：利用平移解決造橋選址問題,活動2,生活中的實際問題,重點、難點知識,【思路點撥】需將實際問題抽象成數學問題：從點A到點B要走的路線是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可如圖1，此時兩線段AM、BN應在同一平行方向上，平移MN到AA，則AA=MN，AM+NB=AN+NB，這樣問題就轉化為：當點N在直線b的什么位置時，AN+NB最??？,圖1,探究二：利用平移解決造橋選址問題,重點、難點知識,如圖2，連接A，B兩點的線中，線段AB最短，因此，線段AB與直線b的交點N的位置即為所求，即在點N處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的.,圖2,作法：如圖2，平移MN到AA（或者過點A作AA垂直于河岸），且使AA等于河寬連接BA與河岸的一邊b交于點N.過點N作河岸的垂線交另一條河岸a于點M.如圖所示，則MN為所建的橋的位置,探究二：利用平移解決造橋選址問題,重點、難點知識,上述作圖為什么是最短的？請你想想.,探究二：利用平移解決造橋選址問題,活動3,幾何證明,重點、難點知識,證明：由平移的性質，得MNAA，且MN=AA，AM=AN，AMAN，所以A、B兩地的距離：AM+MN+BN=AA+AN+BN=AA+AB.如圖2，不妨在直線b上另外任意取一點N，若橋的位置建在NM處，過點N作NMa，垂足為M，連接AM，AN，NB.由平行知：AM=AN，AA=NM，則建橋后AB兩地的距離為：AM+MN+NB=AN+AA+NB=AA+AN+NB.在ANB中，AN+NBAB，AA+AN+NBAA+AB，即AM+MN+NBAM+MN+BN.所以橋建在MN處，AB兩地的路程最短.,圖2,練習如圖1，江岸兩側有A、B兩個城市，為方便人們從A城經過一條大江到B城的出行，今欲在江上建一座與兩岸垂直的大橋，且筆直的江岸互相平行.應如何選擇建橋的位置，才能使從A地到B地的路程最短？,解：(1)如圖2，過點A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬；(2)連接BC與河岸的一邊交于點N；(3)過點N作河岸的垂線交另一條河岸于點M.如圖2所示，則MN為所建的橋的位置,探究二：利用平移解決造橋選址問題,重點、難點知識,知識梳理,本堂課主要知識為兩個最值問題：（1）利用軸對稱知識解決“線段距離之差最大”問題；（2）利用平移、兩點間線段最短解決“造橋選址”問題,重難點歸納,解決線段最值問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題,（1）“距離之差最大”問題的兩種模型：如果兩點在一條直線的同側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大；如果兩點在一條直線的異側時，先作其中一點關于直線的對稱點，轉化為即可.通常求最大值或最小值的情況，常取其中一個點的對稱點來解決，而用三角形三邊的關系來推證說明其作法的正確性,重難點歸納,（2）“造橋選址”問題的關鍵是把各條線段轉化到一條線段上解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題,