第2課時(shí),特殊的平行四邊形,1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系.2.探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等；菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直，以及它們的判定定理：三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì).,),1.(2017年湖北十堰)下列命題錯(cuò)誤的是(A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形C.一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形答案：C,2.(2017年湖南懷化)如圖4-3-25，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AOB60，AC6cm，則AB的,長(zhǎng)是(,),圖4-3-25,A.3cm,B.6cm,C.10cm,D.12cm,答案：A,),3.關(guān)于ABCD的敘述，正確的是(A.若ABBC，則ABCD是菱形B.若ACBD，則ABCD是正方形C.若ACBD，則ABCD是矩形D.若ABAD，則ABCD是正方形答案：C,4.(2017年四川宜賓)如圖4-3-26，在菱形ABCD中，若AC,6，BD8，則菱形ABCD的面積是_.,圖4-3-26答案：24,5.如圖4-3-27，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DEAD，連接EB，EC，DB，請(qǐng)你添加一個(gè)條件_，使四邊形DBCE是矩形.,圖4-3-27,答案：EBDC(答案不唯一),(續(xù)表),(續(xù)表),菱形的性質(zhì)與判定,例1：(2017年北京)如圖4-3-28，在四邊形ABCD中，BD為一條對(duì)角線，ADBC，AD2BC，ABD90，E為AD的中點(diǎn)，連接BE.,圖4-3-28,(1)求證：四邊形BCDE為菱形；,(2)連接AC，若AC平分BAD，BC1，求AC的長(zhǎng).,思路分析(1)先證四邊形BCDE是平行四邊形，再證其為,菱形；,(2)利用等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，即可求解.(1)證明：如圖4-3-29，E為AD中點(diǎn)，AD2BC，BC,ED.,圖4-3-29,ADBC,四邊形BCDE是平行四邊形.ABD90，AEDE，BEED.四邊形BCDE是菱形.,(2)解：連接AC，如圖4-3-29.ADBC，AC平分BAD，,BACDACBCA.BABC1.,【試題精選】,1.(2016年山東濱州節(jié)選)如圖4-3-30，BD是ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ED，DG.請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說(shuō)明理由.,圖4-3-30,解：(1)四邊形EBGD是菱形理由如下：EG垂直平分BD，EBED，GBGD.EBDEDB.EBDDBC，EDFGBF.在EFD和GFB中，,EFDGFB(ASA)EDBG.BEEDDGGB.四邊形EBGD是菱形,2.(2016年貴州安順)如圖4-3-31，在ABCD中，BC2AB,4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn).,(1)求證：ABECDF；,(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，求出該菱形的面積.,圖4-3-31,(1)證明：在ABCD中，ABCD，BCAD，ABC,CDA，,BEDF.ABECDF(SAS),(2)解：四邊形AECF為菱形時(shí)，AEEC.又點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，BEEC，即BEAE.,名師點(diǎn)評(píng)菱形的性質(zhì)可以用于證明線段相等、角相等、直線平行、垂直等，常與三角形全等、勾股定理、方程相結(jié)合進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算與證明.,矩形的性質(zhì)與判定,例2：(2017年江蘇徐州)如圖4-3-32，在ABCD中，點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，EC.,圖4-3-32,(1)求證：四邊形BECD是平行四邊形；,(2)若A50，則當(dāng)BOD_時(shí)，四邊形BECD,是矩形.,思路分析(1)由AAS證明BOECOD，得出OE,OD，即可得出結(jié)論；,(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出BCDA50，由三角形的外角性質(zhì)求出ODCBCD，得出OCOD，證出DEBC，即可得出結(jié)論.,(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，ABDC，ABCD.OEBODC.,又O為BC的中點(diǎn)，,(2)解析：若A50，則當(dāng)BOD100時(shí)，四邊形,BECD是矩形.理由如下：,四邊形ABCD是平行四邊形，BCDA50.,BODBCDODC，,ODC1005050BCD.OCOD.,BOCO，ODOE，DEBC.,四邊形BECD是平行四邊形，四邊形BECD是矩形.答案：100,【試題精選】3.(2017年山西)如圖4-3-33，將矩形紙片ABCD沿BD折疊，得到BCD，CD與AB交于點(diǎn)E.若135，則2的度,數(shù)為(,),圖4-3-33,A.20,B.30,C.35,D.55,答案：A,4.(2015年山東聊城)如圖4-3-34，在ABC中，ABBC，BD平分ABC.四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE.,求證：四邊形BECD是矩形.,圖4-3-34,證明：ABBC，BD平分ABC，BDAC，ADCD.,四邊形ABED是平行四邊形，,BEAD，BEAD.BECD，BECD.四邊形BECD是平行四邊形BDAC，BDC90.四邊形BECD是矩形,名師點(diǎn)評(píng)矩形的四個(gè)角為直角，常將矩形轉(zhuǎn)化為直角三角形；矩形的對(duì)角線將矩形分成四個(gè)等腰三角形，這些思路及矩形性質(zhì)是證明線段、角相等以及線段平行、垂直的重要依據(jù).,正方形的性質(zhì)與判定,例3：(2017年湖南懷化)如圖4-3-35，四邊形ABCD是正,方形，EBC是等邊三角形.(1)求證：ABEDCE；(2)求AED的度數(shù).,圖4-3-35,(1)證明：四邊形ABCD是正方形，EBC是等邊三角形，BABCCDBECE，ABCBCD90，EBCECB60.ABEDCE30.在ABE和DCE中，,ABEDCE(SAS).,(2)解：BABE，ABE30，,BAD90，,EAD907515.同理可得ADE15.AED1801515150.,【試題精選】5.(2016年貴州畢節(jié))如圖4-3-36，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.,),若BEEC21，則線段CH的長(zhǎng)是(圖4-3-36,A.3,B.4,C.5,D.6,答案：B,解題技巧與正方形有關(guān)的計(jì)算及推理題常與三角形的全等、勾股定理、方程、三角函數(shù)相聯(lián)系，有關(guān)正方形的判定方法較多，一般在矩形、菱形的基礎(chǔ)上，從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方向進(jìn)一步分析、判斷與證明.,1.(2017年廣東)如圖4-3-37，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)F，連接BF，下列結(jié)論：SABFSADF；SCDF4SCEF；SADF2SCEF；SADF,2SCDF，其中正確的是(,)圖4-3-37,A.,B.,C.,D.,答案：C,2.(2016年廣東)如圖4-3-38，正方形ABCD的面積為1，則,),以相鄰兩邊中點(diǎn)連接EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為(圖4-3-38,答案：B,3.(2015年廣東)如圖4-3-39，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，ABC,60，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是_.,圖4-3-39,答案：6,4.(2015年廣東)如圖4-3-40，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG.,(1)求證：ABGAFG；(2)求BG的長(zhǎng).,圖4-3-40,解：(1)在正方形ABCD中，ADABBCCD，DBC90.將ADE沿AE對(duì)折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.,ABGAFG(HL),(2)由(1)，得BGFG.設(shè)BGFGx，則GC6x.E為CD的中點(diǎn)，CEEFDE3.EG3x.在RtCEG中，32(6x)2(3x)2.解得x2.BG2.,5.(2017年廣東)如圖4-3-41，已知四邊形ABCD，ADEF都,是菱形，BADFAD，BAD為銳角.,(1)求證：ADBF；,(2)若BFBC，求ADC的度數(shù).,圖4-3-41,(1)證明：如圖D24，連接DB，DF.,圖D24,四邊形ABCD，ADEF都是菱形，,ABBCCDDA，ADDEEFFA.在BAD與FAD中，,BADFAD.DBDF.D在線段BF的垂直平分線上ABAF，A在線段BF的垂直平分線上AD是線段BF的垂直平分線ADBF.,(2)解：如圖D25，設(shè)ADBF于H，作DGBC于G，則,四邊形BGDH是矩形，,圖D25,BFBC，BCCD，,