第4講轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題,之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等.各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中.1.轉(zhuǎn)化與化歸的原則（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗來解決.（2）簡單化原則：將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).（3）直觀化原則：將比較抽象的問題化為比較直觀的問題來解決.,（4）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探討，使問題獲解.2.常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式.常見的轉(zhuǎn)化方法有：（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.（2）換元法：運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式,或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題.（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑.（4）等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的.（5）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題、結(jié)論適合原問題.（6）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.（7）坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑.,（8）類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定.（9）參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進行解決.（10）補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結(jié)果看做集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補集UA獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則.3.轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想（1）把什么問題進行轉(zhuǎn)化，即化歸對象.（2）化歸到何處去，即化歸目標.（3）如何進行化歸，即化歸方法.化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心.,一、常量與變量的轉(zhuǎn)化與化歸例1設(shè)f（x）是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若f（1-ax-x2）f（2-a）對任意a-1，1恒成立，求x的取值范圍.思維啟迪本題為抽象函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用問題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為大家熟悉的一元二次不等式（或一元一次不等式來解決）.解因為f(x)是R上的增函數(shù)，所以1-ax-x22-a，a-1，1.（*）方法一（*）式可化為：a(1-x)x2+1.,（1）當1-x>0時，式變?yōu)閷θ我鈇-1，1恒成立，只要0x1或x-1.（2）當1-x0，式變?yōu)椋簩θ我鈇-1，1恒成立，只要x>1.（3）當1-x=0,式顯然成立.綜上所述，實數(shù)x的取值范圍是：x-1或x0.,方法二（*）式可化為：a(x-1)+x2+10,對a-1，1恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1.則當且僅當解之，得x0或x-1.即實數(shù)x的取值范圍是x-1或x0.探究提高通過以上兩種方法的比較可以看出，若按常規(guī)方法求解，問題較麻煩；若將變量與參數(shù)變更關(guān)系，a為主元，轉(zhuǎn)換思考的角度，使解答變得容易.這種處理問題的思想即為轉(zhuǎn)化與化歸的思想.,變式訓(xùn)練1設(shè)y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在-2，2上變化時,y恒取正值,求x的取值范圍.解設(shè)y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,則f(t)是一次函數(shù)，當t-2，2時，f(t)>0恒成立.則由解得log2x-1或log2x3,x的取值范圍是,二、正難則反的轉(zhuǎn)化與化歸例2已知三條拋物線：y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸相交，求實數(shù)a的取值范圍.思維啟迪三條拋物線中至少有一條與x軸相交的情況比較多，反面為三條拋物線與x軸都不相交，只有一種情況.解令y=0，由,解得滿足題意的a的取值范圍是探究提高本題若從正面討論則需分類討論求解，繁不堪言，但從其反面“三條拋物線都不與x軸相交”著手，求出a的取值范圍，再求其補集，則使問題簡單得多了.一個題目若出現(xiàn)多種成立的情況，則不成立的情況一般較少，易從反面考慮，在排列組合中有較多這樣的問題.,變式訓(xùn)練2一個自動報警器由雷達和計算機兩部分組成，兩部分有任何一個失靈，這個報警器就失靈.若使用100小時后，雷達部分失靈的概率為0.1，計算機失靈的概率為0.3，且兩部分失靈與否是獨立的，求這個報警器使用100小時后失靈的概率.解先考慮報警器不失靈的概率，即求雷達和計算機均不失靈的概率.記“使用100小時后雷達失靈”為A，記“使用100小時后計算機失靈”為B，由于A與B相互獨立，則報警器使用100小時后失靈的概率為,三、以換元為手段的轉(zhuǎn)化與化歸例3已知aR，求函數(shù)y=（a-sinx）（a-cosx）的最小值.思維啟迪本題考查函數(shù)的最值問題、化歸思想及運算能力.觀察到等式右邊是關(guān)于sinxcosx與sinx+cosx的三角式,可設(shè)t=sinx+cosx,則原問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.解函數(shù)可化為y=sinxcosx-a(sinx+cosx)+a2.設(shè)t=sinx+cosx，則而,于是,y=f(t)原問題化歸為求二次函數(shù)在上的最值問題。（1）當時，若t=a，（2）當時，f(t)在上單調(diào)遞減，,（3）當時，f（x）在上單調(diào)遞增.探究提高此類問題換元后將問題化為熟知的二次函數(shù)問題,這種做法常被采用，在一個代數(shù)式中若sinxcosx與sinx+cosx同時出現(xiàn)時，常設(shè)t=sinx+cosx進而表示出sinxcosx，原式轉(zhuǎn)化為含有t的代數(shù)式進行求解，使問題順利解決.,變式訓(xùn)練3已知奇函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集R,且f(x)在0,+)上是增函數(shù),當時,是否存在這樣的實數(shù)m,使f(cos2-3)+f(4m-2mcos)>f(0)對所有的均成立?若存在,求出所有適合條件的實數(shù)m;若不存在,則說明理由.解因為f(x)在R上為奇函數(shù),又在0,+)上是增函數(shù),故f(x)在R上為增函數(shù),且f(0)=0.由題設(shè)條件可得,f(cos2-3)+f(4m-2mcos)>0.,又由f(x)為奇函數(shù),可得f(cos2-3)>f(2mcos-4m).f(x)在R上為增函數(shù),cos2-3>2mcos-4m,即cos2-mcos+2m-2>0.令cos=t,0t1.于是問題轉(zhuǎn)化為對一切0t1,不等式t2-mt+2m-2>0恒成立.t2-2>m(t-2),即恒成立.又存在實數(shù)m滿足題設(shè)的條件,四、等與不等的轉(zhuǎn)化與化歸例4若f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)x都有f(x+3)f(x)+3和f(x+2)f(x)+2，且f(1)=1，則f(2010)=.思維啟迪通過兩個不等關(guān)系,轉(zhuǎn)化為f(x+1)=f(x)+1這個等量關(guān)系.解析f(x+1)f(x+3)-2f(x)+3-2=f(x)+1,f(x+1)f(x+4)-3f(x+2)+2-3f(x)+4-3=f(x)+1,f(x)+1f(x+1)f(x)+1.f(x+1)=f(x)+1.數(shù)列f(n)為等差數(shù)列.f(2010)=f(1)+20091=2010.,2010,探究提高恰當運用題設(shè)，由函數(shù)的性質(zhì)推得f(x)+1f(x+1)f(x)+1，即f(x+1)=f(x)+1，從而實現(xiàn)了由“不等”向“等”的轉(zhuǎn)化.在不等式中存在著相等的可能；反之，相等關(guān)系也必然是不等關(guān)系的臨界情況.這也正是我們利用不等條件求值和利用相等條件求范圍的出發(fā)點.變式訓(xùn)練4若a、b是正數(shù)，且滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.解方法一（看成函數(shù)的值域）ab=a+b+3，即a>1或a0,a>1,故a-1>0.,當且僅當即a=3時取等號.又a>3時，是關(guān)于a的單調(diào)增函數(shù).ab的取值范圍是9，+）.方法二（看成不等式的解集）a，b為正數(shù)，,方法三若設(shè)ab=t,則a+b=t-3,a，b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的兩個正根.從而有：解得t9,即ab9.ab的取值范圍是9，+）.規(guī)律方法總結(jié)在將問題進行化歸與轉(zhuǎn)化時，一般應(yīng)遵循以下幾種原則：（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.,（2）簡單化原則：將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題.（3）直觀化原則：將較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題（如數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何問題向平面幾何問題轉(zhuǎn)化）.（4）正難則反原則：若問題直接求解困難時，可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題.,一、選擇題1.方程sin2x+cosx+k=0有解,則k的取值范圍是()A.B.C.D.解析求k=-sin2x-cosx的值域k=cos2x-cosx-1當時，當cosx=-1時，kmax=1，故選D.,D,2.已知數(shù)列an對任意的p,qN*滿足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于（）A.-165B.-33C.-30D.-21解析由ap+q=ap+aq,a2=-6,得a4=a2+a2=-12,同理a8=a4+a4=-24,所以a10=a8+a2=-24-6=-30.3.設(shè)a>1,若對于任意的xa，2a，都有ya，a2滿足方程logax+logay=3，這時a的取值的集合為（）A.a|1(1+cos2)cos，且(0,2)，那么角的取值范圍是（）A.B.C.D.解析注意到不等式(1+sin2)sin(1+cos2)cos,等價于sin3+sin>cos3+cos,而f(x)=x3+x在R上是增函數(shù),于是f(sin)>f(cos)sin>cos,再結(jié)合(0,2),得到,C,二、填空題6.函數(shù)的值域為.解析f(x)的定義域為x0,1,設(shè)則,7.若x,yR,集合A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)a>0,b>0，當AB有且只有一個元素時，a、b滿足的關(guān)系式是.解析AB有且只有一個元素可轉(zhuǎn)化為直線與圓x2+y2=1相切，故a>0,b>0，,8.如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(2),f(1),f(4)的大小關(guān)系是.解析轉(zhuǎn)化為在同一個單調(diào)區(qū)間上比較大小問題.由f(2+t)=f(2-t)知f(x)的對稱軸為x=2.f(x)在2，+）上為單調(diào)增函數(shù).f(1)=f(22-1)=f(3)f(2)<f(3)<f(4)f(2)<f(1)<f(4).,f(2)<f(1),0在（0,）上恒成立，,令cosx=t，則-10在（-1，1）上恒成立，若則在（-1，1）上恒成立，則只需當時，則在（-1，1）上顯然成立；若則在（-1，1）上恒成立，則只需綜上所述，所求實數(shù)m的取值范圍是,返回,