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1、第一節(jié)第一節(jié) 問題的提出問題的提出第二節(jié)第二節(jié) 矢量的基本運算矢量的基本運算第三節(jié)第三節(jié) 坐標變換及張量的定義坐標變換及張量的定義自然法則與坐標無關(guān)，坐標系的引入方便自然法則與坐標無關(guān)，坐標系的引入方便分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)；分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)； 坐標系引入后的相關(guān)表達式冗長坐標系引入后的相關(guān)表達式冗長 引入張量方法引入張量方法 A A1 指標符號指標符號),(n21ixi下標符號下標符號 i 稱為指標；稱為指標；n 為維數(shù)為維數(shù)指標指標 i 可以是下標，如可以是下標，如 xi 也可以是上標，如也可以是上標，如 xi nxx ,x21記作記作指標的取值范圍如不作說明，均表示從指標的取值

2、范圍如不作說明，均表示從13定義這類符號系統(tǒng)為指標符號，一般采用下標定義這類符號系統(tǒng)為指標符號，一般采用下標 xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, wzzyzxyzyyxxzxyx333231232221131211ij321ji ),(一若干約定一若干約定 啞標和自由標啞標和自由標 1. Einstein求和約定求和約定 凡在某一項內(nèi)，凡在某一項內(nèi)，重復(fù)一次且僅重復(fù)一次重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的的指標，表示對該指標在它的取值范圍內(nèi)求和，指標，表示對該指標在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這樣的指標為并稱這樣的指標為啞指標啞指標。

3、如：。如： n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa ),(又如：又如： zyx332211jjii重復(fù)不止一次的指標，求和約定失敗重復(fù)不止一次的指標，求和約定失敗 求和約定僅對字母指標有效，如求和約定僅對字母指標有效，如 同一項內(nèi)二對啞標應(yīng)使用不同指標，如同一項內(nèi)二對啞標應(yīng)使用不同指標，如 31i31ijiijjiijxxaxxaz331234啞標可以換用不同的字母指標啞標可以換用不同的字母指標2.2.求導(dǎo)記號的縮寫約定求導(dǎo)記號的縮寫約定 jijijjxuux, ) () (22,( )( ) ijk ijijijuux xx x k3.3.自由標自由標 定義：凡在同一項內(nèi)不重

4、復(fù)出現(xiàn)的指標。如定義：凡在同一項內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標。如 jijibxaj 為自由標為自由標 j=1 1313212111bxaxaxa同一個方程中各項自由標必須相同同一個方程中各項自由標必須相同 不能改變某一項的自由標，但所有項的不能改變某一項的自由標，但所有項的自由標可以改變自由標可以改變 12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：二二克羅內(nèi)克（克羅內(nèi)克（Kronecker-）符號）符號 定義定義： jijiij當當01由定義由定義 111213212223313233100010001ijIjiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxd

5、xdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性質(zhì)：性質(zhì)： jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3,三三Ricci 符號符號 kjie定義：定義： 011ekji即：即：011113112111321132213312231123eeeeeeeee共共27個分量，亦稱為排列符號、置換符號個分量，亦稱為排列符號、置換符號 ki ji jkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA)A(aa

6、aeaaaeaaaaaaaaakjikjikjikji71 321321322311332112312213-恒等式恒等式 )(81Aeet is jt js it skjik由此得由此得 633ee23eejjkjjkkkjjkjikjiskkskskjjsksjjsjikjiA A2 矢量的基本運算矢量的基本運算 ia分量矢量 a標方向的單位矢量） ( 個坐基矢量3 e e e321) 12( 33221Aaaaaiieeeea1說明說明任意矢量可以表示為基矢量的線性組合任意矢量可以表示為基矢量的線性組合 12基矢量不是唯一的基矢量不是唯一的 1.1.點積點積 基矢量點積基矢量點積 )22

7、( A ijjiee 任意兩矢量的點積任意兩矢量的點積 3)2( A babababajjiiijjijijieeba1212.叉積叉積 基矢量的叉積基矢量的叉積 )A( ekji42 kjieee由于由于 kjkieeeekjki ktt321jieeeeeeeekjitjisjr itsrjjjiiieee321321特別地：特別地： 33k21eeeee12312eekkjikjiaaaeaaaaaaaaaA321333231232221131211（比較：（比較：） 兩個任意矢量的叉積兩個任意矢量的叉積 ) 52(A baeebababajikjikjijijijic eeeeeeba

8、kkjiji23.混合混合積積 基矢量混合積基矢量混合積 )72( )(Aeeekjikrr jir jikrkjieeeee故也有定義故也有定義 )()(kjikjieeeeeekjie1 矢量混合積矢量混合積 () ( 26)i jkijri jkijrkri jkijkeabceab c eab cAkrabcee表示的是以表示的是以 為邊長的平行六面體的體積。為邊長的平行六面體的體積。 cb,a,24.4.并矢（并乘）并矢（并乘） 定義：定義： jijieeeeabjijibaba展開共展開共9項，項， 可視為并矢的基可視為并矢的基 ije ejiba為并矢的分解系數(shù)或分量為并矢的分解

9、系數(shù)或分量 A A3 坐標變換坐標變換 與張量的定義與張量的定義 2x2x1x1x2x1x1x2x2e1e1.平面笛卡兒坐標系旋轉(zhuǎn)變換平面笛卡兒坐標系旋轉(zhuǎn)變換1ee22x2x1x1x2x1x1x2x),j ,i ()cosji21 (jie ,e令：cossinsincosji)cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e則：1e2ee21e)( 21212212211121xxxxxxji于是： 21212221121121xxxxxxTji同樣：21121 xxxxji）式得由（1 :jiTji比較ji為正交矩陣為正交矩陣引用指標符號：引用指標符號

10、：jj iixxjjiixx由由kkjijjjiixxx又又ikkjijkikixx 討論討論: :上式的幾何意義上式的幾何意義說明說明 1基矢量具有與坐標分量相同的變換規(guī)律基矢量具有與坐標分量相同的變換規(guī)律jijieeeeijji2矢量的分量也具有與坐標分量相同的變換矢量的分量也具有與坐標分量相同的變換規(guī)律規(guī)律jijijjiivvvv2x2x1x1x2x1x1x2x1e2ee21e2. 三維情況三維情況jiijjijieeee 考慮一位置矢量考慮一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxcosx)(ije ,ejjiixx同理同理jijixx同二維問題，可得同二維問

11、題，可得ikkjij（正交性）（正交性）可試證：可試證：kijkji3. 張量定義張量定義 定義：在坐標變換時，滿足如下變換關(guān)系定義：在坐標變換時，滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量的量稱為張量lkjillkkjjiiijklijklkkjji ilkji自由標數(shù)目自由標數(shù)目n張量的階數(shù)；對于三維空間，張量的階數(shù)；對于三維空間，張量分量的個數(shù)為張量分量的個數(shù)為3n個，變換式也有個，變換式也有3n個。個。采用并矢記號（不變性記法或抽象記法）采用并矢記號（不變性記法或抽象記法） ()ijklijkle e e e可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）討論討論 ijk

12、 lTTijklTe ee e12上述表達式具有不變性特征；上述表達式具有不變性特征；張量分量張量分量 與坐標系有關(guān)；與坐標系有關(guān)；ijT3 在坐標變換時遵循相同的變換規(guī)律在坐標變換時遵循相同的變換規(guī)律ijT 符合符合 ,為一新張量為一新張量A A4 張量代數(shù)張量代數(shù) 以二階張量為例說明以二階張量為例說明1. 加減法加減法 只有同階張量才能加減，仍為同階張量只有同階張量才能加減，仍為同階張量如：張量如：張量 A,BjijijijieeeeBeeeeAjiijjiijBBAAeeeeBAjijiijijijT)BA( ijklijkle e e e另證：另證： )( jji iijijjji i

13、jijiijjji ijiijjji ijiBABABBAA jiTijT 符合符合 ,為一新張量為一新張量ijklkkjjiilkji交換律：交換律：結(jié)合律：結(jié)合律：ABBACBACBA)()(2.矢量與張量的點積矢量與張量的點積 ijiTaijiTe eae12左點乘：左點乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右點乘右點乘 :kiikjieeeeeeaTkiijjikjkjiTaaTaTa)()(Tkj i時相等只有一般jiijTT, aTTa3.矢量與張量的叉積矢量與張量的叉積左叉乘左叉乘 A krkrkjieeeeeeeTakjirjirjikjikji

14、TaeeTa)T()a(12右叉乘右叉乘 BeeeeeeeaTriikjikjirkjrrkjkjikjiaTeeaTaT)()(aTTa 一般4. 張量與張量的點積張量與張量的點積SeeeeeeeeeeeeeeBAtsjitsjitsrkjitskkjirktsrkjitsrkjiBABABA)()(兩個張量點積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)兩個張量點積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減是原兩個張量的階數(shù)之和減2。 5. 張量的雙點積張量的雙點積tititsrkjieeeeeeeeeeBAtjkjkiskjrstrjkistrjkiBABABA)( : )(:兩個張量雙點積的

15、結(jié)果仍為張量，新張量的階兩個張量雙點積的結(jié)果仍為張量，新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減4。 6. 張量的雙叉乘張量的雙叉乘tnmitnmitsrkjieeeeeeeeeeeeeeBArstjkiksnjrmksnstrjrmjkistrjkiBAeeeBeA)B()A( 兩個張量雙叉乘的結(jié)果仍為張量，新張量的階兩個張量雙叉乘的結(jié)果仍為張量，新張量的階數(shù)為原兩個張量的階數(shù)之和減數(shù)為原兩個張量的階數(shù)之和減2。 7. 張量縮并張量縮并jieejiA A對對A進行縮并進行縮并 332211i ijijijiAAAAAA jieeA將其中的二個基矢量點乘，得到比原張量低二階

16、將其中的二個基矢量點乘，得到比原張量低二階的新張量。二階張量相當于將對角元素求和，高的新張量。二階張量相當于將對角元素求和，高階張量相當于分量的某兩個指標相同。階張量相當于分量的某兩個指標相同。8. 指標置換 kjieeekjiA A若對該張量的分量中任意兩個指標交換次序，得到若對該張量的分量中任意兩個指標交換次序，得到一個與原張量同階的新張量。如：一個與原張量同階的新張量。如： kjikjieeeeeekjiki jBA 指標置換也可以通過交換相應(yīng)的基矢量位置來得到。指標置換也可以通過交換相應(yīng)的基矢量位置來得到。 kjikjikijeeeeeeeeekjiki jkjiBAA 9. 對稱化和

17、反稱化 對于二階張量：對于二階張量：i jjiTT 對稱，有對稱，有6個獨立分量個獨立分量 i jjiWW反對稱，有反對稱，有3個獨立分量個獨立分量 高階：對稱形式多樣高階：對稱形式多樣 ikjlijklEE關(guān)于關(guān)于j, ,k對稱的四階張量對稱的四階張量jikijkBB關(guān)于關(guān)于j, ,i反反對稱的三階張對稱的三階張量量對稱化：對稱化：對稱jijii jjijiTTAA21T ),(反對稱化：反對稱化：反對稱jijii jjijiTTAA21T ),(10.10.商法則商法則階張量的分量是（則：若有：階張量的分量是階張量的分量是設(shè)：) nmABACnBmCn21m21n21n21m21m21n2

18、1m21jjjiiijjjjjjiiiiiijjjiii證明證明next證明證明:)( ) ( )( 11111111111111111111nnnnmmmnnmmmmmmmnnmmjjljl jllkkkikillllkkkikikkkikiiijjjjiiiiBABACCBAC又：任意性），且）與（比較（n1jjBnmnnmmnmllkkljljkikijjiiAA11111111 舉例舉例A A5 二階二階張量張量 二階張量也稱仿射量，它相當于一個方矩陣，二階張量也稱仿射量，它相當于一個方矩陣，在向量空間，類似線性變換算子的作用。如：在向量空間，類似線性變換算子的作用。如： ueeeee

19、viikji ijjikjiuvBvBBjijvB結(jié)果為一矢量，分量為 B的作用如同一個算子，將空間內(nèi)一個向量的作用如同一個算子，將空間內(nèi)一個向量變換成另一個向量?；蛘哒f變換成另一個向量?；蛘哒fB能把一個向量空間能把一個向量空間映射為另一向量空間。映射為另一向量空間。 baba BBB)(B 是一個線性算子是一個線性算子1.1.轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置定義：定義：jijieeeei jTjiBB TB為反對稱張量即如果為對稱張量即如果B B,BB B,BTT jiijjiijBBBBjieeBjiB對于:性質(zhì)：性質(zhì)：T1TTT)(B)(BB)(BAB)(ABBBAB)(A1TTTTTTT aaabba TBB

20、2.仿射量的逆 IBB1 jijkkiBB1性質(zhì)：性質(zhì)：II1111BAA)(B 1BB)( 11定義：定義：3.對稱仿射量的主向和主值 對于仿射量對于仿射量B，若存在三個相互垂直的方，若存在三個相互垂直的方向向i，其映象，其映象 Bi，B，B也相互也相互垂直，則稱該三個方向為垂直，則稱該三個方向為B的主向。的主向。 定義：定義： 對稱仿射量對稱仿射量 T 必存在三個主向和三個相應(yīng)必存在三個主向和三個相應(yīng)的主值。主值的主值。主值S滿足如下特征方程。滿足如下特征方程。 0IIIIII23SSS 其中，其中，稱為仿射量稱為仿射量T的第一、第的第一、第二、第三不變量二、第三不變量 333231232

21、221131211333113113332232222211211332211IIIIIITTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT由特征方程由特征方程 可求解出可求解出三個主值為：三個主值為： 0IIIIII23SSSI31)32sin(32I31sin32I31)32sin(32321eSeSeSjijiTqeeqI31III3166,233arcsin31223 其中，其中， 4. 各向同性張量 定義：定義：在坐標任意變換時，各分量保持不變的張量，稱為各向同性張量。 性質(zhì)：性質(zhì)：零階張量零階張量(即標量即標量)總是各向同性的?？偸歉飨蛲缘?。 一階張量一階張量(即矢量即矢量)總不是

22、各向同性的?？偛皇歉飨蛲缘?。 對于對稱二階張量，必存在三個主向和主值，如對于對稱二階張量，必存在三個主向和主值，如果其三個主值相等，即果其三個主值相等，即3，則，則是各向同性的。是各向同性的。 123TT j ijjjjjijieeeeeeeeeejijijiT因為：因為：jijijijiTT因此：因此：4可以證明：四階各向同性張量有可以證明：四階各向同性張量有 kjl il jkilkjilkjiAT 是各向同性的是各向同性的A A6 張量分析張量分析一一 .梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度力學中：力學中：幾何方程與位移場的梯度有關(guān)幾何方程與位移場的梯度有關(guān)轉(zhuǎn)動量與位移場的旋度有關(guān)轉(zhuǎn)動量與

23、位移場的旋度有關(guān)平衡方程與應(yīng)力場的散度有關(guān)平衡方程與應(yīng)力場的散度有關(guān)1、哈密頓、哈密頓(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子) 梯度、散度、旋度均涉及到梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子算子,可以表可以表示為示為:iixiiee 可以證明可以證明, Hamilton算子具有張量的屬性算子具有張量的屬性,相當相當于一階張量。于一階張量。2、梯度、梯度 1標量場標量場 iei321gradxxx,),( 為一階張量矢量為一階張量矢量 2張量場張量場 jieeijA A（1）左梯度）左梯度kjiijkkjjkiiAAeeeeee,A （2）右梯度）右梯度高一階的張量場 ikjijk

24、ikjjkiAAeeeeee,A AA 一般3、散度、散度 1矢量場矢量場 ueeji jijjuu,divu為一標量為一標量2張量場張量場 （1）左散度）左散度kkkjieeeeejjkijijkjkiAAA,A （2）右散度）右散度kjjikjeeeeeejkjkjkkiijkjkiAAAA,A 4、旋度、旋度 1矢量場矢量場 ueeeeeeeeujijik321 jijijikji321uuueuuuzyxcurjiee 2張量場張量場 （1）左旋度）左旋度jikrkrkjieeeeeeeeej,rkikrk,ijrjir jik,ijkjiAeAeeAA A（2）右旋度）右旋度jiij

25、rjikjeeeeeeeeek,rijrkk,rji rkk,ijr ikkjiAeAeAeA AAA 一般二二. 高斯高斯Gauss公式公式SipjkVipjkdsnTdvT.,.式中，式中，S S是空間體積的封閉邊界面，是空間體積的封閉邊界面，n ni i為邊為邊界面界面S S的外法向方向余弦。的外法向方向余弦。 ,SijVijdsnAdvA ,SiVidsndv SVdsdvn ,SjjVjjdsnAdvA SVdsdvAnA討論：討論：1、標量場、標量場2、矢量場、矢量場推廣到任意階張量的情形：推廣到任意階張量的情形： ,SlkjiVlkjidsnAdvA其不變性記法為其不變性記法為

26、: : SVdsdvAnA稱為廣義高斯公式，或稱散度定理。稱為廣義高斯公式，或稱散度定理。 3 ,SikjiVikjidsnAdvAA A7 曲線坐標中的曲線坐標中的張量分析張量分析1、曲線坐標、曲線坐標 1x3x2xop1x2x3x3gr2g1g坐標變換：坐標變換：),(321iixxxfx 逆變換：逆變換：),(321iixxxgx 上述變換一一對應(yīng)的充要條件是：上述變換一一對應(yīng)的充要條件是：* fi，gi 為單值連續(xù)可微函數(shù)為單值連續(xù)可微函數(shù)*在域內(nèi)任意點處：在域內(nèi)任意點處：0 xxJji11 JJxxxxxxxxjrrijrrij i?0 xxJ0Jii1 ,有當可以調(diào)整可以調(diào)整 的次

27、序，使的次序，使J0 ，稱為正常容許變換，稱為正常容許變換 i滿足以上二個條件，稱為容許變換滿足以上二個條件，稱為容許變換因為因為2、局部基矢量、局部基矢量 在笛卡兒坐標系，空間任意向量在笛卡兒坐標系，空間任意向量(張量張量)都可以都可以在基上分解。這種做法可進行兩種不同的解釋：在基上分解。這種做法可進行兩種不同的解釋： 1. 1. 固定在原點固定在原點ie2. 2. 在每個考察點上在每個考察點上此處此處 僅表明方向的作用僅表明方向的作用在曲線坐標系，我們采用第二種做法在曲線坐標系，我們采用第二種做法ieie定義定義：切向量：切向量 iiieergiiiiixx)(xxx 作為該點的局部基，也

28、稱作為該點的局部基，也稱自然基自然基為書寫方便，曲線坐標也不帶撇為書寫方便，曲線坐標也不帶撇一般：一般： 不是單位矢量，大小和方向隨考察點而變不是單位矢量，大小和方向隨考察點而變ig定義：定義：)(jijig jijieegg類比1x3x2xop1x2x3x3gr2g1g對于正交曲線坐標系對于正交曲線坐標系 332211jig000g000ggjig稱為度量張量稱為度量張量例例1 求圓柱坐標系的自然基和度量張量。求圓柱坐標系的自然基和度量張量。 cosrx sinry zz 解：解：33212211321ergeergeergeeer zrrrzrrcossinsincossincos 100

29、0r00012jig例例2 球球坐標系坐標系),(r21332123211321eergeeergeeergeeercossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossincossinsincossinrrrrrrrrr 222sin0000001rrjigcossinsincossinrzryrx 笛卡兒坐標系中關(guān)于張量的定義和張量的運笛卡兒坐標系中關(guān)于張量的定義和張量的運算等，可以推廣到曲線坐標系，如：算等，可以推廣到曲線坐標系，如： kjigggkjiA A這時的基矢量這時的基矢量 及變換系數(shù)及變換系數(shù) 是空間點位置的函是空間點位置的函數(shù)數(shù)i iig自然基矢量

30、自然基矢量 量綱為量綱為1的單位矢量的單位矢量iiggi iiig1g1e 對于正交曲線坐標對于正交曲線坐標ijjiee 這樣定義的局部標架與笛卡兒直角標架相當，稱這樣定義的局部標架與笛卡兒直角標架相當，稱這種正交單位標架為這種正交單位標架為物理標架物理標架，或稱，或稱物理基物理基。 例例1 圓柱坐標系的物理基為圓柱坐標系的物理基為 321321eeeggg10000r1eee321cossinsincos例例2 球坐標系的物理基為球坐標系的物理基為 321321eeeggg0r1r1eee321cossinsinsincoscoscoscossinsincossinsin3、張量對曲線坐標的

31、導(dǎo)數(shù)、張量對曲線坐標的導(dǎo)數(shù) (1) (1) 曲線坐標系的曲線坐標系的Hamilton算子算子 以標量場以標量場 為對象（在曲線坐標中）為對象（在曲線坐標中）的長度為沿為單位矢量SSSss) ( iiegrrSiiiiiigsxsxsxxs又：Sei1i iigsx類似直角坐標，該表達式具有不變性另：另：sxxsii)( 1Seiii ixg）式，得：和（比較 Ssiiiii ixgee1iiiiiixg1e 而于是稱為稱為形式導(dǎo)數(shù)形式導(dǎo)數(shù) i(2) 克里斯多弗克里斯多弗（Christoffel）符號符號 物理基物理基 隨位置點而變化隨位置點而變化, ,涉及對它的導(dǎo)數(shù)涉及對它的導(dǎo)數(shù) ie 定義：

32、定義：kkjifdjiee 為為 在物理基上的分解系數(shù)，稱為在物理基上的分解系數(shù)，稱為克里斯多弗克里斯多弗符號符號。 kjijie kjjkjkjgggggee)1(11)1(1jjiijjkki ikkjjii iikjigxxgggggxgjgi jkg)( )(agkkkj,kiijjijigggggg)( )(bgiiik,ijjkkjkjgggggg)( )(cgjjji,jkkiikikgggggg注意到：注意到：jkjikiggggrgrgrgikki2iik2kiixxxxx ; )(21)()()(,kijjkiijkigggacbkjgg? kjggi涉及涉及代回后，可得：

33、代回后，可得： kj)()(,gg1xgggg21ggg1jjijjkjijikikjkkjji ikji 若干性質(zhì)：若干性質(zhì)：*kjikji證明：證明：kjkjee 0eeeeeejkikjijkikjikji )(0kkikjikji共有共有9個個在正交曲線坐標系中，當在正交曲線坐標系中，當時，時，0gkj*時，）式，當由（kji0kji個。獨立但由反對稱性個個分量，剩下不為零的共這樣，612692727kjikjikji,kjggggggggkkjkkjjjkkjkkkkjjkkkjkln121211,）由（)( )()(kj,gg1xgggg21ggg1jjijjkjijikikjkk

34、jji ikji例例1 求圓柱坐標系的求圓柱坐標系的 kji解：解： 在圓柱坐標系，在圓柱坐標系， 1, 1332211grgg, 0ln1, 0ln1, 0ln1,1ln1, 0ln1, 0ln1ln1332232333113132233232221121211331311122121gggrggzgrgrggzgggkjggkkjjjkjk(3) 曲線坐標系中張量的梯度曲線坐標系中張量的梯度 矢量的梯度矢量的梯度 1kjkijijijikjkijijkjijijijjjiijjiivvvvvvvvvvv式中：jijikijieeeeeeeeeeeeev)()(ie仍記為為方便起見，ie 2

35、張量的梯度張量的梯度kjikjirjkrkjikjkjkjikjieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeAkjirjkrikrjrikjirkikjrjikjkjiikjikjkjikjiAAAAAAAAAA)(A)()(rjkr ikrjr ikjikjiAAAA其中，推廣到任意階張量的梯度為推廣到任意階張量的梯度為 eeeeeeeeeeeikjikjikjiikjsirjsirkkjrrsikrsrjikjsiskjsi)().(歸納起來，曲線坐標系的歸納起來，曲線坐標系的Hamilton算子可以寫成：算子可以寫成： iierjskrikjrsrikrsjrikjsikjsi.比較

36、：比較：笛卡兒直角坐標系iie iie曲線坐標系二者保持形式上一致，但 的運算由上式定。ijijijjiivveeeevkjkijijivvvkjikjikjjiiAAkeeeeeeArjkrikrjrikjikjiAAAAiie（4）圓柱坐標系張量的導(dǎo)數(shù)公式）圓柱坐標系張量的導(dǎo)數(shù)公式 1grg1gzxxrx332211321, , , , 其余均為零r1,r1221212zxg1r1xg1rxg1333322221111,zuur1ur1rruzuur1ruuuuudiv)zr1rgradzrrzrkikiiiiijiii)(2)(1)jizriieeuueeeee)11()1(1)()()

37、 3(2222222121222222zrrrrzrrrkikiiikikiiiiijijijijieeee)1()1()1()(4)rAzAArrArAAzAArrArAAzAArrAAAAAAAArzzzzrzrrzrrrzrrrrjsjskskjsjjkjkjjijkjikjikjizrkkkkjikjieeeeeeeeeeeeA(5) 球坐標系張量的導(dǎo)數(shù)公式球坐標系張量的導(dǎo)數(shù)公式 sin, , ,rgrg1gxxrx332211321sin11111333322221111rxgrxgrxg其余全為零。,r,r,r1,r1r1,r1332323331313221212cotcotur1ur1urrr12r1er1ere1r22rsin)sin(sin)(u)()sin()()sin )(sinsin)( )(22222222r1r1rrrr13)cotcot(sin)cotcot(sin)cot(sin)(AAAA2r1Ar1Ar1AreAAAA2r1Ar1Ar1rAeAAAA2r1Ar1Ar1Are4rrrrrrrrrrrrrrrA