第1講集合與常用邏輯用語專題一集合與常用邏輯用語、不等式熱點分類突破真題押題精練熱點分類突破熱點一集合的關(guān)系及運算1.集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)AAA，A A，ABBA.(2)AAA，A ，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U.(4)ABAAB，ABABA.2.集合運算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解.(2)若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解.(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解.例例1(1)(2017屆湖南師大附中月考)已知集合Ax|log2x1，By|y2x，x0，則AB等于A.B.x|1x2C.x|1x2 D.x|1x2答案解析解析解析由已知可得Ax|0 x2，By|y1ABx|1x2，故選C.(2)(2017屆濰坊臨朐縣月考)已知集合M(x，y)|yf(x)，若對于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，則稱集合M是“理想集合”.給出下列4個集合：M ；M(x，y)|ysin x；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ylg x.其中所有“理想集合”的序號是A.B.C.D.答案解析思維升華項，由圖象可得直角始終存在，故正確；綜合正確，故選B.思維升華思維升華(1)關(guān)于集合的關(guān)系及運算問題，要先對集合進行化簡，然后再借助Venn圖或數(shù)軸求解.(2)對集合的新定義問題，要緊扣新定義集合的性質(zhì)探究集合中元素的特征，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識進行求解，也可利用特殊值法進行驗證.跟蹤演練跟蹤演練1(1)(2017屆云南曲靖一中月考)已知集合AxN|x25x40，Bx|x240，下列結(jié)論成立的是A.BA B.ABAC.ABA D.AB2答案解析解析解析AxN|1x4，Bx|x2AB2，故選D.(2)用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B若A1,2，Bx|(x2ax)(x2ax2)0，且A*B1，設(shè)實數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合是S，則C(S)等于A.4 B.3C.2 D.1答案解析解析解析由A1,2，得C(A)2，由A*B1，得C(B)1或C(B)3.由(x2ax)(x2ax2)0，得x2ax0或x2ax20.當C(B)1時，方程(x2ax)(x2ax2)0只有實根x0，這時a0；當C(B)3時，必有a0，這時x2ax0有兩個不相等的實根x10，x2a，方程x2ax20必有兩個相等的實根，且異于x10，x2a.熱點二四種命題與充要條件1.四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假.2.若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p，q互為充要條件.例例2(1)(2017屆撫州七校聯(lián)考)A，B，C三個學生參加了一次考試，A，B的得分均為70分，C的得分為65分.已知命題p：若及格分低于70分，則A，B，C都沒有及格.在下列四個命題中，為p的逆否命題的是A.若及格分不低于70分，則A，B，C都及格B.若A，B，C都及格，則及格分不低于70分C.若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分D.若A，B，C至少有一人及格，則及格分高于70分答案解析解析解析根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知，命題p：若及格分低于70分，則A，B，C都沒有及格，p的逆否命題是：若A，B，C至少有1人及格，則及格分不低于70分.故選C.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案解析思維升華思維升華思維升華充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法：正、反方向推理，若pq，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若pq且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件).(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系.例如，若AB，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若AB，則A是B的充要條件.(3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題.跟蹤演練跟蹤演練2(1)有關(guān)命題的說法正確的是A.命題“若xy0，則x0”的否命題為：“若xy0，則x0”B.命題“x0R，使得2 10”的否定是：“xR，2x210”C.“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為真命題D.命題“若cos xcos y，則xy”的逆否命題為真命題答案解析解析解析對于A選項，命題“若xy0，則x0”的否命題為“若xy0，則x0”，否命題是條件和結(jié)論的雙重否定，故A錯誤；對于B選項，命題“x0R，使2 10”的否定是“xR，2x210”，故B錯誤；選項C的逆命題為真命題，故C正確；選項D的原命題是假命題，則逆否命題與之對應，也是假命題，故D錯誤，故選C.(2)(2017屆湖南長沙一中月考)在ABC中，“ABcos 2Bcos 2C”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案解析解析解析由正弦定理，可得在ABC中，若ABC，則sin Asin Bsin C，則sin2Asin2Bcos 2Bcos 2C，反之也成立.所以在ABC中，“ABcos 2Bcos 2C”的充要條件，故選C.熱點三邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞1.命題pq，只要p，q有一真，即為真；命題pq，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對立的命題.2.命題pq的否定是(綈p)(綈q)；命題pq的否定是(綈p)(綈q).3.“xM，p(x)”的否定為“x0M，綈p(x0)”；“x0M，p(x0)”的否定為“xM，綈p(x)”.例例3(1)已知函數(shù)f(x)給出下列兩個命題：命題p：若m ，則f(f(1)0；命題q：m(，0)，方程f(x)0有解.那么，下列命題為真命題的是A.pq B.(綈p)qC.p(綈q)D.(綈p)(綈q)答案解析思維升華當x0時，若m0，f(x)mx2f(1)0，故p是真命題，即綈p是假命題.故選D.思維升華思維升華判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成.由命題的真假求某個參數(shù)的取值范圍，還可以考慮從集合的角度來思考，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的運算.跟蹤演練跟蹤演練3(1)(2017屆黑吉兩省八校期中)已知：命題p：若函數(shù)f(x)x2|xa|是偶函數(shù)，則a0；命題q：m(0，)，關(guān)于x的方程mx22x10有解.在pq；pq；(綈p)q；(綈p)(綈q)中，為真命題的是A.B.C.D.答案解析解析解析因為f(x)f(x)，所以1|a1|1|a1|，解得a0，故命題p為真命題；又因為當44m0，即m1時，方程有解，所以q為假命題.所以pq與(綈p)(綈q)為真命題，故選D.(2)(2017屆徐州豐縣民族中學調(diào)研)若命題“x0R，使得x(1a)x010”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為_.答案解析1，3解析解析由題設(shè)可得(1a)240，解得1a3.真題押題精練真題體驗1.(2017北京改編)若集合Ax|2x1，Bx|x3，則AB_.x|2x1答案解析解析解析Ax|2x1，Bx|x3，ABx|2x1.1234充分不必要答案解析123412343.(2017山東改編)已知命題p：xR，x2x10；命題q：若a2b2，則a1，則AB等于A.(2,3 B.2,3C.(，0)(0,2 D.(，1)0,3答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)集合的運算在歷年高考中的地位都很重要，已成為送分必考試題.集合的運算常與不等式(特別是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域等知識相交匯.押題依據(jù)1234解析解析A0,3.又log2(x2x)log22，即x2x2，解得x2，所以B(，1)(2，).所以AB(2,3.12342.已知“xk”是“1”的充分不必要條件，則k的取值范圍是A.2，)B.1，)C.(2，)D.(，1押題依據(jù)押題依據(jù)充分、必要條件的判定一直是高考考查的重點，該類問題必須以其他知識為載體，綜合考查數(shù)學概念.所以x2.答案解析押題依據(jù)1234答案解析押題依據(jù)1234123押題依據(jù)押題依據(jù)常用邏輯用語中命題真假的判斷、充要條件、全稱量詞、存在量詞及邏輯聯(lián)結(jié)詞是數(shù)學學習的重要工具，也是高考考查的熱點問題.41234123當pq為真命題時，p，q不一定全真，因此pq不一定為真命題；所以為真，故選C.4答案解析押題依據(jù)1234.若X是一個集合，是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：X屬于，空集 屬于；中任意多個元素的并集屬于；中任意多個元素的交集屬于，則稱是集合X上的一個拓撲.已知集合Xa，b，c，對于下面給出的四個集合：，a，c，a，b，c；，b，c，b，c，a，b，c；，a，a，b，a，c；，a，c，b，c，c，a，b，c.其中是集合X上的一個拓撲的集合是_.(填序號)4123押題依據(jù)押題依據(jù)以新定義為背景，考查元素與集合的關(guān)系，是近幾年高考的熱點，解題時可從集合的性質(zhì)(元素的性質(zhì)、運算性質(zhì))作為突破口.4123解析解析，a，c，a，b，c，但是aca，c，所以錯；都滿足集合X上的一個拓撲集合的三個條件.所以正確；a，ba，ca，b，c，所以錯.4