線段的垂直平分線,1、能夠利用尺規(guī)法作一條已知線段的垂直平分線，并能證明它的正確性。2、經(jīng)歷探索，證明線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力。3、能夠利用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理證明相關(guān)結(jié)論，理解三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。,學(xué)習(xí)目標(biāo),什么叫線段的垂直平分線？線段是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？,復(fù)習(xí)回顧,問題,怎樣做出一條線段的垂直平分線？,定義法;折紙;尺規(guī)作圖法,線段的垂直平分線的定義？,線段是軸對(duì)稱圖形么？,作法：1、分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)E、F。2、過點(diǎn)E、F作直線。則直線EF就是線段AB的垂直平分線（圖16-11）,尺規(guī)作法,為什么以“大于AB長(zhǎng)”為半徑？,思考,２、為什么這樣作出的直線EF就是線段AB的垂直平分線呢？設(shè)所作直線EF交AB于點(diǎn)O，請(qǐng)你根據(jù)三角形全等的判定定理給出證明,思考,證明：連接AE、AF、BE、BF∴AE＝BE＝AF＝BF（等圓或同圓的半徑相等）在△AEF與△BEF中∵AE＝BE（已證）AF＝BF（已證）EF＝EF（公共邊）∴△AEF≌△BEF（SSS）∴∠AEO＝∠BEO（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）在△AEO與△BEO中∵AE＝BE（已證）∠AEO＝∠BEO（已證）EO＝EO（公共邊）∴△AEO≌△BEO（SAS）∴AO＝BO（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∠AOE＝∠BOE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∵∠AOE+∠BOE＝180（鄰補(bǔ)角的定義）∴∠AOE＝∠BOE＝90（等式性質(zhì)）∴EF⊥AB（垂直定義）∴EF是線段AB的垂直平分線（線段的垂直平分線定義）性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等,０,０,,,已知：如圖16-12，直線MN經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)O，且MN⊥AB，P是MN上任意一點(diǎn)。求證：PA＝PB證明：∵M(jìn)N⊥AB（已知）∴∠AOP＝∠BOP＝90（垂直定義）在△AOP與△BOP中∵AO＝BO（已知）∠AOP＝∠BOP（已證）PO＝PO（公共邊）∴△AOP≌△BOP（SAS）∴PA＝PB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）,０,,如何證明線段的垂直平分線性質(zhì)定理的正確性？提示：要證明一個(gè)圖形上每一點(diǎn)都具有某種性質(zhì)，只需要在圖形上任取一點(diǎn)作代表,３、什么是互逆命題？你能寫出上面定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？請(qǐng)給出證明。,已知：線段AB兩端點(diǎn)A、B分別與P點(diǎn)所連的線段為AP、BP，且AP＝BP求證：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上。證明：過點(diǎn)P作PO⊥AB，垂足為點(diǎn)O∵PO⊥AB（已知）∴∠AOP＝∠BOP＝90（垂直的定義）∴△AOP、△BOP均為直角三角形在Ｒt△AOP與Ｒt△BOP中∵AP＝BP（已知）PO＝PO（公共邊）∴Ｒt△AOP≌Ｒt△BOP（HL）∴AO＝BO（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即PO是線段AB的垂直平分線（線段垂直平分線定義）∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上。,０,,逆定理：與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。,2.過點(diǎn)M、N作直線。,尺規(guī)作圖,作法：,同理探究,測(cè)量,證明,測(cè)量線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離,已知，如圖，直線MN經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)O，且MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn)。求證：,證明：∵M(jìn)N⊥AB（已知）∴∠AOP=∠BOP=90(垂直的定義)在△AOP和△BOP中AO=BO(已知)∵∠AOP=∠BOP(已證)PO=PO(公共邊)∵△AOP≌△BOP(SAS)∵PA=PB(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等),定理,線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端的距離相等。,你能寫出上述定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？,與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。,逆命題,證明,已知，如圖，AP=BP求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線直線MN上,證明：過點(diǎn)P作直線MN垂直于線段AB交AB于點(diǎn)O在Rt△AOP與Rt△BOP中∵O是AB的中點(diǎn)∴PA=PB(已知)PO=PO(公共邊)∵Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∵OA=OB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),定理,與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。,昨天，我們班趙影與楊小雪同時(shí)從家出發(fā)到學(xué)校，二人約定走路的速度一樣，結(jié)果巧合的是二人同時(shí)到達(dá)錦華飯店，然后她們一起高興的進(jìn)了教室，但在教室內(nèi)發(fā)生了如此的對(duì)話：趙影：如果不考慮我們兩家到學(xué)校間的建筑物，我們還是同時(shí)同速的話，我就比你先到學(xué)校；楊小雪：不對(duì)，應(yīng)該我先到。為此，二人爭(zhēng)的不可開交，就在這時(shí)，吳金萍插了一句：“別吵了，你們同時(shí)到?！睂?duì)于她們仨的說法，誰正確呢？,范例學(xué)習(xí),已知：如圖16-13，△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P求證：點(diǎn)P在BC的垂直平分線上,證明：連接PA、PB、PC∵點(diǎn)P在AB、AC的垂直平分線上（已知）∴PA＝PB，PA＝PC（線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等）∴PB＝PC（等式性質(zhì)）∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上（與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）發(fā)現(xiàn)新論：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。,,,,已知：如圖，△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O。求證：點(diǎn)P在BC的垂直平分線上,證明：連接OA、OB、OC，∵點(diǎn)O在AB、AC的垂直平分線上（已知）∴OA=OB、OA=OC（線段垂直平分線上的點(diǎn)于線段兩端點(diǎn)的距離相等）∴OB=OC（等量代換）∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上（與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）,已知如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長(zhǎng)為_______。,針對(duì)性訓(xùn)練,13,整理小結(jié),一個(gè)方法,證明線段相等的新方法：利用線段垂直平分線的性質(zhì)。,兩條定理,線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端的距離相等。,與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。,三種作圖,折紙;過中點(diǎn)做垂線;尺規(guī)作圖法,作業(yè),1、必做作業(yè)：（1）課本：P124習(xí)題16.2第3、4題2、選做作業(yè)：青島國(guó)際帆船中心要修建一處公共服務(wù)設(shè)施，使它到三所運(yùn)動(dòng)員公寓A、B、C的距離相等。若三所運(yùn)動(dòng)員公寓A、B、C的位置如圖所示，請(qǐng)?jiān)趫D中確定這處公共服務(wù)設(shè)施P的位置；,謝謝大家，歡迎指導(dǎo),