最小二乘法,在工程問題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來找出這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式通常把這樣得到的函數(shù)的近似表達(dá)式叫做經(jīng)驗(yàn)公式.,一、經(jīng)驗(yàn)公式,問題：如何得到經(jīng)驗(yàn)公式，常用的方法是什么？,二、最小二乘法,例1,為了測(cè)定刀具的磨損速度，我們做這樣的實(shí)驗(yàn)：經(jīng)過一定時(shí)間(如每隔一小時(shí))，測(cè)量一次刀具的厚度,得到一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：,如圖，在坐標(biāo)紙上畫出這些點(diǎn)，,因?yàn)檫@些點(diǎn)本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的，使得在處的函數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差都很小,解,就是要使偏差,都很小.,因此可以考慮選取常數(shù)，使得,定義這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)的方法叫做最小二乘法,這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.,最小來保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很小,把看成自變量和的一個(gè)二元函數(shù)，,那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù)在那些點(diǎn)處取得最小值.,即,將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把未知數(shù)和分離出來，便得,計(jì)算得,代入方程組（1）得,解此方程組，得到,這樣便得到所求經(jīng)驗(yàn)公式(回歸方程)為,由（2）式算出的函數(shù)值與實(shí)測(cè)的有一定的偏差.現(xiàn)列表比較如下：,偏差的平方和，它的平方根,我們把稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗(yàn)公式來近似表達(dá)原來函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞,例2在研究單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí)，得到下列數(shù)據(jù)：,其中表示從實(shí)驗(yàn)開始算起的時(shí)間，表示時(shí)刻反應(yīng)物的量試定出經(jīng)驗(yàn)公式,解,由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知道，應(yīng)是指數(shù)函數(shù)：,其中和是待定常數(shù).,由于,討論：,通過計(jì)算得,將他們代入方程組（3）得,解這方程組，得,因此所求經(jīng)驗(yàn)公式為,三、小結(jié),最小二乘法的原理：,注意：計(jì)算機(jī)與數(shù)據(jù)擬合（參看高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課講義郭錫伯徐安農(nóng)編）,