平新喬《微觀經(jīng)濟學(xué)十八講》答案 EatingNoodles 第一講 偏好、效用與消費者的基本問題 1 根據(jù)下面的描述，畫出消費者地?zé)o差異曲線．對于1.2和1.3題，寫出效用函數(shù)． 1.1 王力喜歡喝汽水，但是厭惡吃冰棍 可能的一個無差異曲線是這樣： 1.2 李楠既喜歡喝汽水，又喜歡吃冰棍，但她認為三杯汽水和兩根冰棍是無差異的． 只要滿足（0，2）和（3，0）在同一條無差異曲線上就符合題目要求．可能的一個無差異曲線是這樣： 3 2 1.3 蕭峰有個習(xí)慣，它每喝一杯汽水就要吃兩根冰棍，當(dāng)然汽水和冰棍對他而言是多多益善． 效用函數(shù)為 1.4 楊琳對于有無汽水喝毫不在意，但她喜歡吃冰棍． 效用函數(shù)為 2 作圖：如果一個人的效用函數(shù)為： 2.1 請畫出三條無差異曲線． （10，0） 2.2 如果，，．請在圖上找出該消費者的最優(yōu)的消費組合． 在圖中，赭色直線是預(yù)算線．與之有公共點集的唯一最高無差異曲線是過點（10，0）的那條無差異曲線（上圖中為橙線）．消費者的最優(yōu)的消費選擇是（10，0）． 3 下列說法對嗎？為什么？ 若某個消費者的偏好可以由效用函數(shù) 來描述，那么對此消費者而言，商品1和商品2是完全替代的． 說明：本章沒有完全替代商品的定義．范里安的書上給出的完全替代是拿作為例子．本題的思路是說明兩個效用函數(shù)在偏好的描述上是等價的． 答： 令，由單調(diào)變換的定義知，與是同一個偏好的效用函數(shù)．且，即所描述的偏好中，商品1與商品2是完全替代的．因此所描述的偏好中，商品1與商品2是完全替代的． 4 若某個消費者的效用函數(shù)為 ， 其中， 4.1 證明：與的邊際效用都遞減． 證明：對取二階偏導(dǎo)，得到 ． 因此的邊際效用是遞減的．同理，的邊際效用也是遞減的． 4.2 請給出一個效用函數(shù)形式，使該形式不具備邊際效用遞減的性質(zhì)． 答：可能的一個效用函數(shù)是． 5 常見的常替代彈性效用函數(shù)形式為 請證明： 5.1 當(dāng)，該效用函數(shù)為線性． 證明：當(dāng)時，效用函數(shù)為 ， 此時，函數(shù)是線性的． 5.2 當(dāng)時，該效用函數(shù)趨近于 說明：如果，該效用函數(shù)在時發(fā)散，如果，那么函數(shù)在時極限為． 5.3 當(dāng)時，該效用函數(shù)趨近于 證明：令，．則的一個單調(diào)變換結(jié)果是 ． 當(dāng)時， ； 同理，當(dāng)時，有 ． 當(dāng)時，有． 綜上所述，當(dāng)時，原效用函數(shù)描述的偏好關(guān)系趨近于 所描述的偏好關(guān)系． 如果與滿足，那么當(dāng)時，同時有效用函數(shù) ， 趨近于以下效用函數(shù) ． [注]我們可以發(fā)現(xiàn)該效用函數(shù)的邊際替代率．當(dāng)時，邊際替代率趨近于，即為完全替代效用下的邊際替代率；時，趨近于，即柯布–道格拉斯效用下的邊際替代率；時，若，趨近于0，若，趨近于正無窮，即完全互補品的邊際替代率． 6 茜茜總喜歡在每一杯咖啡里加兩湯匙糖．如果每湯匙糖的價格是，每杯咖啡的價格是，她有元可以花在咖啡和糖上，那么她將打算購買多少咖啡和糖？如果價格變?yōu)楹停瑢λP(guān)于咖啡和糖的消費會發(fā)生什么影響？ 解：咖啡和糖對茜茜而言是完全互補品，即她的效用函數(shù)可以表示為（假設(shè)她的偏好滿足單調(diào)性）： 其中，代表咖啡的量，以杯為單位；表示糖的量，以湯匙為單位． 很明顯，她的最優(yōu)選擇必然是 ． （*） 考慮，那么“多”出來的糖或者咖啡不會讓茜茜覺得更好，反而還浪費了——還不如將買“多”出來的糖或咖啡的錢用來買咖啡或糖使得． 她面臨的約束條件為： ． 由于她的偏好是單調(diào)的，而收入的增加可以有機會買到更多量的咖啡和（或）糖，因此她的最優(yōu)選擇必然在預(yù)算線上．也就是說，她的約束條件可以表達為： ． （**） 綜合*與**式，可以得到，，． 如果價格變成和，同樣可以得到，．咖啡和糖的消費比例不會發(fā)生變化． [注] 嚴格地說，一般地，約束條件應(yīng)該寫成，，．但只要效用滿足局部不厭足性，我們就可以將寫成；同時，在十八講的習(xí)題里我們遇到的大多數(shù)效用函數(shù)下，最優(yōu)的和都是嚴格大于零的，因此，在這樣的條件下，我們也可以省略，．在后面，如非特別說明，我們的約束條件均僅僅寫成． 7 令為偏好關(guān)系，>為嚴格偏好關(guān)系，為無差異關(guān)系．證明下列關(guān)系 說明：本題的解答僅作參考． 我不認為類似“=”是一個規(guī)范的表達方式，也許它的本意是對任意消費束的無差異集均屬于它的弱偏好集．其余符號的解釋與以上類似． 7.1 說明：此題的含義是，弱偏好集是唯一的（如果按照上面的解讀）． 7.2 = 證明： 7.3 證明： 7.4 證明： 8 證明下列結(jié)論（或用具說服力的說理證明） 8.1 與都不具有完備性 說明：嚴格偏好關(guān)系真包含于偏好關(guān)系，而偏好關(guān)系是完備的，因此，嚴格偏好關(guān)系不具有完備性．同理可以說明無差異關(guān)系也不具有完備性． 8.2 滿足反身性 說明：如果無差異關(guān)系不具有完備性，那么根據(jù)無差異關(guān)系的定義，則必存在一個消費束嚴格偏好于它自身，也就是說，這個消費束同時既偏好于它本身又不偏好于它本身，這是矛盾的． 8.3 嚴格偏好關(guān)系不滿足反身性 說明：如果嚴格偏好關(guān)系滿足反身性，那么根據(jù)嚴格偏好關(guān)系的定義，則對任一對消費束a, b，如果a嚴格偏好于b，則說明b不可能偏好于a；而根據(jù)假設(shè)b嚴格偏好于a，b必然偏好于a．因此它們是矛盾的． 8.4 對于任何中的與，在下列關(guān)系中，只能居其一：，，或 說明：根據(jù)8.3的說明，與不可能同時成立，那么，當(dāng)和同時不成立的時候，必有且，即 9 一個只消費兩類物品的消費者面臨正的價格，其擁有正的收入，他的效用函數(shù)為： 導(dǎo)出其馬歇爾需求函數(shù)． 解：本題的最大化問題為 由約束條件知 ． 當(dāng)時，有最大值．此時，的消費量為． 即，馬歇爾需求函數(shù)為=， [注] 以后所稱“需求函數(shù)”，若非特別說明，均為馬歇爾需求函數(shù)． 10 一個人的效用函數(shù)為，這里，．假定存在內(nèi)點解，請導(dǎo)出其馬歇爾效用函數(shù)． 解：本題的最大化問題為 其拉格朗日函數(shù)為 ． 使最大化的，，滿足一階條件： ， （1） ， （2） ． （3） 將1式除以2式，得 ，即； （4） 代4式入3式，得 ； （5） 代5式入4式，得 ． （6） 5與6式即為與的馬歇爾需求函數(shù)． [注]該效用函數(shù)稱為柯布–道格拉斯效用函數(shù)．記住以下這個結(jié)論是很有用的，若效用函數(shù)形如，那么在約束條件下，需求函數(shù)為，．在以后的計算中我將直接使用這個結(jié)論． [注]嚴格來說，伴隨著一般情況下完整的約束（，，），這個最大化問題的求加需要更繁瑣的過程；但是，我們遇到的絕大多數(shù)問題都可以以這種相對簡化的方法求解，而下面遇到的最大化/最小化問題的求解，如果沒有特別說明，這個注均適用．（與之伴隨的是“簡化”的約束，）