平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講》答案 EatingNoodles 第二講 間接效用函數(shù)與支出函數(shù) 1 設(shè)一個消費者的直接效用函數(shù)為．構(gòu)造出該消費者的間接效用函數(shù)．并且運用羅爾恒等式去構(gòu)造其關(guān)于兩種物品的需求函數(shù)．驗證：這樣得到的需求函數(shù)與從直接效用函數(shù)推得的需求函數(shù)是相同的． 解：該消費者的最大化問題是 需求函數(shù)為 ，． 消費者的間接效用函數(shù)為 ， 由羅爾恒等式，有 ， ． 這與從直接效用函數(shù)中推得的結(jié)果一致． [注]這里的是向量，以后的向量均用黑體表示，以與表示分量的符號相區(qū)別． 2 某個消費者的效用函數(shù)是，商品1和2的價格分別是和，此消費者的收入為，求間接效用函數(shù)和支出函數(shù)． 解：該消費者的最大化問題是 得到需求函數(shù) ，． 由此得到間接效用函數(shù) ． 又消費者效用最大化意味著 ， 記，可得到支出函數(shù) ． 3 考慮下列間接效用函數(shù) ， 這里表示收入，問： 什么是該效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)與 解：根據(jù)羅爾恒等式，可以得到這個效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)： ， ． [注] 這個間接效用函數(shù)揭示的是完全互補的偏好．在這樣的偏好下，所有商品的消費量都是相等的．典型的情況就是鞋底跟鞋幫的關(guān)系． 4 考慮一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三成事中選擇居住地．假定他的選擇決策只根據(jù)其效用函數(shù)，設(shè)該效用函數(shù)的形式為，這里．已知北京的物價為，上海的物價為，并且，但．又知廣州的物價為．若該退休老人是理智的，他會選擇哪個城市去生活？ 解：設(shè)老人的收入為，那么老人在北京、上海、廣州居住的間接效用分別為 ，． 由，所以． 因此老人不會選擇去廣州生活． 5 5.1 設(shè)，這里，求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)． 解：支出最小化問題是 其拉格朗日函數(shù)為： ． 使最小化要求滿足一階條件 ， 1 ， 2 ． 3 由1式、2式，得 ，； 4 代4入3，得 ； 5 代5入4，得 ，； 于是可以得到對應(yīng)的支出函數(shù) ． 5.2 又設(shè)，同樣，求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù) 解：解法與5.1完全相同，得到 ． [注] 即為，這樣寫一是為了節(jié)省空間，再有可以和支出函數(shù)區(qū)別開來． 5.3 證明： 證明： 根據(jù)5.1與5.2的結(jié)果，得到 ． 6 設(shè)某消費者的間接效用函數(shù)為，這里．什么是該消費者對物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)？ 解：若消費束是消費者的最優(yōu)選擇，那么根據(jù)引理一，間接效用函數(shù)與支出函數(shù)存在以下關(guān)系 ， 1 記，由該消費者的間接效用函數(shù)，得到 ． 2 由1式和2式，得到 ． 因此，由Shepard引理，得到 ，． 7 考慮含種商品的Cobb-Douglas效用函數(shù) 這里，， 7.1 求馬歇爾需求函數(shù) 解：約束條件為．做的單調(diào)變換，最大化的一階條件為 ，即，． 代入約束，得到 [注意已知]， 因此需求函數(shù)為 ，． [注]作單調(diào)變換后，計算得到簡化． [注] 是的另一種寫法，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用較多．用分量來表示，即為．下同． 7.2 求間接效用函數(shù) 解：根據(jù)7.1的結(jié)果 ，其中． 7.3 計算支出函數(shù) 解：令 ， 得到 ； 又由，得到 ． 7.4 計算?？怂剐枨蠛瘮?shù) 解：根據(jù)Shepard引理和7.3的結(jié)果，得到?？怂剐枨蠛瘮?shù) ，． 8 以Cobb-Douglas效用函數(shù)為例說明求解效用最大化問題和求解支出最小化問題可以得到同一需求函數(shù)． 說明：這道題我的理解是，說明在效用最大化問題中解得的馬歇爾需求函數(shù)和支出最小化問題中解得的?？怂剐枨蠛瘮?shù)在函數(shù)值上是相等的． 解：令效用函數(shù)形式為，其中，．預(yù)算約束為． 求解效用最大化問題得到的馬歇爾需求函數(shù)為[] ，． 求解支出最小化問題得到?？怂剐枨蠛瘮?shù) ，； 對任一個，代入上式得到 ， 代上式入預(yù)算約束得 ； 代上式入?？怂剐枨蠛瘮?shù)得到 ，． 它們在函數(shù)值上與相應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)相等． 9 下列說法對嗎？為什么？ 函數(shù)可以作為某種商品的希克斯需求函數(shù)． 答：不對．因為這個函數(shù)中，希克斯替代效應(yīng)． 10 下列函數(shù)能成為一個馬歇爾需求函數(shù)嗎？為什么？ 這里，與是兩種商品，為收入． 答：要具體分析．一般要求馬歇爾需求函數(shù)滿足（1），以及（1）函數(shù)是和的零次齊次函數(shù)．很明顯，該需求函數(shù)滿足第二個條件． 考慮第一個條件，如果能將定義在上，那么該函數(shù)能對于所有的價格向量成為一個馬歇爾需求函數(shù)；如果只能將定義在上，那么它只能對于滿足的價格向量成為一個馬歇爾需求函數(shù)． [注] 我在所有的解答里面都將價格向量定義為嚴(yán)格正，這與一般的規(guī)定相同．另外，盡管很多題目都假設(shè)需求非負(fù)，但某些情況下需求卻不一定要滿足非負(fù)的限制．任何題目都有前提，把它們說明白了，應(yīng)該不會有問題．