第21講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用,考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)(5年1考)1.定義如圖,在RtABC中,C=90,A為ABC中的一個銳角,A、B、C的對邊分別為a、b、c,則有:(1)A的正弦:sinA=.,(2)A的余弦:cosA=.(3)A的正切:tanA=.,夯基礎(chǔ)學(xué)易,2.特殊角的三角函數(shù)值,學(xué)法提點(diǎn)判斷所求的角是否在直角三角形中,記清楚文字表達(dá)、符號與對應(yīng)比值之間的關(guān)系即能進(jìn)行正確求解.,1.(2018德州)如圖,在44的正方形方格圖形中,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則BAC的正弦值是.,考點(diǎn)二直角三角形的邊角關(guān)系(5年4考)如圖,在RtABC中,C=90,A、B為ABC中的兩個銳角,A、B、C的對邊分別為a、b、c.,1.三邊關(guān)系:a2+b2=c2;2.兩銳角之間的關(guān)系:A+B=90;,3.邊角關(guān)系:sinA=cosB;cosA=sinB;tanA=.,學(xué)法提點(diǎn)解答這類問題時首先要注意已知的邊和角是不是直角三角形的邊和角,如果不是,則需通過輔助線構(gòu)造直角三角形,其次要分析已知和未知的關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行求解.,2.(2018金華)如圖,兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上,量得ABC=,ADC=,則竹竿AB與AD的長度之比為(B)A.B.C.D.,考點(diǎn)三解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,學(xué)法提點(diǎn)直角三角形是常見的模型,解決問題時通常要將仰角與俯角,坡度,方向角通過作輔助線放入直角三角形中,分析題中的數(shù)量關(guān)系,經(jīng)常需要方程和解直角三角形結(jié)合解決問題.,3.(2018重慶A卷,10,4分)如圖,旗桿及升旗臺的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上,旗桿與地面垂直,在教學(xué)樓底部E點(diǎn)處測得旗桿頂端的仰角AED=58,升旗臺底部到教學(xué)樓底部的距離DE=7米,升旗臺坡面CD的坡度i=10.75,坡長CD=2米,若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC=1米,則旗桿AB的高度約為(B)(參考數(shù)據(jù):sin580.85,cos580.53,tan581.6),A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米,類型三角函數(shù)的應(yīng)用,研真題優(yōu)易,例(2018山西,19,8分)祥云橋位于太原南部,該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成,全橋共設(shè)13對直線型斜拉索,造型新穎,是“三,晉大地”的一種象征.某數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“測量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項(xiàng)課題活動,他們制訂了測量方案,并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實(shí)地測量.測量結(jié)果如下表:,(1)請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù),求斜拉索端點(diǎn)C到AB的距離(參考數(shù)據(jù):sin380.6,cos380.8,tan380.8,sin280.5,cos280.9,tan280.5);(2)該小組要寫出一份完整的課題活動報(bào)告,除上表的項(xiàng)目外,你認(rèn)為還需要補(bǔ)充哪些項(xiàng)目(寫出一個即可).,命題亮點(diǎn)以項(xiàng)目性學(xué)習(xí)的形式考查利用三角函數(shù)求物體的高度,項(xiàng)目性學(xué)習(xí)的主要特征是以課題的形式出現(xiàn),并要寫活動報(bào)告.形式新穎超前,學(xué)科之間的整合項(xiàng)目性學(xué)習(xí)是一種積極的探索.解題思路(1)過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D.設(shè)CD=x米,解直角三角形表示出相關(guān)線段長度列出方程即可求出;(2)還需要補(bǔ)充的項(xiàng)目可為:測量工具,計(jì)算過程,人員分工,指導(dǎo)教師,活動感受等.,開放解答解析(1)如圖,過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D.設(shè)CD=x米,在RtADC中,ADC=90,A=38.tan38=,AD=x.在RtBDC中,BDC=90,B=28.tan28=,BD=2x.,AD+BD=AB=234,x+2x=234.解得x=72.答:斜拉索端點(diǎn)C到AB的距離為72米.(2)答案不唯一,還需要補(bǔ)充的項(xiàng)目可為測量工具,計(jì)算過程,人員分工,指導(dǎo)教師,活動感受等.,1.如圖,為保護(hù)門源百里油菜花海,由“芬芳浴”游客中心A處修建通往百米觀景長廊BC的兩條棧道AB,AC.若B=56,C=45,則游客中心A到觀景長廊BC的距離AD的長約為60米.(sin560.8,tan561.5),2.如圖,在辦公樓AB和實(shí)驗(yàn)樓CD之間有一旗桿EF,從辦公樓AB頂部A點(diǎn)處經(jīng)過旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到實(shí)驗(yàn)樓CD的底部D點(diǎn),且俯角為45,從實(shí)驗(yàn)樓CD頂部C點(diǎn)處經(jīng)過旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到辦公樓AB的G點(diǎn),BG=1米,且俯角為30,已知旗桿EF=9米,求辦公樓AB的高度.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):1.41,1.73),解析由題意可知BAD=ADB=45,FD=EF=9米,AB=BD,在RtGEH中,tanEGH=,即=,BF=GH=8米,PG=BD=BF+FD=(8+9)米,AB=(8+9)米23米.答:辦公樓AB的高度約為23米.,命題點(diǎn)一三角函數(shù)的應(yīng)用仰角、俯角問題,試真題練易,1.(2017山西,14,3分)如圖,創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一棵樹的高度AB,其中一名小組成員站在距離樹10米的點(diǎn)E處,測得樹頂A的仰角為54.已知測角儀的架高CE=1.5米,則這棵樹的高度為15.3米(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):sin54=0.8090,cos54=0.5878,tan54=1.3764).,命題點(diǎn)二三角函數(shù)的應(yīng)用坡度、坡角問題2.(2016山西,21,10分)太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點(diǎn),已成為世界各國普遍關(guān)注和重點(diǎn)發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè).如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖,其中的粗線表示支撐角鋼,太陽能電池板與支撐角鋼AB的長度相同,均為300cm,AB的傾斜角為30,BE=CA=50cm,支撐角鋼CD,EF與底座地基臺面接觸點(diǎn)分別為D,F,CD垂直于地面,FEAB于點(diǎn)E.兩個底座地基高度相同(即點(diǎn)D,F到地面的垂直距離相同),均為30cm,點(diǎn)A到地面的垂直距離為50cm,求支撐角鋼CD和EF的長度各是多少(結(jié)果保留根號).,解析如圖,設(shè)G為射線AG與線段CD的交點(diǎn).則CAG=30.在RtACG中,CG=ACsin30=50=25(cm).,由題意,得GD=50-30=20(cm),CD=CG+GD=25+20=45(cm).連接FD并延長與BA的延長線交于點(diǎn)H.由題意,得H=30.在RtCDH中,CH=2CD=90(cm),EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290(cm).在RtEFH中,EF=EHtan30=290=(cm).,答:支撐角鋼CD的長為45cm,EF的長為cm.,3.(2014山西,21,7分)如圖,點(diǎn)A,B,C表示某旅游景區(qū)三個纜車站的位置,線段AB,BC表示連接纜車站的鋼纜,已知A,B,C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi),它們的海拔高度AA,BB,CC分別為110米,310米,710米,鋼纜AB的坡度i1=12,鋼纜BC的坡度i2=11,景區(qū)因改造纜車線路,需要從A到C直線架設(shè)一條鋼纜,那么鋼纜AC的長度是多少米?(注:坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比),解析如圖,過點(diǎn)A作AECC于點(diǎn)E,交BB于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BDCC于點(diǎn)D.則AFB,BDC和AEC都是直角三角形,四邊形AABF、BBCD和BFED都是矩形.BF=BB-FB=BB-AA=310-110=200,CD=CC-DC=CC-BB=710-310=400.i1=12,i2=11,AF=2BF=400,BD=CD=400.又FE=BD=400,DE=BF=200,AE=AF+FE=800,CE=CD+DE=600.在RtAEC中,AC=1000(米).答:鋼纜AC的長度為1000米.,易錯題(2018綿陽)一艘在南北航線上的測量船,于A點(diǎn)處測得海島B在點(diǎn)A的南偏東30方向,繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時,測得海島B在C點(diǎn)的北偏東15方向,那么海島B離此航線的最近距離是(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)(參考數(shù)據(jù):1.732,1.414)(A)A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里,探難疑知易,解析如圖所示,由題意知,BAC=30,ACB=15,作BDAC于點(diǎn)D,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)、BC為邊,在ABC內(nèi)部作CBE=ACB=15,則BED=30,BE=CE,設(shè)BD=x,則AB=BE=CE=2x,AD=DE=x,AC=AD+DE+CE=2x+2x,AC=30,2x+2x=30,解得x=5.49,故海島B離地航線的最近距離是5.49海里.故選B.,答案B錯解C錯誤鑒定不能準(zhǔn)確畫出方向角導(dǎo)致出錯.,1.(2018涼山州)無人機(jī)在A處測得正前方河流兩岸B、C的俯角分別為=70、=40,此時無人機(jī)的高度是h,則河流的寬度BC為(C)A.h(tan50-tan20)B.h(tan50+tan20),C.hD.h,2.(2018濰坊,18,3分)如圖,一艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行,在A處測得島礁P在東北方向上,繼續(xù)航行1.5小時后到達(dá)B處,此時測得島礁P在北偏東30方向,同時測得島礁P正東方向上的避風(fēng)港M在北偏東60方向.為了在臺風(fēng)到來之前用最短時間到達(dá)M處,漁船立刻加速,若以75海里/小時的速度繼續(xù)航行,則小時即可到達(dá).(結(jié)果保留根號),