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1、平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講》答案 EatingNoodles 第二講 間接效用函數(shù)與支出函數(shù) 1 設(shè)一個(gè)消費(fèi)者的直接效用函數(shù)為．構(gòu)造出該消費(fèi)者的間接效用函數(shù)．并且運(yùn)用羅爾恒等式去構(gòu)造其關(guān)于兩種物品的需求函數(shù)．驗(yàn)證：這樣得到的需求函數(shù)與從直接效用函數(shù)推得的需求函數(shù)是相同的． 解：該消費(fèi)者的最大化問題是 需求函數(shù)為 ，． 消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為 ， 由羅爾恒等式，有 ， ． 這與從直接效用函數(shù)中推得的結(jié)果一致． [注]這里的是向量，以后的向量均用黑體表示，以與表示分量的符號(hào)相區(qū)別． 2 某個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)是，商品1和2的價(jià)格分別是和，此消費(fèi)者的收入為

2、，求間接效用函數(shù)和支出函數(shù)． 解：該消費(fèi)者的最大化問題是 得到需求函數(shù) ，． 由此得到間接效用函數(shù) ． 又消費(fèi)者效用最大化意味著 ， 記，可得到支出函數(shù) ． 3 考慮下列間接效用函數(shù) ， 這里表示收入，問： 什么是該效用函數(shù)所對(duì)應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)與 解：根據(jù)羅爾恒等式，可以得到這個(gè)效用函數(shù)所對(duì)應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)： ， ． [注] 這個(gè)間接效用函數(shù)揭示的是完全互補(bǔ)的偏好．在這樣的偏好下，所有商品的消費(fèi)量都是相等的．典型的情況就是鞋底跟鞋幫的關(guān)系． 4 考慮一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三成事中選擇居住地．假定他的選

3、擇決策只根據(jù)其效用函數(shù)，設(shè)該效用函數(shù)的形式為，這里．已知北京的物價(jià)為，上海的物價(jià)為，并且，但．又知廣州的物價(jià)為．若該退休老人是理智的，他會(huì)選擇哪個(gè)城市去生活？ 解：設(shè)老人的收入為，那么老人在北京、上海、廣州居住的間接效用分別為 ，． 由，所以． 因此老人不會(huì)選擇去廣州生活． 5 5.1 設(shè)，這里，求與該效用函數(shù)想對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)． 解：支出最小化問題是 其拉格朗日函數(shù)為： ． 使最小化要求滿足一階條件 ， 1 ， 2 ． 3 由1式、2式，得 ，； 4 代4入3，得 ； 5 代5入4，得 ，； 于是可以得到對(duì)應(yīng)的支出函數(shù) ．

4、5.2 又設(shè)，同樣，求與該效用函數(shù)想對(duì)應(yīng)的支出函數(shù) 解：解法與5.1完全相同，得到 ． [注] 即為，這樣寫一是為了節(jié)省空間，再有可以和支出函數(shù)區(qū)別開來． 5.3 證明： 證明： 根據(jù)5.1與5.2的結(jié)果，得到 ． 6 設(shè)某消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為，這里．什么是該消費(fèi)者對(duì)物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)？ 解：若消費(fèi)束是消費(fèi)者的最優(yōu)選擇，那么根據(jù)引理一，間接效用函數(shù)與支出函數(shù)存在以下關(guān)系 ， 1 記，由該消費(fèi)者的間接效用函數(shù)，得到 ． 2 由1式和2式，得到 ． 因此，由Shepard引理，得到 ，． 7 考慮含種商品的Cobb-Douglas效用函數(shù)

5、 這里，， 7.1 求馬歇爾需求函數(shù) 解：約束條件為．做的單調(diào)變換，最大化的一階條件為 ，即，． 代入約束，得到 [注意已知]， 因此需求函數(shù)為 ，． [注]作單調(diào)變換后，計(jì)算得到簡化． [注] 是的另一種寫法，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用較多．用分量來表示，即為．下同． 7.2 求間接效用函數(shù) 解：根據(jù)7.1的結(jié)果 ，其中． 7.3 計(jì)算支出函數(shù) 解：令 ， 得到 ； 又由，得到 ． 7.4 計(jì)算?？怂剐枨蠛瘮?shù) 解：根據(jù)Shepard引理和7.3的結(jié)果，得到?？怂剐枨蠛瘮?shù) ，． 8 以Cobb-Douglas效用函數(shù)為例說明求解效用最大化問題和

6、求解支出最小化問題可以得到同一需求函數(shù)． 說明：這道題我的理解是，說明在效用最大化問題中解得的馬歇爾需求函數(shù)和支出最小化問題中解得的?？怂剐枨蠛瘮?shù)在函數(shù)值上是相等的． 解：令效用函數(shù)形式為，其中，．預(yù)算約束為． 求解效用最大化問題得到的馬歇爾需求函數(shù)為[] ，． 求解支出最小化問題得到?？怂剐枨蠛瘮?shù) ，； 對(duì)任一個(gè)，代入上式得到 ， 代上式入預(yù)算約束得 ； 代上式入?？怂剐枨蠛瘮?shù)得到 ，． 它們?cè)诤瘮?shù)值上與相應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)相等． 9 下列說法對(duì)嗎？為什么？ 函數(shù)可以作為某種商品的希克斯需求函數(shù)． 答：不對(duì)．因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)中，?？怂固娲?yīng)． 10 下列函數(shù)能成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)嗎？為什么？ 這里，與是兩種商品，為收入． 答：要具體分析．一般要求馬歇爾需求函數(shù)滿足（1），以及（1）函數(shù)是和的零次齊次函數(shù)．很明顯，該需求函數(shù)滿足第二個(gè)條件． 考慮第一個(gè)條件，如果能將定義在上，那么該函數(shù)能對(duì)于所有的價(jià)格向量成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)；如果只能將定義在上，那么它只能對(duì)于滿足的價(jià)格向量成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)． [注] 我在所有的解答里面都將價(jià)格向量定義為嚴(yán)格正，這與一般的規(guī)定相同．另外，盡管很多題目都假設(shè)需求非負(fù)，但某些情況下需求卻不一定要滿足非負(fù)的限制．任何題目都有前提，把它們說明白了，應(yīng)該不會(huì)有問題．