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微分方程建模（動(dòng)態(tài)模型）,背景及問(wèn)題特點(diǎn)：,動(dòng)態(tài)模型目的,描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程,分析對(duì)象特征的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài),研究控制對(duì)象特征的手段,微分方程建模,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè),按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程,當(dāng)我們描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間（或空間）而演變的過(guò)程，并分析它的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)它的未來(lái)性態(tài)時(shí)，通常要建立對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型,一、簡(jiǎn)單的一階微分方程,,1、簡(jiǎn)單的微分方程應(yīng)用題,例1一個(gè)星期天，某人駕車在正午時(shí)分離開A處，下午3點(diǎn)20分到達(dá)B處。如速度計(jì)所指示的那樣，他從靜止開始，均勻地加速，當(dāng)他到達(dá)B處時(shí)，速度為60mi/h，從A到B有多遠(yuǎn)？,解：由速度計(jì)均勻加速可知，速度是時(shí)間的線性函數(shù)。又因?yàn)樗俣仁蔷嚯x關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)所以立即可得,兩邊積分得,再由題中條件可知,解得b=0，c=0，a=18，A到B的距離s=100mi,這是個(gè)簡(jiǎn)單的例子，但由此可以了解到微分方程建模的思路,一、簡(jiǎn)單的一階微分方程,例2細(xì)菌的增長(zhǎng)率與總數(shù)成正比。如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長(zhǎng)為400，那么，前12h后總數(shù)是多少？,解：第一句話說(shuō)的是任何瞬間都成立的事實(shí)；第二句話給出的是特定瞬間的信息。如果我們用y（t）表示總數(shù)，第一句話告訴我們,A，K這兩個(gè)常數(shù)可以由第二句話提供的信息計(jì)算出來(lái),它的通解為,解得,故,接下來(lái)介紹建立微分方程的若干準(zhǔn)則,二、若干準(zhǔn)則,1、以上兩個(gè)例子遵循如下模式,對(duì)于涉及一個(gè)依賴于時(shí)間t的量y的情況，建立一個(gè)給出dy/dt，y與t之間關(guān)系的方程，它在任何特定時(shí)刻t都成立，對(duì)這個(gè)方程積分，便得到一個(gè)只含y，t而不含dy/dt得新方程。這個(gè)新方程中含有積分常數(shù)，并且對(duì)任何特定的t仍然成立。問(wèn)題中給出的僅在一些特定時(shí)刻成立的信息將用來(lái)計(jì)算這些積分常數(shù)以及任何其它參數(shù)。最后，我們得到一個(gè)函數(shù)y(t)，對(duì)任何其它的t值，可立刻算出y(t)。,2、若干準(zhǔn)則,1）轉(zhuǎn)化,在實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，有許多表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如速率，增長(zhǎng)，衰變，以及邊際等?！案淖儭薄ⅰ白兓薄霸黾印?、“減少”，這些詞就是信號(hào)，注意什么在變。,二、若干準(zhǔn)則,想想你考慮的問(wèn)題是否遵循什么原則或物理定律，是應(yīng)用已知定律？還是推導(dǎo)問(wèn)題的合適結(jié)果？這些問(wèn)題的回答將直接引導(dǎo)你如何處理問(wèn)題。不少問(wèn)題遵循以下模式：,凈變化率=輸入率-輸出率,2）微分方程,微分方程是一個(gè)在任何時(shí)刻都必須正確的瞬時(shí)表達(dá)式。如果看到了表示導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵詞，你就尋找y，dy/dt，t之間的關(guān)系，可以先由文字公式入手：凈變化率=輸入率-輸出率，再變?yōu)榉匠獭?3）單位,一旦認(rèn)定那些項(xiàng)應(yīng)該列入方程，那就要注意這些項(xiàng)的單位一致。并且有些系數(shù)的單位不是自動(dòng)生成的,4）給定的條件,這是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻的信息，由這些條件可以確定方程中有關(guān)參數(shù)。,三、舉例,例3將室內(nèi)一支讀數(shù)為60的溫度計(jì)放到室外，10min后溫度計(jì)的讀數(shù)為70，又過(guò)了10min，讀數(shù)為76，利用牛頓冷卻定律計(jì)算室外溫度。,牛頓冷卻定律:將溫度為T的物體放入處于常溫m的介質(zhì)中T的變化速率正比與T與周圍介質(zhì)的溫度差。,解:由牛頓冷卻定律可知：dT/dt與T-m成比例,即,結(jié)合給定的三個(gè)條件,方程的解為：T=Aekt+m,計(jì)算出A,K,m,習(xí)題,2、結(jié)合例3，如果空氣的溫度是20且沸騰的水在20min內(nèi)冷卻到60，水溫降到30要多少時(shí)間？,3、現(xiàn)有整整4000ml10的化學(xué)溶液，一位攝影師將一只盛有40ml90的水的塑料杯浮在溶液上，試將溶液的溫度表示為時(shí)間的函數(shù)，并與例3比較,習(xí)題解答,2、解,3、解這不是周圍介質(zhì)保持常溫的情況，因此需要對(duì)例3做修改此時(shí)介質(zhì)的體積是要考慮的，因?yàn)轶w積小者變涼或熱比體積大者變涼或熱要快或明顯。物理定律：具有有限體積和不同溫度的物體相遇，熱流守恒。即,本題中V1=1oz,V2=100oz,代入上式中解得,這是一個(gè)微分方程組,三、舉例,例4某人的食量是2500cal/天，其中1200cal用于基本新陳代謝在健身訓(xùn)練中，他所消耗的大約是16cal/kg/天乘以他的體重。假設(shè)以脂肪形式儲(chǔ)存的熱量100%有用，而1kg脂肪含10000cal的熱量，求出這個(gè)人的體重是怎樣隨時(shí)間變化的。（大家先思考）,解：?jiǎn)栴}中沒(méi)有“導(dǎo)數(shù)”這樣十分關(guān)鍵的詞出現(xiàn)，但我們可以把注意力集中在最后的問(wèn)題，它指出了體重(w)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。,,問(wèn)題涉及的時(shí)間是每天，首先列出文字公式,每天重量的變化=輸入-輸出；,輸入是指：除去新陳代謝的凈重量吸收,輸出是指：訓(xùn)練中的消耗WPE,三、舉例,結(jié)合以上分析可得：每天體重的變化=凈吸收量-WPE,每天的凈吸收量=2500cal-1200cal=1300cal,每天的凈輸出=16*wcal/天,每天體重的變化：dw/dt(kg/天),由于此時(shí)單位不一致，需要將單位化為一致。,這就用到了題中最后一句話，由此可得,Kg/天=凈cal/天除以10000cal/kg,將數(shù)據(jù)代入可得,dw/dt=(1300-16w)/10000,假設(shè)初始時(shí)刻t=0，w=w0可得方程的解,三、舉例,題目中提出的問(wèn)題我們就回答了，現(xiàn)在我們?cè)倏紤]一個(gè)可能附加的問(wèn)題：“這個(gè)人體重會(huì)達(dá)到平衡嗎？”,由我們建立的微分方程我們便可以回答這個(gè)問(wèn)題：,當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)，上式第二項(xiàng)趨于0，所以w趨于1300/16,例5在一個(gè)巴基斯坦洞穴里，發(fā)現(xiàn)古人的人骨碎片，科學(xué)家將其帶回做碳14年代測(cè)定，分析表明碳14和碳12的比例僅僅是活體組織內(nèi)的6.24%，確定此人生活在多少年前？,（碳14年代測(cè)定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素碳14這種放射性碳由與宇宙射線在高層大氣中撞擊引起，經(jīng)過(guò)一系列交換過(guò)程進(jìn)入活組織中，直到在體內(nèi)達(dá)到平衡，在活體中碳14和穩(wěn)定的碳12的數(shù)量成定比。死亡后交換停止，碳14以每年8千分之一的速度減少。）,三、舉例,例5求解：我們問(wèn)題實(shí)際上是：“這個(gè)人死了多久？”。設(shè)t為死后年數(shù)，y(t)=C14/C12,則上文最后一句話給出了我們的微分方程(單位：mgC14/mgC12/yr),dy/dt=y/8000,放射性衰變的這種性質(zhì)還可以描述為“放射性物質(zhì)在任意時(shí)刻的衰變速度都與該物質(zhì)現(xiàn)存的數(shù)量成比例.C14的比例數(shù)為每年1/8000,積分后解只帶一個(gè)常數(shù)，設(shè)t=0時(shí)，y=y0即活體中C14的比例,微分方程的通解為：,題中要我們求出：,時(shí)的t,將y代入上式解得t=22400yr,三、舉例,習(xí)題結(jié)合例5，計(jì)算C14的半衰期是多少？（數(shù)量衰減到一半的時(shí)間）,解由例5可知,三、舉例,例6一只裝滿水的圓柱型桶，底面半徑為10ft，高為20ft底部有一個(gè)直徑為1ft的孔，問(wèn)桶流空要多少時(shí)間？,對(duì)孔的流速加一個(gè)假設(shè)：假設(shè)時(shí)刻t的流速依賴與此刻桶內(nèi)水的高度h(t),顯然裝滿水時(shí)要比快流空時(shí)要快，進(jìn)一步的假設(shè)無(wú)能量損失，那么當(dāng)少量水流出時(shí)，頂部減少的勢(shì)能須等于等量的水流出小孔時(shí)的動(dòng)能。即mgh=1/2mv2，則可得：v=(2gh)1/2,這是物理中的托利拆里定律，模型這樣假設(shè)看起來(lái)過(guò)于簡(jiǎn)單但至少速度依賴與高度看來(lái)是合理的，接下來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析,解：隨著水從小孔流出，桶內(nèi)水的體積不斷的減少，設(shè)A為桶的水平面積，B為孔的水平面積。,則在任意時(shí)間間隔dt內(nèi)，-Adh=Bds,ds為孔dt時(shí)間內(nèi)水流的距離,問(wèn)題是t=？時(shí)h=0。所以要求出h(t)。此時(shí)可通過(guò)上面的方程求出,三、舉例,將上面的方程改寫為：dh=-(B/A)ds,A,B可以算出但ds?,根據(jù)前面物理上的分析，將ds改為：ds=(ds/dt)dt=vdt,從而dh=-(B/A)vdt,計(jì)算出A=pi(10)2,B=pi(1/2)2,v=(2(32)h)1/2=8h1/2,解得2h1/2=[-8(1/2)2t/100]+k,由于t=0時(shí)，h=20，得k=2(20)1/2,故可以求出h=0時(shí)，t≈18h,習(xí)題8、一只底部開口面積為0.5cm2的圓錐型漏斗高為10cm，頂角為60，其內(nèi)裝滿水，水流完要多少時(shí)間？,習(xí)題解答,8、解同例6水面的改變量=洞口的流量,四、習(xí)題,,4、一滴球形雨滴，以與它表面積成比例的速度蒸發(fā)，求其體積關(guān)于時(shí)間的函數(shù),解：體積有r3決定，表面積有r2決定，V=k1r3，S=k2r2=kV2/3由題意可得：dv/dt=-cv2/3,負(fù)號(hào)說(shuō)明V減少分離變量得到V=((-ct+Q)/3)3,t=0時(shí)，V=V0.Q=V01/3,5、一只100升的水箱，盛滿了水和20g的鹽，將淡水以2升/min的速度抽入箱內(nèi)，連續(xù)的攪拌混合液，并使箱內(nèi)溶液保持在100升，問(wèn)1h后鹽的濃度稀釋了多少？,解：設(shè)鹽的數(shù)量=S，S單位時(shí)間的減少量=抽入-排出。ds/dt=(0g/L)(2L/min)-((S/100)g/min)(2L/min)=-S/50解得S=ke(-1/50)t，t=0時(shí)，S=20,解得k=20。,四、習(xí)題,6、一只水桶，內(nèi)盛有10L溶解了5g鹽的鹽水，將每升含2g鹽的鹽水以3L/min的速度灌入桶中，并攪拌均勻以同樣的速度流出a)8min后流出桶的鹽水中鹽的濃度是多少?b)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，桶內(nèi)鹽有多少？,解：記S=鹽的數(shù)量則ds/dt=流入-流出=(2g/L)(3L/min)-(s/10)g/L)(3L/min)=6-(3s/10)解得S=20(1-ce(-3t/10))，由初始條件S(0)=5,得c=3/4,四、習(xí)題,7、污染物質(zhì)的含量為2g/L的水以500L/min的速度流過(guò)處理箱。在箱內(nèi)每分鐘處理掉2%的污染物，且水被徹底搖勻。處理箱可容納10000L的水，在處理場(chǎng)開張時(shí)，箱內(nèi)裝滿純凈水，求流出的水中污染物濃度的函數(shù)？,解設(shè)p(t)=箱內(nèi)污染物的數(shù)量dp/dt=流入-流出=(2g/L)(500L/min)-(p(t)g/10000L)(500L/min)-0.02p(t)g/min解得dp/dt=1000-0.07p及p=(10000/7)(1-ce-0.07t)由t=0時(shí)，p=0，得c=1,習(xí)題解答,,9、試建立在做了葡萄糖輸液后，人體內(nèi)葡萄糖濃度的模型。當(dāng)葡萄糖輸入時(shí)，自由葡萄糖的濃度勢(shì)必下降（由于與磷化為結(jié)合所致）濃度下降的速度與葡萄糖的數(shù)量成正比。用G表示葡萄糖的濃度，A表示輸入速度(mg/min),B表示體內(nèi)液體的體積。尋求體內(nèi)的葡萄糖濃度是否以及怎樣達(dá)到平衡？,解：G(t)為葡萄糖濃度，A為葡萄糖注入速度：?jiǎn)挝籱g/min速度=輸入-輸出dG/dt=(A/V)-KG平衡狀態(tài)下G(t)不做大的變化，即dG/dt=0，此時(shí)G=A/KV。當(dāng)G>A/KV時(shí),dG/dt0.此時(shí)可求出二階導(dǎo)數(shù)，并畫出G(t)得圖像。,G(t)的解析解為：,習(xí)題解答,10、上題中有不足之處，它假設(shè)體內(nèi)液體的體積為常數(shù)，然而，由于體內(nèi)含大約4600ml的血液，輸入500ml的葡萄糖后，體積的變化是不容忽視的，如何修改上述模型？,解合理的可變體積模型：V不再是常量，記S為每分鐘注入的溶液的體積：V=V0+St在S與A之間存在一種關(guān)系：在注入的溶液中葡萄糖的濃度為常數(shù)即：A/S=常數(shù)C,此時(shí)沒(méi)有平衡狀態(tài),此時(shí)方程變?yōu)?