第17講相似三角形,總綱目錄,泰安考情分析,基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān),知識(shí)點(diǎn)一成比例線段1.線段的比:在同一單位長(zhǎng)度下,兩條線段的長(zhǎng)度比叫做這兩條線段的比.2.比例線段:在同一單位下,四條線段長(zhǎng)度為a、b、c、d,如果有=,那么a、b、c、d這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.,3.比例的性質(zhì)(1)基本性質(zhì):=ad=bc(a,b,c,d都不等于0),其中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng),a、d叫做比例外項(xiàng).特殊地,=b2=ac,b叫做a、c的比例中項(xiàng);(2)合比性質(zhì):如果=,那么=(bd0);(3)等比性質(zhì):如果=(bdn0,且b+d+n0),那么=.,4.平行線分線段成比例(1)平行線分線段成比例定理:兩條直線被一組平行線所截,所得對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖,當(dāng)l3l4l5時(shí),有=,=,=等;,(2)平行線分線段成比例定理的推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.,知識(shí)點(diǎn)二相似三角形1.相似三角形的定義:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.全等三角形是特殊的相似三角形,其相似比為1.2.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、周長(zhǎng)的比都等于相似比;(3)相似三角形的面積之比等于相似比的平方.,3.相似三角形的判定(1)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;(2)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似;(4)兩組角分別相等的兩個(gè)三角形相似.,溫馨提示兩個(gè)直角三角形相似的判定方法除可以運(yùn)用一般三角形相似的判定方法外,還可以運(yùn)用“斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似”進(jìn)行判定.此外,如圖,在RtABC中,ACB=90,CDAB,則有以下結(jié)論:RtACDRtCBDRtABC,CD2=ADBD,AC2=ADAB,BC2=BDAB.,4.利用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題在實(shí)際生活中利用影子測(cè)量樹高、樓房高以及利用反射構(gòu)造相似等問(wèn)題常用相似三角形的性質(zhì)來(lái)解決.,知識(shí)點(diǎn)三相似多邊形1.相似多邊形的定義:如果兩個(gè)多邊形的角對(duì)應(yīng)相等,邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.2.相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;(2)相似多邊形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比;(3)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比,面積的比等于相似比的平方.,知識(shí)點(diǎn)四位似定義1.位似圖形的定義如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線相交于一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)叫做位似中心.2.位似圖形的性質(zhì)(1)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比;(2)在平面直角坐標(biāo)系中,如果是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.,3.利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小的步驟(1)確定位似中心和位似比;(2)確定原圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn);(3)畫出新圖形;(4)在直角坐標(biāo)系中,將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)k(k0,1),所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形構(gòu)成位似圖形,位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn),它們的相似比為|k|.溫馨提示泰安中考題有逐步與其他地區(qū)試題接軌的趨勢(shì),動(dòng)手操作類知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該當(dāng)做一個(gè)備考考點(diǎn).,泰安考點(diǎn)聚焦,考點(diǎn)一平行線分線段成比例例1如圖,ABCDEF,AF與BE相交于點(diǎn)G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么=.,解析AG=2,GD=1,AD=3,ABCDEF,=.,變式1-1(2017岱岳模擬)已知ABCD,AD與BC相交于點(diǎn)O.若=,AD=10,則AO=4.,解析ABCD,OAOD=OBOC=23,=,又AD=10,OA=10=4.,考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定中考解題指導(dǎo)相似三角形的性質(zhì)與判定是泰安中考的必考內(nèi)容.尋找相似三角形的條件時(shí),要注意公共邊、公共角、對(duì)頂角等隱含條件.,例2(2017泰安)如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),MEAM,ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB=12,BM=5,則DE的長(zhǎng)為(B)A.18B.C.D.,解析設(shè)ME與CD交于點(diǎn)G.四邊形ABCD是正方形,AB=12,BM=5,MC=12-5=7.MEAM,AME=90,AMB+CMG=90.AMB+BAM=90,BAM=CMG,又B=C=90,ABMMCG,=,即=,解得CG=,DG=12-=.AEBC,E=CMG,EDG=C,MCGEDG,=,即=,解得DE=.,變式2-1(2018杭州)如圖,在ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DEAB于點(diǎn)E.(1)求證:BDECAD;(2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長(zhǎng).,解析(1)證明:AB=AC,B=C,又AD為BC邊上的中線,ADBC,DEAB,DEB=ADC=90,BDECAD.(2)易知BD=BC=5,在RtADB中,AD=12,由(1)易得=,=,DE=.,方法技巧三角形相似的證題思路:1.有平行截線:用平行線的性質(zhì),找等角.2.有一對(duì)等角:(1)找另一對(duì)等角;(2)夾這對(duì)等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.3.有兩邊對(duì)應(yīng)成比例:(1)夾角相等;(2)第三邊也成比例;(3)有一對(duì)直角.4.直角三角形:(1)找一銳角;(2)找斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例.5.等腰三角形:(1)頂角相等;(2)一對(duì)底角相等;(3)底和腰成比例.,考點(diǎn)三位似圖形例3(2017煙臺(tái))如圖,在直角坐標(biāo)系中,每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1,AOB與AOB是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,且相似比為32,點(diǎn)A,B都在格點(diǎn)上,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是.,解析由題意得AOB與AOB的相似比為23,又B(3,-2),B的坐標(biāo)是3,-2,即B的坐標(biāo)是.,變式3-1(2018濱州)在平面直角坐標(biāo)系中,線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,8),B(10,2),若以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來(lái)的后得到線段CD,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(C)A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5),一、選擇題1.已知ABCDEF,若ABC與DEF的相似比為,則ABC與DEF對(duì)應(yīng)中線的比為(A)A.B.C.D.,隨堂鞏固訓(xùn)練,2.如圖,DEF是由ABC經(jīng)過(guò)位似變換得到的,點(diǎn)O是位似中心,=,則DEF與ABC的面積比是(A)A.B.C.D.,3.如圖,ABC中,AD是中線,BC=8,B=DAC,則線段AC的長(zhǎng)為(B)A.4B.4C.6D.4,二、填空題4.(2018四川成都)已知=,且a+b-2c=6,則a的值為12.,解析設(shè)=k(k0),則a=6k,b=5k,c=4k,a+b-2c=6,6k+5k-8k=6.解得k=2.a=6k=12.,5.(2018泰安)九章算術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問(wèn):出南門幾步而見(jiàn)木?”用今天的話說(shuō),大意是如圖,DEFG是一座邊長(zhǎng)為200步(“步”是古代的長(zhǎng)度單位)的正方形小城,東門H位于GD的中點(diǎn),南門K位于ED的中點(diǎn),出東門15步的A處有一樹木,求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點(diǎn)D在直線AC上).則KC的長(zhǎng)為步.,解析由題意易知,AHDDKC,AH=15步,HD=100步,KD=100步,=,解得KC=(步).,三、解答題6.如圖,ABC為銳角三角形,AD是BC邊上的高,正方形EFGH的一邊FG在BC上,頂點(diǎn)E,H分別在AB,AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.(1)求證:AEHABC;(2)求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積.,解析(1)證明:四邊形EFGH為正方形,EHBC,AEH=ABC,AHE=ACB,AEHABC.(2)AEHABC,=,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xcm,則AM=(30-x)cm,把AD=30cm,BC=40cm代入,得x=.則正方形邊長(zhǎng)為cm,面積為cm2.,