二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例,學(xué)生用書P60)A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1>成立時(shí)，起始值n0至少應(yīng)取()A7B8C9 D10解析：選B.1，n16，n7，故n08.2設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計(jì)算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)出的一般結(jié)論為()Af(2n)>(n1，nN*)Bf(n2)>(n1，nN*)Cf(2n)>(n1，nN*)D以上都不對(duì)解析：選C.f(2)，f(4)f(22)>，f(8)f(23)>，f(16)f(24)>，f(32)f(25)>，依此類推可知f(2n)>(n1，nN*)3觀察下列不等式：1>，1>1，1>，1>2，1>，由此猜測(cè)第n(nN)個(gè)不等式為()A1>B1>C1>D1>解析：選C.因?yàn)?，3，7，15，31，的通項(xiàng)公式為an2n1，所以不等式左邊應(yīng)是1.因?yàn)椋?，2，的通項(xiàng)公式為bn，所以不等式右邊應(yīng)是.4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當(dāng)“f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k<5時(shí)，均有f(k)k2成立C若f(7)<49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)<k2成立D若f(4)25成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立解析：選D.由“f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”，因此，對(duì)于A，k1，2時(shí)不一定成立，對(duì)于B，C，顯然錯(cuò)誤對(duì)于D，因?yàn)閒(4)25>42，因此對(duì)于任意的k4，均有f(k)k2成立5對(duì)于正整數(shù)n，下列說(shuō)法不正確的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n<10.1n D0.1n10.9n解析：選C.結(jié)合貝努利不等式(1x)n1nx(x>1，且x0，n1，nN)判斷當(dāng)x2時(shí)，(12)n12n，A正確當(dāng)x0.1時(shí)，(10.1)n10.1n，B正確，C不正確當(dāng)x0.9時(shí)，(10.9)n10.9n，因此D正確6用數(shù)學(xué)歸納法證明>，假設(shè)nk時(shí)，不等式成立之后，證明nk1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_解析：把nk時(shí)的不等式中的k換成k1，得>.答案：>7在ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立，猜想在n邊形A1A2An中，類似成立的不等式為_解析：n3時(shí)，不等式為，n4時(shí)，不等式為，n5時(shí)，不等式為，猜想.答案：8若不等式>對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為_解析：令f(n)，易知f(n)是單調(diào)遞增的所以f(n)的最小值為f(2).依題意>，所以m<14.因此取m13.答案：139已知數(shù)列an滿足a13，an1anan1.求證：ann2.證明：當(dāng)n1時(shí)，a1312，即ann2成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，即akk2.那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1akak1ak(akk)1(k2)(k2k)12(k2)1>k3(k1)2，也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，ak1>(k1)2.由可知ann2對(duì)一切nN*都成立10設(shè)aR，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)(1)求a的值；(2)如果g(n)，試比較f(n)與g(n)的大小(nN)解：(1)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，故a1.(2)f(n)g(n).只要比較2n與2n1的大小當(dāng)n1，2時(shí)，2n<2n1，f(n)<g(n)；當(dāng)n3時(shí)，2n>2n1，f(n)>g(n)下面證明，n3時(shí)，2n>2n1，即f(n)>g(n)當(dāng)n3時(shí)，23>2×31，顯然成立，假設(shè)nk(k3，kN)時(shí)，2k>2k1，那么nk1時(shí)，2k12×2k>2(2k1)2(2k1)2(k1)14k22k32k1>0(因?yàn)閗3)，有2k1>2(k1)1.所以當(dāng)n1，2時(shí)，f(n)<g(n)，當(dāng)n3且nN時(shí)，f(n)>g(n)B能力提升1已知xR，不等式x2，x3，可推廣為xn1，則a的值為()A2n Bn2C22(n1) Dnn解析：選D.由已知中不等式：x2，xx3，xx4，歸納可得，不等式左邊第一項(xiàng)為x，第二項(xiàng)為，右邊為n1，故第n個(gè)不等式為xn1，故ann，選D.2設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：由貝努利不等式(1x)n>1nx(x>1，且x0，n>1，nN)，當(dāng)n>1時(shí)，令x，所以>1n·，所以>1n·，即(ab)n>annan1b.當(dāng)n1時(shí)，MN，故MN.答案：MN3設(shè)xn，yn，n1，2，求證xn<xn1，yn1<yn.證明：先證xn<xn1.因?yàn)閚1，所以n12.由貝努利不等式得>11，即>1，故>.故xn<xn1.再證yn1<yn，由貝努利不等式得>1>1，即>1，>1，即<，<.故yn1<yn.4設(shè)數(shù)列an滿足a10，an1ca1c，nN，其中c為實(shí)數(shù)(1)證明：an0，1對(duì)任意nN成立的充分必要條件是c0，1；(2)設(shè)0<c<，證明：an1(3c)n1，nN.證明：(1)必要性：因?yàn)閍10，所以a21c.因?yàn)閍20，1，所以01c1，即c0，1充分性：設(shè)c0，1，對(duì)nN用數(shù)學(xué)歸納法證明an0，1當(dāng)n1時(shí)，a100，1假設(shè)ak0，1(kN，k1)，則ak1ca1cc1c1，且ak1ca1c1c0，故ak10，1由數(shù)學(xué)歸納法，知an0，1對(duì)所有的nN成立綜上，可得an0，1對(duì)任意nN成立的充分必要條件是c0，1(2)設(shè)0<c<，當(dāng)n1時(shí)，a10，結(jié)論成立當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)閍nca1c，所以1anc(1a)c(1an1)(1an1a)因?yàn)?<c<，由(1)知an10，1，所以1an1a3，且1an10.所以1an3c(1an1)所以1an3c(1an1)(3c)2(1an2)(3c)n1(1a1)(3c)n1.所以an1(3c)n1(nN)7