第十七章勾股定理,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,知識(shí)框架,本章總結(jié)提升,互逆定理,如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形,類型之一運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算或求值,本章總結(jié)提升,整合提升,勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，所以運(yùn)用勾股定理的前提條件是所給的三角形是直角三角形它把直角三角形這一“形”轉(zhuǎn)化為三邊的“數(shù)”，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想,本章總結(jié)提升,76,本章總結(jié)提升,解析在RtABC中，BC5，AC6212，根據(jù)勾股定理，得AB2BC2AC252122169，所以AB13.因?yàn)锳A6，所以ABAA13619，所以這個(gè)“風(fēng)車”的外圍周長是19476.,本章總結(jié)提升,【歸納總結(jié)】在直角三角形中，如果已知兩邊長，那么可以直接利用勾股定理求出第三邊長；若題目中的條件不能確定兩邊長，但能確定兩邊之間的關(guān)系，這時(shí)可以引入未知數(shù)，借助方程思想求解在題目中如果沒有直角三角形，那么需要通過作高或作垂線，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求解,本章總結(jié)提升,【針對(duì)訓(xùn)練】,C,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,點(diǎn)評(píng)解有關(guān)“折疊”問題時(shí)，首先要弄清楚折疊圖形的前后聯(lián)系，并與勾股定理、方程聯(lián)系起來，將待求線段與有關(guān)線段歸結(jié)到同一個(gè)直角三角形中，用勾股定理構(gòu)造方程使問題得以解決,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,類型之二操作驗(yàn)證勾股定理,勾股定理的證明方法已多達(dá)400余種(其中大部分是利用面積關(guān)系來證明的)，這些證明方法不僅驗(yàn)證了勾股定理，而且還豐富了研究數(shù)學(xué)問題的思想，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.近年來，動(dòng)手操作驗(yàn)證勾股定理的考題頻頻出現(xiàn)在各地的中考試卷中,本章總結(jié)提升,例2操作題：剪裁出若干張大小、形狀完全相同的直角三角形，三邊長分別記為a，b，c，如圖17T4.(1)拼圖一：分別用4張直角三角形紙片拼成如圖17T4的形狀，觀察圖可發(fā)現(xiàn)，圖中兩個(gè)小正方形的面積之和_(填“大于”“小于”或“等于”)圖中小正方形的面積，用關(guān)系式表示為_；,等于,a2b2c2,本章總結(jié)提升,圖17T4,本章總結(jié)提升,(2)拼圖二：用4張直角三角形紙片拼成如圖17T4的形狀，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，圖中共有_個(gè)正方形，它們的面積之間的關(guān)系是_，用關(guān)系式表示為_,3,兩個(gè)較小正方形的面積之和等于最大正方形的面積,a2b2c2,本章總結(jié)提升,解析首先認(rèn)真觀察圖形的變化，然后用圖形割補(bǔ)、拼接，由面積不變證明(1)圖中兩個(gè)小正方形的邊長分別是a，b，所以它們的面積之和為a2b2，圖中小正方形的邊長為c，所以它的面積為c2，由圖得a2b2c2.(2)圖中共有3個(gè)正方形，它們的面積之間的關(guān)系是兩個(gè)較小正方形的面積之和等于最大正方形的面積，用關(guān)系式表示為a2b2c2.,本章總結(jié)提升,【歸納總結(jié)】驗(yàn)證勾股定理常用的方法是利用圖形面積之間的恒等變形，其關(guān)鍵是通過面積之間的相等關(guān)系，將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,解：(1)如圖所示，直角梯形,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,(3)能，答案不唯一，如圖所示,本章總結(jié)提升,類型之三利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,勾股定理的逆定理是通過同一個(gè)三角形中三條線段之間的平方關(guān)系來確定線段是否垂直在應(yīng)用該定理時(shí)，若條件中的三條線段不在同一個(gè)三角形中，應(yīng)設(shè)法通過三角形全等、等腰三角形、長方形、正方形以及圖形的軸對(duì)稱變換等將它們轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中再判斷,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,解析可以根據(jù)ABE的面積和DE的長度，求出AB的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理求出C的度數(shù)是90.,本章總結(jié)提升,4.在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(ab)(ab)c2，則()AA為直角BC為直角CB為直角DABC不是直角三角形,A,解析(ab)(ab)c2，a2b2c2，即c2b2a2，故此三角形是直角三角形，a為直角三角形的斜邊，A為直角故選A.,【針對(duì)訓(xùn)練】,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,類型之四二次根式的混合運(yùn)算,勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，是根據(jù)角的度數(shù)得出了三邊的關(guān)系，是“以角定邊”；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定，是根據(jù)三角形邊的特殊關(guān)系得出直角，是“以邊定角”在解題時(shí)，不要將兩者弄混有些問題，需要綜合運(yùn)用這一組互逆定理才能解決,本章總結(jié)提升,解析先根據(jù)BCD的三邊長，判斷出BCD為直角三角形，然后在RtACD中根據(jù)勾股定理列方程求AC的長，從而求ABC的周長,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,歸納總結(jié)此題綜合應(yīng)用了勾股定理和勾股定理的逆定理勾股定理是數(shù)形結(jié)合的典范，當(dāng)知道三角形的三邊長時(shí)，一般要用勾股定理的逆定理判斷這個(gè)三角形是不是直角三角形.一定要注意最長邊所對(duì)的角為直角另外，在運(yùn)用勾股定理時(shí)，應(yīng)注意引進(jìn)未知數(shù)，列方程求解,本章總結(jié)提升,【針對(duì)訓(xùn)練】,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,類型之五勾股定理及其逆定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用,勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后建立三角形數(shù)學(xué)模型，利用直角三角形來解決問題在此過程中，有時(shí)還需要建立方程來求解勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要定理，它常應(yīng)用于生活中的直角作圖問題,本章總結(jié)提升,例5在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你能知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？,本章總結(jié)提升,解析根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示可以看出，由于甲船的航向已知，如果能求出兩船的航向所成的夾角，那么就可以知道乙船的航向了,本章總結(jié)提升,解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示BM8216(海里)，BP15230(海里)，MP34海里因?yàn)?62302342，即BM2BP2MP2，所以MBP是直角三角形，MBP90.因?yàn)榧状乇逼珫|60的方向航行，所以PBC30，即乙船沿南偏東30的方向航行,本章總結(jié)提升,【針對(duì)訓(xùn)練】,本章總結(jié)提升,解析因?yàn)槠眱r(jià)與路程成正比，故可將票價(jià)視為路程來處理，即AB10，AD8，BD6，AC12.5，CD4.5，利用勾股定理求解,本章總結(jié)提升,