第15課時(shí)等腰三角形,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,考點(diǎn)一等腰三角形1.等腰三角形的有關(guān)概念及分類有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊相等的三角形叫做等邊三角形,也叫正三角形.2.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”);(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱為“三線合一”);(3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,它有一條對(duì)稱軸.3.等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊”).,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,考點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定1.等邊三角形的性質(zhì)(1)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等,且都等于60;(2)等邊三角形的三條邊都相等,等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸.2.等邊三角形的判定(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形;(2)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形;(3)有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形.考點(diǎn)三線段的垂直平分線1.概念:經(jīng)過線段中點(diǎn),并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,也叫做中垂線.2.性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.3.判定:到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上,線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合.,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,考點(diǎn)四角平分線的性質(zhì)及判定1.性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.2.判定:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上,角的平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合.3.三角形角平分線的性質(zhì):三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,1.已知一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和8,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為()A.11B.14C.19D.14或19答案:C2.如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,A=20.線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接BE,則CBE等于()A.80B.70C.60D.50答案:C,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,3.如圖,在ABC中,C=90,AD平分CAB,AD=5,AC=4,則點(diǎn)D到AB的距離是.答案:3,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)與判定【例1】如圖,在ABC中,AB=BC,BEAC于點(diǎn)E,ADBC于點(diǎn)D,BAD=45,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證:BF=2AE;(2)若,求AD的長(zhǎng).(1)證明:ADBC,BAD=45,ABD=BAD=45.AD=BD.ADBC,BEAC,CAD+ACD=90,CBE+ACD=90.CAD=CBE.又CDA=BDF=90,ADCBDF,AC=BF.AB=BC,BEAC,AE=EC,即AC=2AE,BF=2AE.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)2等邊三角形的性質(zhì)與判定【例2】已知ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在BC,AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)求證:ABECAD;(2)求BFD的度數(shù).分析:解決等邊三角形問題時(shí),要充分利用等邊三角形三邊相等、三個(gè)角都等于60的性質(zhì).全等是解決這類問題最常見的方法.(1)證明:ABC為等邊三角形,BAC=C=60,AB=CA.在ABE和CAD中,AB=CA,BAE=C,AE=CD,ABECAD.(2)解:ABECAD,ABE=CAD.BFD=ABE+BAD,BFD=CAD+BAD=BAC=60.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,變式訓(xùn)練如圖,已知在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D,在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使CE=CD.求證:BD=DE.證明:ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60.點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn),ABD=CBD=30.CE=CD,CDE=CED.又ACB=CDE+CED=60,CED=30.CBD=CED=30.BD=DE.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)3線段的垂直平分線【例3】一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.(1)如圖,將紙片沿CE對(duì)折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)若將紙片沿直線l對(duì)折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)F處(如圖),l與BF的交點(diǎn)為Q,若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(3,2),求l的解析式.若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,2),你能確定l的解析式嗎?若能,求出其解析式;若不能,請(qǐng)說明理由.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,分析:(1)由對(duì)稱性知道,CD=CB,根據(jù)勾股定理求出OD,即可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)由垂直平分線的性質(zhì),點(diǎn)Q為BF的中點(diǎn).由中位線知識(shí)和點(diǎn)Q的坐標(biāo),可確定l上的另一點(diǎn)A.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,解:(1)根據(jù)題意,知CD=CB=OA=5.COD=90,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0).(2)過點(diǎn)Q作QMx軸于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,2)時(shí),如題圖,OM=3,MA=2,QM為FAB的中位線,FM=2,即FA=4.而AB=4,FA=AB,而l為BF的中垂線,點(diǎn)A在l上.l的解析式為y=-x+5.當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)時(shí),OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,而CB=5,CF=CB.l為BF的中垂線,點(diǎn)C在l上.l的解析式為y=-x+4.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)4角平分線的性質(zhì)和判定【例4】如圖,BEAC于點(diǎn)E,CFAB于點(diǎn)F,BE,CF相交于點(diǎn)D,若BD=CD,求證:(1)DF=DE;(2)AD平分BAC.分析:由BEAC于點(diǎn)E,CFAB于點(diǎn)F,易得BFD=CED,先證BDF與CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定條件“HL”,證明RtADF與RtADE全等,便可得證AD平分BAC.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,證明:(1)CFAB于點(diǎn)F,BEAC于點(diǎn)E,BFD=CED=90.又BDF=CDE,BD=CD,BDFCDE(AAS),DF=DE.,RtADFRtADE(HL),FAD=EAD,即AD平分BAC.,