歡迎各位同學(xué)來(lái)到數(shù)學(xué)分析課堂！,緒論,一、什么是數(shù)學(xué),世界上任何客觀存在都有其“數(shù)”與“形”的屬性特征，并且一切事物都發(fā)生變化，遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律。,數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。（牛頓、萊布尼茲認(rèn)為數(shù)學(xué)成為研究運(yùn)動(dòng)與變化的學(xué)問(wèn)，19世紀(jì)，恩格斯提出這樣的定義）,“空間形式”必須理解為一切類(lèi)似于空間形式的形式：射影空間、非歐幾里得空間、拓?fù)淇臻g、無(wú)窮維空間的空間、微分流形,“數(shù)量關(guān)系”也要理解為一切類(lèi)似于數(shù)量關(guān)系的關(guān)系：邏輯關(guān)系、語(yǔ)法關(guān)系數(shù)學(xué)研究的是各種抽象的“數(shù)”和“形”的模式結(jié)構(gòu)。,在今天的數(shù)學(xué)中，“數(shù)”和“形”的概念已發(fā)展到很高的境地。比如，非數(shù)之“數(shù)”的眾多代數(shù)結(jié)構(gòu)，像群、環(huán)、域等；無(wú)形之形的一些抽象空間，像線性空間、拓?fù)淇臻g、流形等。,第一階段數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期（遠(yuǎn)古-公元前5世紀(jì)）：算術(shù)幾何形成時(shí)期，但它們還未分開(kāi)，彼此交織在一起，沒(méi)有形成完整、嚴(yán)格的體系，缺乏邏輯性，基本上看不到命題證明、演繹、推理。,第二階段常量（初等）數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前5世紀(jì)-17世紀(jì)中葉）：數(shù)學(xué)逐步形成了一門(mén)獨(dú)立的、演繹的學(xué)科。算術(shù)、初等幾何、初等代數(shù)、三角學(xué)都已成為獨(dú)立的分支。兩大巨著：幾何原本九章算術(shù)東西輝映，淵源流長(zhǎng)。,二、數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史：,第三階段變量（高等）數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉-19世紀(jì)中葉）：變量與函數(shù)的概念進(jìn)入數(shù)學(xué)。解析幾何、微積分、概率論、射影幾何形成。,第四階段近代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)中葉-二次大戰(zhàn)）：非歐幾里得幾何、抽象代數(shù)、復(fù)變函數(shù)論、集合論、微分幾何、微分方程論、積分方程論、點(diǎn)集拓?fù)?、組合拓?fù)洹?第五階段現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（20世紀(jì)40年代以來(lái)）：（原子能的應(yīng)用，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，空間技術(shù)的興起）廣義函數(shù)論、整體微分幾何、非標(biāo)準(zhǔn)分析、微分拓?fù)?、代?shù)拓?fù)?、代?shù)幾何、同調(diào)代數(shù)、模糊數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、分形幾何,從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué),常量數(shù)學(xué)應(yīng)用的局限性建立了日心學(xué)理論之后，17世紀(jì)的人們面臨如何改進(jìn)計(jì)算行星位置，如何解釋地球上靜止的物體保持不動(dòng)，下降的物體還落在地球上等問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的核心是物體的運(yùn)動(dòng)。帶有運(yùn)動(dòng)特征的問(wèn)題，初等數(shù)學(xué)（算術(shù)，初等代數(shù)，初等幾何，三角）無(wú)能為力。,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解析幾何，標(biāo)志為微積分。1）解析幾何的產(chǎn)生解析幾何學(xué)是借助坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門(mén)幾何學(xué)分支，也叫坐標(biāo)幾何。由法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)爾馬等人創(chuàng)建（1637年）。,變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的過(guò)程,解析幾何的發(fā)明是變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑。從根本上改變了數(shù)學(xué)的面貌，使數(shù)學(xué)從此跨入了一個(gè)嶄新的時(shí)代，即從常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，從而大大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。,2）函數(shù)概念的出現(xiàn)16世紀(jì)開(kāi)始，科學(xué)家認(rèn)為運(yùn)動(dòng)是最基本的物理現(xiàn)象，因此自然科學(xué)研究的中心問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)，各種變化的過(guò)程和變化著的量之間的依賴(lài)關(guān)系成為新的研究對(duì)象，科學(xué)家相信運(yùn)動(dòng)可以用數(shù)學(xué)來(lái)描述，于是出現(xiàn)了函數(shù)的概念。函數(shù)概念的出現(xiàn)最早在17世紀(jì)，但它的定義直到19世紀(jì)才形成，函數(shù)概念本身的發(fā)展直到現(xiàn)在還在繼續(xù)。,3）微積分的創(chuàng)立與微積分創(chuàng)立密切相關(guān)的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)角度歸納起來(lái)有四類(lèi)：1已知變速運(yùn)動(dòng)的路程（為時(shí)間的函數(shù)）時(shí)，求瞬時(shí)速度和加速度；2求已知曲線的切線；3求給定函數(shù)的最大值與最小值；4求給定曲線長(zhǎng)度；求平面曲線圍成的面積；求已知曲面圍成的體積；求物體的重心；已知變速運(yùn)動(dòng)物體的速度、加速度，求物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系。,在17世紀(jì)探索微積分的至少有十幾位大數(shù)學(xué)家和幾十位小數(shù)學(xué)家。這些前驅(qū)者對(duì)于求解各類(lèi)微積分問(wèn)題確實(shí)作出了寶貴的貢獻(xiàn)，但他們的方法仍然缺乏足夠的一般性。求切線，求變化率、求極大極小值以及求面積、體積等基本問(wèn)題，在當(dāng)時(shí)是被作為不同類(lèi)型處理的。,牛頓和萊布尼茨正是在這樣的時(shí)刻出場(chǎng)的。時(shí)代的需要與個(gè)人的才識(shí)，使他們完成了微積分創(chuàng)立中最后也是最關(guān)鍵的一步。微積分的出現(xiàn)具有劃時(shí)代意義，時(shí)至今日，它不僅成了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)各個(gè)分支必不可少的基礎(chǔ)，而且是學(xué)習(xí)近代任何一門(mén)自然科學(xué)和工程技術(shù)的必備工具。,變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義1）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，為自然科學(xué)更精確地描述物質(zhì)世界提供了有效的工具。2）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，促進(jìn)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展與嚴(yán)密。產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)分支，如解析數(shù)論，微分幾何等。解決了第一次，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，建立了極限理論，完成了實(shí)數(shù)的定義等，使數(shù)學(xué)更加嚴(yán)密。,3）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，使辯證法進(jìn)入數(shù)學(xué)。辯證法把世界現(xiàn)象看作是普遍聯(lián)系和永恒變化著的，把世界的發(fā)展看作是自身所固有的各種矛盾發(fā)展的結(jié)果。變量數(shù)學(xué)的許多概念如函數(shù)極限導(dǎo)數(shù)積分等，從哲學(xué)上講，就是辯證法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，而微積分的完善就是自身矛盾發(fā)展的結(jié)果。因此，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，為辯證法進(jìn)入數(shù)學(xué)提供了契機(jī)，并且為辯證法具有普遍性的論斷，在數(shù)學(xué)上提供了有力的證明。,植根于科學(xué)與技術(shù)之沃土，枝繁葉茂，蔭及各個(gè)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)大樹(shù),三、初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別,17世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)稱(chēng)為初等數(shù)學(xué)，研究的是常量間的代數(shù)運(yùn)算和孤立的、不變的幾何形體內(nèi)部及相互間的關(guān)系。,1637年笛卡兒引入了坐標(biāo)系，溝通了數(shù)與形之間的關(guān)系，這時(shí)數(shù)學(xué)研究的是變量和不規(guī)則的幾何形體。微積分的創(chuàng)立，使數(shù)學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)了一日千里之勢(shì)，形成了內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、高等幾何三大分支。相對(duì)于初等數(shù)學(xué)，它們稱(chēng)為高等數(shù)學(xué)。,初等數(shù)學(xué)主要采用形式邏輯法，靜止地、孤立地、一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行研究；高等數(shù)學(xué)則是以運(yùn)動(dòng)的、變化的觀點(diǎn)去研究問(wèn)題。,數(shù)學(xué)分析是一門(mén)非常重要的基礎(chǔ)理論課，它對(duì)后續(xù)課程有直接影響，關(guān)系到整個(gè)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)的成敗、關(guān)系到同學(xué)們的素質(zhì)培養(yǎng)，對(duì)同學(xué)將來(lái)從事專(zhuān)業(yè)科學(xué)研究起著非凡的作用，其核心內(nèi)容是微積分。,著名數(shù)學(xué)家柯朗說(shuō)：“微積分學(xué)，或者數(shù)學(xué)分析，是人類(lèi)思維的偉大成果之一。它處于自然科學(xué)和人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具，這門(mén)學(xué)科乃是一種憾人心靈的智力奮斗的結(jié)晶；,這種奮斗已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年之久，它深深扎根于人類(lèi)活動(dòng)的許多領(lǐng)域，并且，只要人們認(rèn)識(shí)自己和認(rèn)識(shí)自然的努力一日不止，這種奮斗就將繼續(xù)不已?！?恩格斯指出：“在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀(jì)下半葉微積分學(xué)的發(fā)明那樣被看作人類(lèi)精神的最高勝利了。”他還說(shuō)：“只有微積分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來(lái)不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過(guò)程、運(yùn)動(dòng)。”,微積分對(duì)科學(xué)技術(shù)的重要性就象望遠(yuǎn)鏡之于天文學(xué)，顯微鏡之于生物學(xué)。,微積分的創(chuàng)立，與其說(shuō)是數(shù)學(xué)史上，不如說(shuō)是科學(xué)史上的一個(gè)創(chuàng)舉。,微積分是學(xué)好其他理工課程的基礎(chǔ)，也是學(xué)好專(zhuān)業(yè)課的工具，不掌握好微積分，在科學(xué)技術(shù)的征途中將困難重重。,四、怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)分析,1、數(shù)學(xué)的特點(diǎn),（1）高度的抽象性（概念更復(fù)雜、表達(dá)形式更抽象）,“一般化和抽象是數(shù)學(xué)之最重要的功能。正是由于一般化和抽象，數(shù)學(xué)才能如此異乎尋常地有效?！?這是什么?123.8570.98888.888.8888,你以為這是數(shù)嗎？,抽象不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的特性，但數(shù)學(xué)的抽象最為典型。,這是我們以后經(jīng)常要用到的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。,（2）嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓裕ɡ碚撔愿鼜?qiáng)、推理更嚴(yán)謹(jǐn)）,“嚴(yán)格性對(duì)于數(shù)學(xué)家，就如道德之對(duì)于人?！?說(shuō)數(shù)學(xué)的精確性，不是指“把圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)兒后千位、萬(wàn)位、幾十億位”那類(lèi)事情（在強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)上，人們已經(jīng)計(jì)算到了.）而是說(shuō)數(shù)學(xué)結(jié)論的邏輯嚴(yán)格性。它不是靠實(shí)驗(yàn)千萬(wàn)次、而是邏輯推導(dǎo)！這也是科學(xué)證明與數(shù)學(xué)證明的區(qū)別！,（3）廣泛的應(yīng)用性（科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域）,愛(ài)因斯坦說(shuō)：“數(shù)學(xué)的領(lǐng)土相應(yīng)地定義為那些能被數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表達(dá)的知識(shí)的總和?！?看看如下膾炙人口的幾個(gè)事實(shí)海王星的發(fā)現(xiàn),天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)天王星的運(yùn)動(dòng)軌道與數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果有15o的誤差，引起天文學(xué)家的推測(cè)：在天王星軌道之外可能還有未知的行星在影響著天王星的運(yùn)動(dòng)。,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的觀測(cè)，天文學(xué)家們一致公認(rèn)了這顆新發(fā)現(xiàn)的星是太陽(yáng)系的第八顆大星。命名為“海王星”。,最能說(shuō)明數(shù)學(xué)在天文中的重要作用的是海王星的發(fā)現(xiàn)。海王星是在根本還沒(méi)有被人發(fā)現(xiàn)之前，僅僅憑借紙上的計(jì)算，就確定了它的運(yùn)行軌道和將要出現(xiàn)的位置，最終被發(fā)現(xiàn)的行星，所以它是科學(xué)預(yù)言的偉大勝利，在科學(xué)史上占有一席特殊的地位。,電磁波的發(fā)現(xiàn),自牛頓時(shí)代起，物理問(wèn)題就成為數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要源泉。用數(shù)學(xué)方程表示物理現(xiàn)象是許多科學(xué)大師追求的最高目標(biāo)。,麥克斯韋1864年導(dǎo)出電磁場(chǎng)方程是19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理最重要的勝利，根據(jù)對(duì)這組方程的研究，麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在。不僅給科學(xué)和技術(shù)帶來(lái)巨大的沖擊，同時(shí)也使偏微分方程威名大振。,同一個(gè)偏微分方程，在流體力學(xué)中用來(lái)描寫(xiě)流體動(dòng)態(tài)；在彈性力學(xué)中用來(lái)描寫(xiě)振動(dòng)過(guò)程；在聲學(xué)中用來(lái)描寫(xiě)聲音傳播等。還沒(méi)有哪一門(mén)科學(xué)在應(yīng)用的廣泛性上能與數(shù)學(xué)相比。,2、教學(xué)特點(diǎn),（1）課堂大,（2）時(shí)間長(zhǎng),（3）進(jìn)度快,（4）課上講，課下練,（5）不重復(fù),3、對(duì)學(xué)生的要求會(huì)學(xué)（不只是學(xué)會(huì)）,（1）預(yù)習(xí),（2）聽(tīng)講（會(huì)聽(tīng)課）,（3）記筆記,（4）復(fù)習(xí)（會(huì)看書(shū)）,（5）做作業(yè),（6）答疑（會(huì)提問(wèn)）,（7）討論,（8）學(xué)會(huì)利用圖書(shū)館,俗話說(shuō)：“學(xué)問(wèn)、學(xué)問(wèn)，有學(xué)有問(wèn)”，鄭扳橋說(shuō)：“學(xué)問(wèn)二字要拆開(kāi)看，學(xué)是學(xué)，問(wèn)是問(wèn)，今人有學(xué)而無(wú)問(wèn)，雖讀書(shū)萬(wàn)卷，只是一條鈍漢爾”。,4、參考書(shū)數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)（彭舟姬燕妮編）（共2冊(cè)）*數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（吳良森等編）（共2冊(cè)）數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（吉米多維奇）（共6冊(cè)）,5、交作業(yè)和答疑,每個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備兩個(gè)作業(yè)本，每周一交上周的作業(yè)，教師批改其中1/3。每班選出一名課代表，負(fù)責(zé)收發(fā)作業(yè)及師生之間的聯(lián)系。每周三5-6節(jié)答疑，地點(diǎn)：四教西區(qū)204。,第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù),第一節(jié)實(shí)數(shù),一、實(shí)數(shù),1、實(shí)數(shù)的無(wú)限小數(shù)表示,如:4.6789記為,34記為,4.6788999,33.999,*對(duì)于負(fù)的有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,則先將-y表示為無(wú)限小數(shù)，再在所得無(wú)限小數(shù)前加負(fù)號(hào)。,如-9.657432表示為,-9.657431999,如-6表示為,-5.9999,*規(guī)定0表示成0.000,2、實(shí)數(shù)的比較,定義1（一）兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),（1）則稱(chēng)x=y，,（2），或存在非負(fù)整數(shù)l，使,則稱(chēng)x>y或y<x。,若,（二）對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x，y，若-x=-y，則稱(chēng)x=y；若-xy或y任何負(fù)實(shí)數(shù)。,定義2（1）非負(fù)實(shí)數(shù)稱(chēng)有理數(shù),為實(shí)數(shù)x的n位不足近似，,稱(chēng)為實(shí)數(shù)x的n位過(guò)剩近似，n=0,1,2,（2）對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù),其n位不足近似與過(guò)剩近似分別規(guī)定為,注：,命題設(shè),則x>y的等價(jià)條件是：存在非負(fù)整數(shù)n，使得其中表示x的n位不足近似，表示y的n位過(guò)剩近似。,證明：見(jiàn)附錄。,例1設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，x<y.證明：存在有理數(shù)r滿足x<r<y.（此例說(shuō)明任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間，都有一個(gè)有理數(shù)）,證：,由于x<y,所以存在非負(fù)整數(shù)n,則r為有理數(shù)，且有,即x<r<y.,例2P4,習(xí)題3。,證：,矛盾！,同理可證a<b也不可能。,故a=b.,則2q2=p2，,這表明p2是偶數(shù)，p也是偶數(shù)（否則若p是奇數(shù)，則p2是奇數(shù)），,設(shè)p=2k，得q2=2k2，,于是q也是偶數(shù)，這與p/q是既約分?jǐn)?shù)矛盾。,證,3、實(shí)數(shù)的主要性質(zhì),（1）實(shí)數(shù)集對(duì)加、減、乘、除（除數(shù)不為0）封閉。,（2）實(shí)數(shù)集是有序的。,（3）實(shí)數(shù)大小關(guān)系具有傳遞性。,（4）實(shí)數(shù)具有阿基米德性。,（5）實(shí)數(shù)集具稠密性。,（6）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)。,二、絕對(duì)值與不等式,:幾何上表示點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的距離。,主要性質(zhì):,作業(yè),P4.14,