,一、定積分的元素法,二、平面圖形的面積,第七節(jié)定積分的幾何應用,三、旋轉體的體積,四、平行截面面積已知的立體的體積,五、小結,回顧,曲邊梯形求面積的問題,一、定積分的元素法,面積元素,這個方法通常叫做元素法,應用方向：,平面圖形的面積，體積。,經濟應用。其他應用。,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,，,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,第二步：寫出面積表達式。,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,平面曲線的函數表達式：,(1)曲線可表示為函數：y=f(x),設曲線上任意一點為(x,y).則曲線的函數表達式分為,x,y,x,y,(2)曲線可表示為函數：x=f(y),x,y,y,x,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,則橢圓的面積為,解：設橢圓在第一象限的面積為S1。,例,平面圖形的面積,2,平面圖形的面積,2,平面圖形的面積,2,c,平面圖形的面積,2,c,解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分的兩倍。,S=2,例,下頁,解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分的兩倍。,S=2,=2,例,下頁,平面圖形的面積,3,平面圖形的面積,3,平面圖形的面積,平面圖形的面積,二、立體的體積,設一立體在x軸上的投影區(qū)間為a,b，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數，求此立體的體積。,立體的體積元素為：,所求立體的體積為：,dV=S(x)dx。,下頁,1.已知平行截面面積求立體的體積,1.已知平行截面面積求立體的體積,二、立體的體積,設立體在y軸上的投影區(qū)間為c,d，過y點垂直于y軸的截面面積S1(y)是y的連續(xù)函數，求此立體的體積。,立體的體積為：,下頁,設一立體在x軸上的投影區(qū)間為a,b，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數，求此立體的體積。,討論:旋轉體的體積怎樣求？,答案：,下頁,2.旋轉體的體積,x,區(qū)間a,b上截面積為S(x)的立體體積：,(1)由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、xb及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體。,討論:旋轉體的體積怎樣求？,答案：,下頁,2.旋轉體的體積,y,區(qū)間c,d上截面積為S1(y)的立體體積：,(2)由連續(xù)曲線xj(y)、直線yc、yd及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體。,xj(y),曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積：,解：橢圓繞x軸旋轉產生的旋轉體的體積：,下頁,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積：,解：橢圓繞y軸旋轉產生的旋轉體的體積：,下頁,曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積：,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積：,例2連接坐標原點O及點P(h，r)的直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體。計算這圓錐體的體積。,所求圓錐體的體積為,解：,首頁,曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積：,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積：,解,兩曲線的交點,面積元素,選為積分變量,解,兩曲線的交點,選為積分變量,于是所求面積,說明：注意各積分區(qū)間上被積函數的形式,問題：,積分變量只能選嗎？,觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：,考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達式？,觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：,考慮選擇y為積分變量，如何分析面積表達式？,解,兩曲線的交點,選為積分變量,解,橢圓的參數方程,由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積,旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸,圓柱,三、旋轉體的體積(volumeofbody),（1）,圓錐,圓臺,三、旋轉體的體積(volumeofbody),（3）,（2）,旋轉體的體積為,解,直線方程為,解,解,0,1,x,y,補充,利用這個公式，可知上例中,解,體積元素為,如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,四、平行截面面積已知的立體的體積,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,五、小結,定積分的元素法,平面圖形的面積,旋轉體的體積,平行截面面積已知的立體的體積,思考題1,思考題1解答,兩邊同時對求導,積分得,所以所求曲線為,曲線y=f(x)及直線y=kx+b,所圍成的曲邊梯形,求D繞直,線y=kx+b旋轉所成立體的體積.,上有連續(xù)導數,D為,思考題2,如右圖示,曲線在M點處的切線MT為：,思考題2解答,應用定積分的元素法，考慮子區(qū)間x,x+dx.設相,應于x,x+dx的曲線弧段在直線L上的投影長為dl,則當子區(qū)間的長充分小時,取切線MT上對應于右,端點x+dx的點到垂線,的距離為dl,則,而M點到直線L的距離為,從而得,所以曲邊梯形D繞直線L旋轉所成立體體積為,思考題3,思考題3解答,交點,立體體積,練習題,！,練習題答案,