第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì),原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì),,1/22,第四章不定積分,加法和乘法有逆運(yùn)算——減法和除法，,微分法的逆運(yùn)算——積分法。,微分法：,已知一個(gè)函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)或微分。,積分法：,求一個(gè)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)是一個(gè)已知函數(shù)。,背景：,已知速度求路程、已知加速度求速度、已知切線斜率求曲線等。,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,,例,一、原函數(shù)與不定積分的概念,定義若在I上恒有F?(x)=f(x)（即dF(x)=f(x)dx），稱F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù)。,,,問題：,(1)滿足什么條件的函數(shù)有原函數(shù)？若有，是否唯一？,(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？,(3)若原函數(shù)存在，如何求出？,,,==,定理1(原函數(shù)存在定理)：,簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,——這個(gè)定理下一章證明。,,,定理2(關(guān)于原函數(shù)的說明)：,（1）若，則對(duì)于任意常數(shù)，,（2）若和都是的原函數(shù)，,則,（為任意常數(shù)）,證,（為任意常數(shù)）,簡言之：同一函數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)必相差一個(gè)常數(shù)。,,,不定積分的定義：,函數(shù)f在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f在I上的不定積分，,不定積分與原函數(shù)是總體與個(gè)體的關(guān)系。,設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的不定積分是一個(gè)函數(shù)族{F(x)+C},寫作：,,,前面幾例可寫作：,后兩個(gè)不易直接看出，需要依賴積分法。,,,例1求,解,解,例2求,,,例3設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.,解,設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,由曲線通過點(diǎn)（1，2）,所求曲線方程為,,,不定積分的幾何意義:,的原函數(shù)的圖形稱為,的圖形,,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,,,,,,,,,,,,,的積分曲線.,每條積分曲線上，橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處的切線是平行的。,,例3,微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的:,=,=,由此可知：,+C,,+C.,,,實(shí)例,結(jié)論,既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.,二、基本積分表,,,基本積分表?,是常數(shù));,,,,,,,求不定積分的基本思想（仍然）是化繁為簡——將所求積分化為基本積分表中的積分。,解,根據(jù)冪函數(shù)的積分公式,,例4求,（恒等變形法）,,,三、不定積分的（線性）性質(zhì),例5,,,例7,例8,,,例9,例10,,,例11,例12,,,例14,例15,,,內(nèi)容小結(jié),1.不定積分的概念,?原函數(shù)與不定積分的定義,?不定積分的性質(zhì),?基本積分表(見P188),2.直接積分法:,利用恒等變形,,,及基本積分公式進(jìn)行積分.,常用恒等變形方法,分項(xiàng)積分,加項(xiàng)減項(xiàng),利用三角公式,代數(shù)公式,,積分性質(zhì),思考與練習(xí),1.證明,2.若,提示:,3.若,是,的原函數(shù),則,提示:已知,4.若,的導(dǎo)函數(shù)為,則,的一個(gè)原函數(shù),是().,提示:已知,求,即,B,?,?,或由題意,其原函數(shù)為,5.求下列積分:,提示:,6.求不定積分,解：,7.已知,求A,B.,解:等式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得,,作業(yè),習(xí)題4-1,