2020/4/29,鄭平正制作鄭平正制作,去“數(shù)學(xué)廣角”嘍！,2020/4/29,鄭平正制作鄭平正制作,3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（三）,高二數(shù)學(xué)選修2-3第三章統(tǒng)計(jì)案例,2020/4/29,鄭平正制作,比數(shù)學(xué)3中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)畫(huà)散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思想求回歸直線(xiàn)方程ybxa用回歸直線(xiàn)方程解決應(yīng)用問(wèn)題,選修2-3統(tǒng)計(jì)案例引入線(xiàn)性回歸模型ybxae了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因了解相關(guān)指數(shù)R2和模型擬合的效果之間的關(guān)系了解殘差圖的作用利用線(xiàn)性回歸模型解決一類(lèi)非線(xiàn)性回歸問(wèn)題正確理解分析方法與結(jié)果,2020/4/29,鄭平正制作,復(fù)習(xí)回顧,2、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線(xiàn)上相應(yīng)位置的差異是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱(chēng)為殘差。,3、對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來(lái)，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：稱(chēng)為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。,2020/4/29,鄭平正制作,4、兩個(gè)指標(biāo)：（1）類(lèi)比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作為的估計(jì)量，越小，預(yù)報(bào)精度越高。,（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是：,R21，說(shuō)明回歸方程擬合的越好；R20，說(shuō)明回歸方程擬合的越差。,2020/4/29,鄭平正制作,表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。,在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線(xiàn)性相關(guān)，是否可以用回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)。,5、殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過(guò)殘差來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱(chēng)為殘差分析。,我們可以利用圖形來(lái)分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱(chēng)為殘差圖。,2020/4/29,鄭平正制作,殘差圖的制作及作用1、坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；3、對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。,身高與體重殘差圖,幾點(diǎn)說(shuō)明：第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線(xiàn)性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。,2020/4/29,鄭平正制作,例1在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：,求出Y對(duì)的回歸直線(xiàn)方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。,解：,2020/4/29,鄭平正制作,例1在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：,求出Y對(duì)的回歸直線(xiàn)方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。,列出殘差表為,0.994,因而，擬合效果較好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,2020/4/29,鄭平正制作,例2關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：有如下的兩個(gè)線(xiàn)性模型：（1）；（2）試比較哪一個(gè)擬合效果更好。,2020/4/29,鄭平正制作,6、注意回歸模型的適用范圍：,（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)來(lái)自哪個(gè)總體的，預(yù)報(bào)時(shí)也僅適用于這個(gè)總體。（2）模型的時(shí)效性。利用不同時(shí)間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，只有用來(lái)對(duì)那段時(shí)間范圍的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。（3）建立模型時(shí)自變量的取值范圍決定了預(yù)報(bào)時(shí)模型的適用范圍，通常不能超出太多。（4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經(jīng)指出的，某個(gè)女大學(xué)生的身高為172cm，我們不能利用所建立的模型預(yù)測(cè)她的體重，只能給出身高為172cm的女大學(xué)生的平均體重的預(yù)測(cè)值。,2020/4/29,鄭平正制作,7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：,2020/4/29,鄭平正制作,案例2一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：,（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？,2020/4/29,鄭平正制作,畫(huà)散點(diǎn)圖,假設(shè)線(xiàn)性回歸方程為：=bx+a,選模型,所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,探索新知,方案1,當(dāng)x=28時(shí)，y=19.8728-463.7393,一元線(xiàn)性模型,2020/4/29,鄭平正制作,奇怪？,93>66?模型不好？,2020/4/29,鄭平正制作,方案2,問(wèn)題3,合作探究,t=x2,二次函數(shù)模型,2020/4/29,鄭平正制作,方案2解答,平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線(xiàn)性回歸模型y=bt+a,作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線(xiàn)性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關(guān)指數(shù)R2=r20.8962=0.802,將t=x2代入線(xiàn)性回歸方程得：y=0.367x2-202.54當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,2020/4/29,鄭平正制作,產(chǎn)卵數(shù),氣溫,指數(shù)函數(shù)模型,方案3,合作探究,對(duì)數(shù),2020/4/29,鄭平正制作,方案3解答,當(dāng)x=28oC時(shí)，y44，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化,由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為z=0.118x-1.665，相關(guān)指數(shù)R2=r20.99252=0.985,2020/4/29,鄭平正制作,最好的模型是哪個(gè)?,線(xiàn)性模型,二次函數(shù)模型,指數(shù)函數(shù)模型,2020/4/29,鄭平正制作,比一比,最好的模型是哪個(gè)?,2020/4/29,鄭平正制作,這些問(wèn)題也使用于其他問(wèn)題。,涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時(shí)間性；樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。,小結(jié),2020/4/29,鄭平正制作,什么是回歸分析？（內(nèi)容）,從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來(lái)預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測(cè)或控制的精確程度,2020/4/29,鄭平正制作,回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別,相關(guān)分析中，變量x變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱(chēng)為因變量，處在被解釋的地位，x稱(chēng)為自變量，用于預(yù)測(cè)因變量的變化相關(guān)分析中所涉及的變量x和y都是隨機(jī)變量；回歸分析中，因變量y是隨機(jī)變量，自變量x可以是隨機(jī)變量，也可以是非隨機(jī)的確定變量相關(guān)分析主要是描述兩個(gè)變量之間線(xiàn)性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量x對(duì)變量y的影響大小，還可以由回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制,2020/4/29,鄭平正制作,練習(xí)假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料。,若由資料知,y對(duì)x呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系。試求：（1）線(xiàn)性回歸方程的回歸系數(shù)；（2）求殘差平方和；（3）求相關(guān)系數(shù)；（4）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？,2020/4/29,鄭平正制作,解：,（1）由已知數(shù)據(jù)制成表格。,所以有,